做數(shù)學(xué)：一種結(jié)構(gòu)化教學(xué)視角

劉洪娟

［摘 ?要］ “做數(shù)學(xué)”不僅是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略、路徑與方法，更是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、思想等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，要進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的立意、結(jié)構(gòu)化的建構(gòu)、結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)、結(jié)構(gòu)化的反思。讓“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)結(jié)構(gòu)化，能有效地提升學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的整體性效能，不斷地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；做中學(xué)；做數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)視角

“做中學(xué)”是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想，是一種重要的教學(xué)主張，由美國(guó)學(xué)者杜威首先提出。在中國(guó)，“做中學(xué)”演變?yōu)樘招兄壬珜?dǎo)的“教學(xué)做合一”理論。當(dāng)前，“做中學(xué)”理論與實(shí)踐都有了較大的發(fā)展，它借鑒了美國(guó)的“Hands-On”和法國(guó)的“動(dòng)手做”等相關(guān)理論。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要以“做中學(xué)”理論為指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，給學(xué)生提供結(jié)構(gòu)化“做數(shù)學(xué)”的素材、資源等，滲透、融入結(jié)構(gòu)化的“做數(shù)學(xué)”的方法、策略、路徑等。通過(guò)教師的有效引導(dǎo)，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”結(jié)構(gòu)化，從而提升學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的整體性效能。

一、結(jié)構(gòu)化立意：讓“做數(shù)學(xué)”走向深度

“做數(shù)學(xué)”不是讓學(xué)生機(jī)械地、盲目地、亦步亦趨地動(dòng)手做，而是要遵循數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的特質(zhì)，遵循學(xué)生的認(rèn)知心理規(guī)律。結(jié)構(gòu)化的“立意”要求教師要從整體上、結(jié)構(gòu)上、系統(tǒng)上謀劃“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)容。在設(shè)計(jì)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)的過(guò)程中，教師要基于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性，考慮學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的操作性與理解性、抽象性以及概括性與具體性、直觀性、形象性的統(tǒng)一，在學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中謀劃融入、滲透數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略等。這樣的謀劃，就是一種“結(jié)構(gòu)化立意”［１］。

結(jié)構(gòu)化立意能讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”具有一定的深度。在謀劃學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，教師要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”具有探究性、實(shí)踐性、共生性。比如，筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從整體上觀照教材，設(shè)計(jì)了結(jié)構(gòu)化的“做數(shù)學(xué)”課程與教學(xué)體系，將之滲透、融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)、數(shù)學(xué)大課間活動(dòng)等活動(dòng)中。這樣的一種“做數(shù)學(xué)”的課程與教學(xué)整體性謀劃，一方面有助于讓“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中循序漸進(jìn)地開展，另一方面有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)生活。不僅如此，筆者在教學(xué)中，依據(jù)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的方式對(duì)學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)進(jìn)行分類研究，建構(gòu)了“理解型做數(shù)學(xué)”“發(fā)現(xiàn)型做數(shù)學(xué)”“驗(yàn)證型做數(shù)學(xué)”等不同的操作體系、結(jié)構(gòu)，大大提升了學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的效能，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)具有方向性、針對(duì)性。

結(jié)構(gòu)化的立意讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”改變了傳統(tǒng)的缺乏整體性規(guī)劃而呈現(xiàn)出的“一盤散沙”“腳踩西瓜皮滑到哪里是哪里”的狀態(tài)，使學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)更加理性、更加自覺。比如，在學(xué)習(xí)“多邊形的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生能自覺地按照“做數(shù)學(xué)”的課程編排時(shí)間節(jié)點(diǎn)、要求準(zhǔn)備相關(guān)的素材、資源等。“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)不是教師的外在強(qiáng)制要求，而是學(xué)生的內(nèi)在需要，結(jié)構(gòu)化立意讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)從“要我做”轉(zhuǎn)向了“我要做”“我善做”“我樂做”。

二、結(jié)構(gòu)化建構(gòu)：讓“做數(shù)學(xué)”走向靈動(dòng)

結(jié)構(gòu)化的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，不僅要對(duì)“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)容進(jìn)行整體性的謀劃，而且要研究“做數(shù)學(xué)”的方式、方法。結(jié)構(gòu)化的建構(gòu)能讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)走向靈動(dòng)。在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)手做”，更要引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)腦思”“動(dòng)眼看”。因此，學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程不僅是“動(dòng)手做”的過(guò)程，還是用身體全面感受、體驗(yàn)的過(guò)程，是一種多感官協(xié)同認(rèn)知的過(guò)程。這種“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程就是具身性的認(rèn)知過(guò)程，是學(xué)生的本質(zhì)力量的全面解放與舒展。

