習題變式 撬動思維

曹志飛

［摘 ?要］ 在小學階段，習題變式是教學的重點與難點，它需要學生具備良好的數(shù)學思維和創(chuàng)造力，靈活解決變式問題是學生學習能力的體現(xiàn)。文章以幾道小學習題為例，對變式教學進行初步研究，旨在創(chuàng)新變式教學策略，促進學生深度學習，培養(yǎng)和發(fā)展其高階思維，最終提升數(shù)學素養(yǎng)。

［關鍵詞］ 習題變式；數(shù)學思維；深度學習；高階思維

“習題變式”是指對于某種習題，通過不斷更改問題的情境或者思維的角度，在保證習題本質(zhì)特征不變的情況下，習題的非本質(zhì)特征不斷變化。習題變式對學生的思維能力以及應變能力等方面提出了較高的要求。因此，采取何種措施來更好地實施“變式教學”顯得意義重大。本文提出幾種常見的教學策略，有意識、有目的地引導學生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中窺探“變”的模式及規(guī)律，打通知識脈絡，發(fā)展學生思維，穩(wěn)步提升學生的數(shù)學能力。

一、直接變式，熟知解題方法

在變式教學中，“夯實基礎”和“循序漸進”是第一要義。因此，引入簡單、基礎的直接變式是最關鍵的第一步，直接變式是對于同一類型題目解題方法與技巧的習得。直接變式可以分為形式變式與可逆變式兩種［１］，形式變式可以分為情境變式、數(shù)據(jù)變式以及兩種方法結(jié)合的變式。當然，不論何種形式的直接變式，其目的都是讓學生加深對各種典型習題的理解，熟知解題思路與方法。

比如，教師可以進行針對性的習題變式訓練：學校的體育館要添置一批新的籃球和足球，其中籃球有20個，足球有30個，已知籃球和足球的單價分別為80元和60元，一共需要花多少錢？

第一種是“情境變式”。教師可以將“體育館”改成“圖書館”，“籃球”以及“足球”則可以變成任意兩種書的書名。在實際解題中，學生發(fā)現(xiàn)這種形式的變式不會對題目的解法及結(jié)果產(chǎn)生本質(zhì)上的影響，反而能在不斷的變式訓練中從本質(zhì)上理解“單價×數(shù)量=總價”這一公式。

第二種是“數(shù)據(jù)變式”。“運算錯誤”常常是大多數(shù)學生的通病，因此，在學生能大致掌握解題套路而又出現(xiàn)運算錯誤的情況時，教師可對原題的數(shù)據(jù)進行改動，幫助學生進一步鞏固與提升計算水平。

第三種是“綜合變式”。在這種變式中，如果教師只是進行“1+1=2”式的變式，即純粹地對上述兩種方法進行堆疊，則意義不大。為了能起到“1+1＞2”的效果，教師可將題目改為：小汽車與客車分別從A地與B地同時相向而行，小汽車每小時行駛80千米，客車每小時行駛70千米，5小時后相遇，兩地相距多少千米？可以看出，在改變情境后，學生需要用到“速度×時間=路程”這一公式。雖說改變了公式，但從本質(zhì)上講，總價公式與路程公式屬于同一認知層面、同一結(jié)構(gòu)以及同一難度的兩個公式。如此一來，學生便能對這種同一類型的題目有更為全面的認知，同時也能起到鍛煉計算能力的作用，取得“1+1＞2”的教學效果。

第四種是“可逆變式”。教師可以將原題變?yōu)椋簩W校的體育館花費3400元購買了20個籃球和30個足球，已知籃球的單價為80元，足球的單價是多少？在這種變式下，原來的總價變成了條件，原來的單價則變成了結(jié)論。在實際教學中可以發(fā)現(xiàn)，只要學生明白了此題考查的是單價、數(shù)量與總價之間的關系，通過逆向思考，便能順利地解決問題。總之，所有形式的直接變式都是較為基礎和簡單的，是學生必須要掌握的。當然，對于教師而言，引導學生把握題目的結(jié)構(gòu)與本質(zhì)，這是最核心的東西。這樣一來，無論題目的情境、數(shù)據(jù)、條件以及結(jié)論如何變化，學生都能熟知解題方法，掌握數(shù)學思想。

二、間接變式，提升思維能力

如果說直接變式是一種橫向的、同一水平層面的變式，那么間接變式則是一種縱向的、垂直層面的變式［２］。通俗地講，間接變式可以將一個問題變得復雜且富有層次性，解題時學生需要對題中的各種條件抽絲剝繭，最終撥開問題的迷霧來解決問題。同樣地，間接變式可以分為拓展變式和對比變式。當然，無論是何種形式的間接變式，其宗旨都是為了提升學生的邏輯思維能力和判斷能力，從而逐步增強學生數(shù)學能力。

