二次函數綜合性題目的解題方法研究

梁玉芳

摘要：二次函數的綜合性問題是中考數學試題的必考題型，可以系統地考查學生的數學建模能力和抽象思維能力.在求解過程中，能促使學生將離散化的知識聚合成統一的知識體系，同時能培養和發展學生解決實際問題的數學能力.文章結合具體例題分類探討了二次函數綜合題中的交點問題、線段的和差最值問題、一般最值問題等常見題型的解題方法.

關鍵詞：二次函數；綜合性題目；解題方法

二次函數是初中數學知識體系的重要構成，依托于數學知識之間的內在聯系，二次函數可以與方程、不等式、二次根式、平面幾何、三角函數等重要的數學知識點融合起來，形成綜合題.同時，由于函數的核心含義是反映兩個變量在某個變化中相互依存的關系，因此也常常與有關動點的分類討論問題相結合，對學生的數學能力、數學思維進行全面、綜合的考查.因此，研究二次函數綜合性題目的解題方法，對于幫助學生掌握解題技巧、培養數學核心素養、提升數學整體理解能力和問題解決能力具有積極的現實意義.

1 二次函數綜合題中交點問題的解法

交點問題通常以二次函數與一次函數，以及二次函數與坐標軸的交點形式出現，交點可能是二次函數與坐標軸、一次函數以及平行于坐標軸的直線的交點.

例1? 已知拋物線y=ax2+bx+c，頂點M的坐標為－b2a，－4，拋物線與y軸的交點為點C，與x軸的交點為A和B，兩點的坐標分別為（x1，0）和（x2，0）（x1

解析：因為x1和x2是方程x2－2（m－1）x+m2－7=0的兩根，所以由韋達定理可知x1+x2=2（m－1），x1x2=m2－7.又x21+x22=10，所以（x1+x2）2－2x1x2=10，則［2（m－1）］2－2（m2－7）=10，即m2－4m+4=0，解得m1=m2=2.將m=2代入方程x2－2（m－1）x+m2－7=0中，得x2－2x－3=0，又x1

又因為點A和點B分別為拋物線與x軸的兩個交點，根據拋物線的對稱性可知，頂點M的橫坐標為1，所以點M的坐標為（1，－4）.將A（－1，0），B（3，0）和M（1，－4）分別代入拋物線y=ax2+bx+c中，則有a－b+c=0，9a+3b+c=0，a+b+c=-4，解得a=1，b=－2，c=－3.

所以，拋物線的解析式為y=x2－2x－3.

因為C是拋物線與y軸的交點，所以點C的坐標為（0，－3）.

綜上，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，－3），拋物線解析式為y=x2－2x－3.

例1以二次函數為載體，考查二次函數與坐標軸的交點以及二次函數性質，運用待定系數法，結合韋達定理、拋物線的對稱性質以及數形結合思想，即可確定交點坐標和拋物線的解析式.

2 二次函數綜合題中線段和差最值問題的解法

線段和差最值問題的關鍵是二次函數的“動點”問題，“化折為直”是解決此類題型的通用方法［1］.線段和差最值問題的題型主要分為單一線段最值問題、兩條線段求和取最小值問題、兩條線段作差取最大值問題、三角形周長最小問題四大類型.

2.1 單一線段最值問題

在單一線段最值問題中，一般會存在兩個動點（點M和點N），分別位于二次函數圖象和一次函數圖象上（如圖1所示），解題的關鍵在于利用函數解析式表示動點的坐標，通過數形結合，判定動點的位置［2］.

2.2 兩條線段求和取最小值問題

兩條線段求和取最小值問題，就是求動點到兩定點距離和的最小值.如圖2所示，在定直線l上找到一點P，使得點P與定點A和定點B的距離之和最小.解決此類問題，可以通過“化折為直”的數學思想方法，借助對稱點，將PA+PB的最小值轉化為線段A′B的長度.

