6結構化學材助力概念建構

李輝

［摘 ?要］ 數學概念不僅是數學知識的重要組成部分，也是學生分析和解決問題的基礎。研究者以“比的認識”一課為例，通過教材分析整體把握“比”的本質屬性和特有價值，通過學前調查了解學生的學習起點，針對學習難點挖掘豐富的數學素材，整合優化成與兒童知識體系、認知結構相匹配，與學生學習興趣與價值相契合的結構化學材，引導學生開展觀察、思考、交流等一系列活動，去偽存真，感悟概念本質。

［關鍵詞］ 結構化學材；概念教學；本質屬性；學情

數學概念是人腦對現實對象本質屬性的一種反映形式，具有抽象性。數學概念在小學數學中大量存在，是學生分析和解決問題的基礎，概念教學一直是小學數學教學的重要內容。生動有趣、指向知識本質的結構化學材有助于激發學生學習興趣，并在其腦海中產生豐富的表象，促進概念理解從外延向內涵推進，從而抽象出概念的本質屬性。

“比”是小學數學中一個重要的概念，教材把比定義為“兩個數的比表示為兩個數相除”。筆者每次教學這部分內容總會不由自主地思考：“比”與除法有什么不同呢？學生對“比”已有怎樣的認識？基于以上思考，筆者通過教材分析與文獻查閱厘清“比”的本質屬性和特有價值，通過學情調查了解學生的學習起點，針對學習難點挖掘教材與生活素材，整合優化成適合小學生數學學習的結構化學材，助力學生建構概念和發展思維。

一、深入研讀教材，把握概念本質

在教學“比的認識”時，學生已學習了除法和認識了分數，“比”的學習是學習“比例”的基礎。“比”這部分內容原來一直編排在“分數除法”單元內，修訂版教材把“比”列為一個獨立單元，意味著學生對“比”的學習不能只停留在與分數、除法之間的關系層面，不能只從運算的角度去認識比，而要從量與量之間的關系角度來理解比。

2014年以前的人教版教材把“比”定義為“兩個數相除又叫作這兩個數的比”，2014年后變成“兩個數的比表示兩個數相除”。概念定義的變遷，進一步說明“比”與除法并不是等價概念，而是有其自身的意義、特點和價值。張奠宙先生在其《小學數學教材中的大道理——核心概念的理解與呈現》一書中明確指出：“比值的計算固然要用到除法，但是比不等于除法，比有比的意義，除法有除法的用途。比，可以只是兩個量之間的一種比較關系、一種對應、一種狀態，可以不必凸顯除法。”

那么為什么有了除法還要引入“比”“比”與除法區別何在？

1.除法趨向于運算的形式和結果，而“比”凸顯的是量與量之間的一種倍比關系；“比”為比例的學習做準備，可以擴展為正比例關系，這種比例關系的含義遠超除法。

2. 除法、分數只表示兩個量的倍數關系，而“比”可以表示三個或多個量的倍比關系。

3.兩個數的比可以轉化成兩個數相除；而兩個數相除，比如“等分除”就不宜表示成這兩個數的比。

4. “比”源于度量，物體除了長度、面積、體積、質量等可度量的屬性，還有顏色、形狀、質地、口感等不可度量的屬性，這些不可度量的屬性用比來表征量與量間的對等關系，更加清晰明了。

二、進行學前調查，掌握學生學習起點

為了更好地了解學生的學習起點，筆者對學生進行了前測。

1. 設計問卷，學前調查

問卷內容主要有兩個方面：一是了解學生的生活經驗，即在現實生活中哪里見過“比”，對哪些“比”印象比較深刻；二是學生已有的知識經驗，即對“比”的相關知識的了解程度。為了體現靈活性和開放性，問卷以問答題的形式給出（如表1）。

2. 整理分析，了解起點

前測共發放問卷85份，收回有效問卷85份，通過整理分析，結果表明：42%的學生知道配方中的“比”；86%的學生提及球賽中的比分；78%的學生會讀寫“比”，知道“比”可以轉換成除法。

（1）大部分學生對“比”有一定的認識

有42%的學生知道生活中常見的“配方比”，86%的學生提及球賽中的比分，78%的學生會讀寫“比”、求比值，可見基于生活經驗和前置的學習經驗，學生對于讀寫“比”、求比值這樣外顯性的知識有一定的認識基礎。

（2）區別不了“生活中的比”與“數學中的比”

86%的學生提及的球賽比分并不是“數學中的比”。比分是一個得分記錄，反映的是數據的相差關系；而“數學中的比”反映的是量與量間的倍數關系，學生較難區分其差異性。

三、設計學習材料，分層建構概念

教師要站在學科結構和單元知識整體結構的視角，剖析概念的本質屬性，找準學生的認知起點，將教材及其他素材創造性地改編為結構化學材。結構化學材是實現概念意義建構的有效載體，能促進學生概念認知從外延向內涵推進，同時能激發學生學習興趣，讓學生突破學習難點。針對“數學中的比是表示量與量間的倍數關系”這一學習難點，筆者整合課本與生活素材，優化成結構化學材，引導學生對比辨析，去偽存真，突破認知誤區，正確區分“相差關系”和“倍數關系”，助力學生逐級分層建構概念。

1. 整合前測學材，在溝通交流中認識“比”

（1）回顧學情

生活中有許多“比”，學生已經了解很多關于比的知識。

（2）了解“比”的讀寫、求比值

你能選一個“比”讀一讀并介紹與它相關的知識嗎？

“比”在生活中很常見，讓學生介紹“比”的相關知識，教師因勢利導、適時點撥，既尊重其學習起點，又滿足其表達意愿，讓其掌握比的讀寫法和了解求比值的方法。

2. 設計對比學材，在比較辨析中明晰“比”