比如，教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”這一部分內(nèi)容，筆者一改傳統(tǒng)的“演示實(shí)驗(yàn)”的方式，讓學(xué)生動(dòng)手做圓柱：先是正向意義上的“做數(shù)學(xué)”，即讓學(xué)生做一個(gè)圓柱的底面；然后讓學(xué)生根據(jù)底面的大小，用長(zhǎng)方形紙圍成圓柱的側(cè)面。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生自然會(huì)思考“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于什么”“長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于什么”，還會(huì)考慮一些現(xiàn)實(shí)性的問題：比如圍成圓柱側(cè)面時(shí)的接頭處如何處理？是先圍成圓柱的側(cè)面再確定底面，還是先確定底面再根據(jù)底面圍成圓柱的側(cè)面等？

在學(xué)生做圓柱的基礎(chǔ)之上，教師可以啟發(fā)學(xué)生：一定需要長(zhǎng)方形的紙張才能圍成圓柱的側(cè)面嗎？從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到推導(dǎo)圓柱的側(cè)面展開圖時(shí)，不僅可以沿著圓柱的高剪開，而且可以斜著剪開等。不僅如此，教師還可以將長(zhǎng)方體的側(cè)面積探索引入其中，讓學(xué)生用一張長(zhǎng)方形紙圍成一個(gè)長(zhǎng)方體的側(cè)面；引導(dǎo)學(xué)生用一張長(zhǎng)方形紙做一個(gè)三棱柱的側(cè)面等。這樣的一種“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程成為數(shù)學(xué)知識(shí)的靈動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。結(jié)構(gòu)化的“做數(shù)學(xué)”，就是要讓學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的多個(gè)維度上開展探索、思考等。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅深刻地認(rèn)識(shí)、建構(gòu)了圓柱的側(cè)面積公式，而且認(rèn)識(shí)、建構(gòu)了相關(guān)的長(zhǎng)方體的側(cè)面積、三棱柱的側(cè)面積等直柱體的側(cè)面積公式。

結(jié)構(gòu)化的建構(gòu)不僅是通過(guò)“做數(shù)學(xué)”探索某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，更重要的是通過(guò)“做數(shù)學(xué)”探索某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，關(guān)聯(lián)其他的相關(guān)知識(shí)，從而讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成整體性的認(rèn)知［２］。因此，教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生探尋諸多知識(shí)的共同點(diǎn)。結(jié)構(gòu)化的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)既是有序性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，也是有遷移性、應(yīng)用性功能的數(shù)學(xué)活動(dòng)。結(jié)構(gòu)化的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)不僅能引發(fā)學(xué)生的深度思考、探究，還能提升學(xué)生的認(rèn)知、思維水平。

三、結(jié)構(gòu)化互動(dòng)：讓“做數(shù)學(xué)”走向多維

“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，不僅是學(xué)生自主探究、實(shí)踐的過(guò)程，還是師生、生生彼此之間的交往、互動(dòng)、對(duì)話的過(guò)程。結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)能讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)走向多維。在結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)之中，教師、學(xué)生、數(shù)學(xué)、活動(dòng)、物質(zhì)等進(jìn)行著一種多元化的互動(dòng)，進(jìn)行著一種正向的能量交換。教師要建構(gòu)、打造結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)場(chǎng)域，引發(fā)學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的主動(dòng)之意，鍛煉學(xué)生的意志之力，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)之情［３］。結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)不僅能激發(fā)學(xué)生的深度思考、探究，還能引發(fā)、保持學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的熱情，讓學(xué)生積極地投入“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)之中。

在“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)中教師要精心設(shè)計(jì)相關(guān)的任務(wù)，精心設(shè)計(jì)相關(guān)的問題，讓問題、任務(wù)等引發(fā)學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，讓師生、生生等圍繞著“做數(shù)學(xué)”的任務(wù)、問題等開展深度對(duì)話、研討。在“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)過(guò)程中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生顯性的“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)表現(xiàn)，關(guān)注學(xué)生的思維狀態(tài)，還要關(guān)注學(xué)生的興趣，關(guān)注學(xué)生的積極性，關(guān)注課堂的無(wú)形的心理氛圍、情感氛圍等。只有這樣，才能從根本上發(fā)揮學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的主體性。

比如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生操作：學(xué)生想到了“通過(guò)量角器測(cè)量，將三角形的內(nèi)角和‘測(cè)出來(lái)”“將三角形的三個(gè)角撕下來(lái)，然后拼在一起進(jìn)行整體性的測(cè)量”“能否將三角形的三個(gè)角折疊到一起去”等。對(duì)于學(xué)生的互動(dòng)猜想，筆者鼓勵(lì)學(xué)生積極地、大膽地嘗試。學(xué)生彼此之間相互印證，形成了這樣的觀點(diǎn)和見解：“三角形的內(nèi)角和接近平角”“三角形的內(nèi)角和就是一個(gè)平角”等。對(duì)于學(xué)生的不同意見和建議，教師不要著急讓學(xué)生得出科學(xué)性的結(jié)論，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：能否通過(guò)數(shù)學(xué)推理的方法去推導(dǎo)三角形的內(nèi)角和？這一結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究：有的小組學(xué)生做出了一些平行線，根據(jù)直覺（同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相關(guān)知識(shí)）推導(dǎo)出三角形的內(nèi)角和；有的小組學(xué)生通過(guò)直角三角板拼接出長(zhǎng)方形，進(jìn)而推導(dǎo)出直角三角形的內(nèi)角和是180度；還有的小組學(xué)生在紙上畫出了銳角三角形和鈍角三角形的高，巧妙地將銳角三角形、鈍角三角形沿著高分成了兩個(gè)直角三角形，推導(dǎo)出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和是180度等。正是通過(guò)多維的互動(dòng)，通過(guò)對(duì)學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的拓展、延伸，讓學(xué)生巧妙地建構(gòu)、創(chuàng)造出“三角形的內(nèi)角和”。