2.3 兩條線段作差取最大值問題

在兩條線段作差取最大值的問題中，題型通常為求定點與兩動點距離之差的最大值.如圖3所示，在定直線l上找到一點P，使得點P與定點A和定點B的距離PA和PB的差最小.若A，B兩點位于直線l的異側，則需要通過對稱點，將兩定點轉化到直線l的同側，將PA－PB轉化為PA－PB′.當A，B′，P三點不共線時，PA－PB′

2.4 三角形周長最小問題

三角形周長最小問題是“將軍飲馬”類題型的變形，如圖4，在射線m和n上分別選取動點M和動點N，使之與定點P組成△PMN，使得△PMN的周長最小.此類問題的解法與上述二次函數的綜合性問題的解題方法基本一致，也是通過對稱點轉化后利用“化折為直”的數學思想方法，求三角形周長的最小值［4］.

3 二次函數綜合題中最值問題的解法

最值問題是函數的重要問題，在解決二次函數的最值等綜合性問題時，可以利用數形結合、線性規劃、基本不等式、單調性等知識點簡化問題.

例2? 已知二次函數y=ax2+bx+c（b>a>0）的圖象與x軸至多有一個交點，求a+b+cb－a的最小值.

本題屬于變量較多的最值形式，可以從已知條件出發進行變量替換［5］.

解析1：通過換元，替換變量b，結合基本不等式進行最值計算.

由題意可知a>0，Δ≤0，則有1

所以，a+b+cb－a=1+ca+2ba－1≥1+ca+22ca－1.

令t=ca>12，則a+b+cb-a

=1+t2+22t－1=32+2t－14+94（2t－1）≥32+22t-14＼594（2t-1）=3，

當且僅當t=2且ba=2ca，即b=c=4a時，a+b+ca-b取得最小值3.

解析2：通過替換變量c，實現消元的目的，進而使用基本不等式求解最值.

由題意可知a>0，Δ≤0，則有c≥b24a，所以a+b+cb－a≥a+b+b24ab－a.令b=a+t（t>0），則a+b+b24ab-a=32+9a4t+t4a≥3，當且僅當t=3a且c=b24a，即b=c=4a時，a+b+ca-b取最小值3.

解析3：從所求問題出發進行等價變形，通過對所求式子賦予變量，利用等式替換變量c.

令a+b+cb－a=t（t>0），則c=（b－a）t－（b+a）.將c=（b－a）t－（b+a）代入

Δ=b2－4ac≤0，

得到t≥（2a+b）24a（b－a），下同解析2.

4 結語

二次函數是初中數學知識體系的重要構成，以二次函數為載體的綜合性題目具有知識面廣、靈活性強的特點，考查學生對數學知識的整合和綜合應用能力.解決此類問題需要根據題意，利用二次函數的相關性質和數學思想，選擇適宜的解題方法.在解決與交點相關的二次函數綜合性題目時，可以與方程建立聯系，利用判別式、根與系數的關系等知識點，將函數問題轉化為方程問題；在解決與線段和差的最值相關的二次函數綜合性題目時，可以運用“化折為直”的數學思想，通過軸對稱變換、旋轉變換、平移變換、構建特殊圖形等方式將“折”轉化為“直”，進而解決數學問題；在解決二次函數綜合性題目中的最值問題時，可以運用數形結合思想和換元法，整合線性規劃、基本不等式、單調性等知識簡化問題.因此，教師在日常教學中，不僅需要向學生傳授知識，還應有計劃地結合教學內容和學生實際情況，總結解題規律，向學生傳授解決數學問題的方法，以此提高學生的解題效率.

參考文獻：

［1］劉海濤.解題應重視自然而至簡的通解通法——從一道二元二次函數最值題的研究談起［J］.數理化解題研究，2022（7）：75-80.

［2］王新.初中數學綜合題分析及教學策略探究——以二次函數綜合題為例［J］.試題與研究，2021（35）：19-20.

［3］張洋.數形結合在二次函數圖象解題教學中的應用［J］.中國多媒體與網絡教學學報（下旬刊），2021（7）：50-51，93.

［4］羅志.初中數學動點問題教學實踐研究——以二次函數動點問題為例［J］.數學學習與研究，2021（13）：158-159.

［5］張小平.二次函數與45°的美麗邂逅——關于一類二次函數綜合題的解題思考［J］.上海中學數學，2021（3）：40-43.