比如，教師對習題進行間接變式處理：超市新進了一批牛奶和餅干，共500千克，已知牛奶的數(shù)量為40箱，每箱重量為10千克；餅干的數(shù)量為25箱，則每箱餅干的重量為多少？

第一種是“條件的拓展”，教師可以對原題中的一些直接條件進行間接化的處理，將題中的“餅干的數(shù)量為25箱”這一條件改為“餅干的數(shù)量要比牛奶的數(shù)量一半多5箱”。可以看出，這種變式方法對于原題中“餅干的數(shù)量”這一直接給出的量設置了障礙，學生需要根據(jù)牛奶的數(shù)量來求出餅干數(shù)量。在這種變式下，學生只要能在熟知解題方法的基礎上，學會多思考一步，審清題意，搞清邏輯，題目便可迎刃而解。

第二種是“問題的變化”，教師可以改變原題的情境與問法，比如將題目改為“超市原本計劃上半年賣出660箱牛奶，但實際上每個月多賣出22箱，則實際上多少個月完成了銷售目標”。在此題中，“數(shù)量×月份=總數(shù)量”這一公式依然是解決問題的關鍵，但不同于原題中的直來直去，學生無法像原題那樣單憑數(shù)量等式去機械式地解決問題。此時，學生需要積極思考，去發(fā)現(xiàn)“每個月賣出的牛奶數(shù)量在增長”這一關鍵信息。如此一來，學生便能根據(jù)關鍵信息去思考“實際每個月牛奶的銷售數(shù)量”，繼而依據(jù)題中條件得出“實際每個月牛奶的銷售數(shù)量為132箱”，最終解決問題。

第三種是“對比變式”，教師可以在不改變題目結(jié)構(gòu)和情境的基礎上，對原題的運算方法進行改變，將原題改為“超市新進了一批總重量不超過480千克的牛奶和餅干，已知牛奶的數(shù)量為40箱，每箱重量為10千克；一盒餅干的重量為7千克，則餅干的箱數(shù)是多少”？可以明顯看出，該變式題在運算方法上對學生提出了不同的要求，學生在計算完“480-40×10=80千克”后，需要利用“余數(shù)”來解決問題，這是在原題中沒有體現(xiàn)的內(nèi)容。

總之，在間接變式下，習題會以另外一種面貌呈現(xiàn)在學生眼前，題中的信息變得更加復雜，但題目的本質(zhì)并未發(fā)生改變，學生只需要積極調(diào)動自己的思維，充分地思考，那么所有的間接變式問題都能輕而易舉地解決。

三、開放變式，提升創(chuàng)新能力

創(chuàng)新能力作為小學數(shù)學十大核心素養(yǎng)之一，對于小學生的成長具有至關重要的作用。因此，在練習題的選擇上，教師可以進行針對性的變式訓練，來更好地幫助學生提升創(chuàng)新能力。通過研究發(fā)現(xiàn)，相比于封閉式習題，開放式習題更能有效鍛煉學生思維能力以及提升創(chuàng)新能力。教師應給予學生更多接觸開放式習題的機會，讓學生思維不斷活躍，促使他們不斷提升創(chuàng)新能力。

比如，教材中常常出現(xiàn)如下習題：已知有一塊長為6米、寬為4米的長方形園地，現(xiàn)要畫出一塊長為4米、寬為2米的區(qū)域來種植樹木（如圖1），則該區(qū)域的面積為多少？占整個長方形園地的幾分之幾？可以看出，這是一道非常簡單的分數(shù)類題目，適合學生初期學習，但并不能起到提升學生創(chuàng)新能力的作用。對此，教師不妨將此題目進行開放式處理，將原題改為：已知有一塊長為6米、寬為4米的長方形園地，現(xiàn)需要在該園地上開辟一塊區(qū)域來種植樹木，要求此區(qū)域的面積是園地面積的一半，該如何設計？在實際教學中可以發(fā)現(xiàn)，“沿著長方形橫向或者縱向進行對半畫線”是學生能快速想到的一種方法。除此之外，學生則一籌莫展。此時，教師可以進行點撥：“難不成只有將圖形一分為二這一種方法嗎？”經(jīng)過思考，有的學生指出：“可以將長方形分為偶數(shù)個大小相同的小圖形，然后取出其中的一半。”在實際操作中，有的學生沿著長方形的縱向等距地畫出3條線段，從而得到4個大小相同的小長方形，最終挑選其中的2塊區(qū)域作為種樹區(qū)域；有的學生“依葫蘆畫瓢”，沿著長方形的橫向等距地畫出3條線段，也得到4個大小相等的小長方形。這時，教師需要繼續(xù)引導：“在這些方法中，不是單純地用豎線，就是純粹地使用橫線，大家有沒有其他想法呢？”通過質(zhì)疑，有的學生想到了將橫線與豎線融合的方法，把長方形沿著縱向和橫向等距地各畫出1條線段，從而得到4個大小相等的圖形，最終選取其中的2塊區(qū)域即可（如圖2）。