結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)往往能發(fā)散學(xué)生的思維，觸發(fā)學(xué)生的認(rèn)知［４］。通過(guò)互動(dòng)，能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感受、體驗(yàn)。通過(guò)結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)，能突破學(xué)生個(gè)體的封閉性的思維、認(rèn)知，從而讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)向縱深處拓展、延伸。結(jié)構(gòu)化的互動(dòng)能讓學(xué)生的思維與思維碰撞、情感與情感交融，能讓學(xué)生的認(rèn)知走向融合，進(jìn)而有效拓展學(xué)生的認(rèn)知方式、思維方式，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。可以這樣說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展、數(shù)學(xué)生命成長(zhǎng)，都是基于學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的結(jié)構(gòu)化互動(dòng)。結(jié)構(gòu)化互動(dòng)讓師生、生生構(gòu)建了一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的共同體。

四、結(jié)構(gòu)化反思：讓“做數(shù)學(xué)”走向高遠(yuǎn)

提升學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的質(zhì)量，優(yōu)化學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”的品質(zhì)，不僅依靠“做數(shù)學(xué)”的設(shè)計(jì)、組織、實(shí)施，還依靠教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)的反思。結(jié)構(gòu)化反思能讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)走向深遠(yuǎn)的境界。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)不僅是為了獲得科學(xué)性的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是積累相關(guān)的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中的相關(guān)的思想方法、文化精神等。從這個(gè)視角來(lái)說(shuō)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化反思是必要的、必需的。

比如，教學(xué)“圓錐的體積”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者給學(xué)生提供了豐富的結(jié)構(gòu)化的實(shí)驗(yàn)素材（其中有一些干擾性素材），如長(zhǎng)方體、圓柱體（等底等高的、等底不等高的、等高不等底的、不等高不等底的）及正方體等相關(guān)容器，學(xué)生先選擇圓柱和圓錐進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)（其中有等底等高的，也有不等底等高的）。對(duì)此，筆者引發(fā)學(xué)生反思：為什么要挑選圓柱和圓錐進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)？為什么不選擇長(zhǎng)方體和圓錐體來(lái)做實(shí)驗(yàn)？有的學(xué)生說(shuō)，因?yàn)樗鼈兌际乔嫘误w；有的學(xué)生說(shuō)，因?yàn)樗鼈兊牡酌娑际菆A形；還有的學(xué)生說(shuō)，為了便于比較等。受此啟發(fā)，有的學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該選擇等底等高的圓柱和圓錐進(jìn)行比較，因?yàn)榈鹊椎雀叩膱A柱和圓錐比較，可以直接得出結(jié)論。通過(guò)結(jié)構(gòu)化的反思，學(xué)生選擇等底等高的圓柱和圓錐進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，但是在實(shí)驗(yàn)過(guò)程的數(shù)據(jù)比較中，小組之間產(chǎn)生了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差。于是，學(xué)生再次對(duì)“做數(shù)學(xué)”材料進(jìn)行了反思，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：用沙子做實(shí)驗(yàn)材料，誤差比較大，因?yàn)樯匙又g存在著空隙；而用水做“做數(shù)學(xué)”材料，誤差比較小。

正是通過(guò)結(jié)構(gòu)化反思，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”過(guò)程和“做數(shù)學(xué)”結(jié)果不斷臻于完善。結(jié)構(gòu)化的反思是對(duì)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”過(guò)程，“做數(shù)學(xué)”結(jié)果中相關(guān)問題、結(jié)論的一種審視。通過(guò)結(jié)構(gòu)化反思，讓學(xué)生一方面要總結(jié)“做數(shù)學(xué)”的成功之處，另一方面要總結(jié)“做數(shù)學(xué)”的相關(guān)問題等。只有這樣才能真正通過(guò)“做數(shù)學(xué)”反思，提升學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”效能，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”不斷臻于完善。

教育家陶行知先生曾經(jīng)說(shuō)，“事情怎樣做就怎樣學(xué)，怎樣學(xué)就怎樣教”，“教的法子要依據(jù)學(xué)的法子，學(xué)的法子要依據(jù)做的法子”［５］。“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)就是要求學(xué)生將所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)“發(fā)現(xiàn)”“再造”“建構(gòu)”出來(lái)。因此，教師要將學(xué)生的“做”“思”“學(xué)”統(tǒng)一起來(lái)，讓學(xué)生在“做中思”“做中創(chuàng)”“做中玩”。如此，“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“做思學(xué)共生”“學(xué)玩創(chuàng)一體”的活動(dòng)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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