（1）呈現學材一：臘腸中的“比”

教師呈現制作臘腸的場景：臘腸是一道美食，受到人們普遍歡迎。有研究表明，制作臘腸時，瘦肉和肥肉的比例為7分瘦3分肥（7 ∶ 3），這樣更加油潤，吃起來才香。假如按這個比取一些瘦肉和肥肉制作臘腸，你會怎么取？在學習單上填一填吧！

學習單（一）：制作臘腸時，瘦肉和肥肉的質量比為7∶3時口感較好。按這個比取一些瘦肉和肥肉制作臘腸，你會怎么取？

瘦肉 ? ? 肥肉

7 ? ?∶ ? ? 3

（ ? ?） ∶ ? 300

1400 ?∶ ?（ ? ?）

（ ? ?） ∶ ?（ ? ?）

（ ? ?） ∶ ?（ ? ?）

經歷學習單填寫的過程，學生能充分感知制作臘腸時瘦肉和肥肉數量之間的關系。然后，教師引導學生仔細觀察，它們的數量有什么變化規律？有沒有不變的？

經過思考交流，學生發現：①每次變化比的前項和后項擴大的倍數相同；②無論怎么變，瘦肉的質量總是肥肉的7/3，倍數關系保持不變。

（2）呈現學材二：進球中的比

制作臘腸中的“比”倍數關系不變，球賽中的比分會有同樣的特點嗎？教師呈現足球賽情境：一場足球賽上半場結束了，克羅地亞隊與法國隊的比分是2∶1。視頻回顧進球過程，學生在學習單上記錄并感受比分的變化過程。

學習單（二）：一場足球賽上半場比分是2∶1，記錄進球的過程，比分是怎樣變的？它與煮飯中的“比”一樣嗎？

比分是怎樣變化的？經過觀察交流，學生發現：①比分是每次只有一邊增加1，另一邊不變；②比分中可以出現0，它的比值要么求不了，要么不相等。比分只是得分記錄，主要是方便人們了解得分的相差。

（3）對比辨析，去偽存真

臘腸中的“比”和進球中的比分有什么不同？

通過觀察、對比、思考，學生認識到：臘腸中的比，每次變化的前項和后項擴大的倍數相同，比值不變，也就是“倍數關系”保持一定；球賽比分每次只有一項發生變化，它的比值不能保持一定，主要是反映得分的“相差關系”。

“臘腸中的比”和“球賽比分”兩個學材分別指向 “倍數關系”與“相差關系”，通過對比辨析，去偽存真，學生能清晰地認識到倍數關系的比才是數學中的比，助力概念建構，突破學習難點。

四、設計拓展學材，在應用中拓寬“比”

“比”原本是同類量的比較關系，也可以推廣到不是同類量的情境，還可以根據需要拓展為三個量或多個量的比。比是學習比例的基礎，教師要結合實際生活設計拓展學材，進一步拓寬“比”概念的內涵。

1. 拓展學材一，從兩個量的比到多個量的比

活動1：把一個正方形平均分成2份、3份、4份，涂2種顏色（如圖1），說一說你看到的比。

活動2：把2種顏色變化成3種顏色，又能看到什么比？

活動3：說一說生活中有三個量的比。

借助正方形涂色的變式，從2種顏色過渡到3種顏色，從“部分與部分比”（比如紅色部分與其他顏色的比），到“部分與整體比”（比如紅色部分與整個正方形的比）。在變化過程中，豐富學生對比的直覺感受，體會兩個量可以比，三個量也可以比，有助于概念的整體建構。

2. 拓展學材二，從同類量的比到不同類的比

水果店搞促銷，蘋果3千克1盒，共12元；葡萄4千克1盒，共28元。

問題1：蘋果總價12元，葡萄總價28元，你能想到比嗎？

問題2：呈現數量，從蘋果3千克到葡萄4千克，你能想到比嗎？

問題3：蘋果12元1盒，共3千克；葡萄28元1盒，共4千克，你又能想到哪些比？

如圖2，教師選取學生熟悉的“總價、數量、單價”入手，遞進呈現學材，鼓勵學生尋找新的比。學生很容易從總價與總價比、數量與數量比，過渡到總價與數量的比，體會在實際生活中不同類量的比有時會產生新的量，進一步溝通比與除法之間的聯系。

3. 拓展學材三，從比到比例

活動1：分別寫出三個長方形的長寬比。

活動2：比較三個長方形長寬比，你有什么發現？

活動3：三個長方形形狀相似嗎？你有什么想說的？

如圖3，三個長方形相似是因為它們長寬比的比值相等，如果把三個比用等號相連，就是正比例。通過相似長方形的變化，豐富了學生的空間想象力，讓其感受比的美，為比例的學習奠定了基礎。

4. 拓展學材四，從數學中的比到生活中的比

前測中學生寫出了很多生活中的比，教師可以從中精選組合成學材。教師教學“比”后，讓學生解釋這些“比”的含義，深化對“比”的認識，感受“比”在生活中的廣泛應用。

五、總結反思

筆者認為，概念教學應摒棄教師越俎代庖式的簡單歸納，應基于教材分析和學情調查，在準確把握概念本質和學習起點的基礎上，挖掘與學生已有知識體系、認知結構相契合，符合其學習興趣和價值認同的學習材料，促使學生經歷概念建構的完整過程，使其習得的知識結構化。

豐富有效的結構化學材有助于學生在腦海中產生多樣的、立體的、個性化的表象，這種表象正是概念建構的基礎。教師借助學材引領學生自主探索、思考辨析、合作交流，這樣的概念建構才是完整的、持久的，學生對概念的理解才是深刻的、有效的，才能達成品質學習。