隨著越來越多方法的出現(xiàn)，不斷激發(fā)學生的發(fā)散性思維；同時，可以驚喜地發(fā)現(xiàn)，有學生將三角形的知識融入此問題的解決思路中（如圖3所示）。總之，在實際教學過程中，教師要經(jīng)常設計一些開放式的習題，幫助學生突破思維定式，讓學生大膽地提出自己內(nèi)心的奇特想法，鼓勵學生“天馬行空”地想象［３］。時間長了，學生高階思維能力的養(yǎng)成以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也將瓜熟蒂落、水到渠成。

四、綜合變式，發(fā)展綜合素養(yǎng)

小學數(shù)學知識本身的內(nèi)在聯(lián)系是緊密的，是一個不可割裂的整體。因此，這就要求學生必須擁有掌控知識全局的能力。同時，從習題設計的角度來說，如果學生學習一個新的知識點，那么在練習的時候，教師不能總是單一地呈現(xiàn)和該知識點相關的習題，而應該在習題中有效融入一些與新知識點相關的知識與內(nèi)容。這樣一來，學生既能熟練地掌握新知識，又能及時地鞏固舊知識，并且還能知曉兩者之間的聯(lián)系，真正起到融會貫通的良好效果，從而提升自身的綜合素養(yǎng)。

比如習題：現(xiàn)有一個用籬笆圍成的長方形菜園，已知菜園的長為6米，寬比長少2米，則長方形菜園的面積是多少？顯而易見，這是一道非常常規(guī)的“已知邊長求面積”類問題，只能承擔夯實學生基礎的作用，起不到提升學生綜合能力的效果。對此，教師可將原題改為：用一根長為24米的籬笆圍出一個長方形菜地，同時要求圍成的菜地盡可能大，那么長與寬分別是多少？此時長方形菜地的面積是多少？可以看出，此題既考查了學生對于周長的理解，也體現(xiàn)了學生對于面積的應用，甚至還包含了分類討論的思想。在實際練習中可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生雖然能從題目中讀出“長方形的周長是24米”這一重要信息，但不能很好地利用“圍成的菜地盡可能大”這一條件。這時，教師便可稍加引導，讓學生知曉要根據(jù)周長來羅列出大小不同的長方形，最后得到面積最大的長方形。依據(jù)這個思路，學生羅列出“長為11米，寬為1米”“長為10米，寬為2米”等長方形，最終發(fā)現(xiàn)“長為6米，寬為6米”的正方形的面積最大。此時，教師可以根據(jù)習題的答案延伸問題：“答案所得的是什么圖形？如果籬笆的長為48米或60米，那么菜地的面積最大是多少？此時又是什么圖形？”學生帶著這些疑問，利用分類討論的思想，成功地得到了“在周長不變的情況下，圍成的正方形的面積大于所有的長方形的面積”這一結(jié)論。可以發(fā)現(xiàn)，在單一的習題變得綜合化后，學生需要考慮的問題變多了，用到的知識更廣了。可以預見的是，經(jīng)過長期練習，學生必將能熟練地運用各種數(shù)學知識，最終提升自我的綜合能力。

總之，習題變式具有重要意義，其核心就是為了提升學生的創(chuàng)新能力和思維能力，最終更好地發(fā)展學生的素養(yǎng)。同時，變式題的數(shù)量不在多而在優(yōu)，教師一定要遵循學生的心理特點，依據(jù)適度性原則設計出層次分明的變式題，讓學生在循序漸進的過程中獲得更好的發(fā)展。

參考文獻：

［１］ 施翠琴. 小學數(shù)學問題解決中的變式教學研究［Ｊ］. 寧波大學，２０１３.

［２］ 李強. 小學數(shù)學練習課變式教學存在的問題及策略研究［Ｊ］. 寧波大學，２０１８.

［３］ 馬啟健. 高階思維發(fā)展下中低年級習題變式的策略探究［Ｊ］. 教師，２０２１（０９）：４６－４７.