在深度勾連中促進理解　感悟數與運算的一致性

鄭桂斌　葛琳

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》將數的認識與數的運算進行了整合，旨在使學生從整體上基于數與運算，感悟數的概念和運算的一致性。教師要理解數與運算一致性的價值與內涵，引導學生理解數的概念及數的運算本質上的一致性，深化對數學知識本質的理解，建立知識之間的聯系，形成結構化的思維，發展數學核心素養。

關鍵詞：數的認識；數的運算；一致性；數學核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）將數的認識與數的運算進行了整合，對數與運算的教學提出了新的要求。這樣的整合，有助于學生從整體上理解數與運算，感悟數的概念和運算的一致性。教師要基于數與運算一致性的價值與內涵，引導學生理解數的概念及數的運算本質上的一致性，深化對數學知識本質的理解，建立知識之間的聯系，形成結構化的思維，發展數學核心素養。

筆者以北師大版數學教材四年級下冊第一單元“小數的意義和加減法”中的“買菜”一課為例，談一談如何在深度勾連中促進學生理解算理，感悟數與運算的一致性。

一、勾連數的認識和運算，凸顯核心概念

核心概念是體現學科本質、統領教學內容的核心要素。教師要從整體視角審視教學對象，準確提取單元主題的核心概念，以核心概念勾連零散的知識點，自上而下、由表及里地梳理單元內部知識結構，為達成教學目標，落實核心素養提供有力保障。那么，“小數的意義和加減法”這一單元的核心概念是什么？我們從新課標、教材、學情等角度進行深入分析。

首先，我們從新課標的內容要求、學業要求及教學提示中找依據（見表1）。

“小數的意義和加減法”主要包括：小數的意義、小數的大小比較及小數的加減運算。小數的意義的教學是重點引導學生理解0.1，0.01，0.001等計數單位的含義；小數的大小比較也是基于計數單位多少的比較，而小數加減法對算理的理解也要追溯到數的意義，本質上就是小數計數單位個數的運算。所以本單元的核心概念就是“小數的計數單位”。教師在教學時應以此為核心，立足數與運算的一致性，構建出本課的整體結構。

【教學片段】

師：數字寶寶要進行一場足球比賽，你們看，它們邁著整齊的步伐上場了。數字寶寶們組成了一個什么數？（1.43）看到1.43，你能想到在生活中它可以表示什么嗎？

生：可以表示1元4角3分。

生：可以表示1米4分米3厘米。

生：我們還可以用計數器、面積模型等來表示1.43。

【思考】在以上的教學導入中，教師從復習小數1.43的意義入手，引導學生“運用不同方法表示小數”，結合具體的元、角、分、米、分米、厘米，拓展到使用計數器表示，再到抽象的面積模型，深入理解1.43中的1表示1個1、4表示4個0.1、3表示3個0.01，從而達到對小數意義概括性的理解水平。此教學環節不僅調動了學生對小數的認識、計數單位及其意義的原有學習經驗，還為后續探索小數加減法的計算方法做好了鋪墊。

二、勾連直觀模型，從算法到算理

算法是指在解決相同類型的計算或問題時，按照一定的計算方法和步驟得到結果的程序。算理則是指說明這種程序合理性的理論依據（比如小數點對齊即相同計數單位相加減）。對學生來說，算法是學習的外顯性表現，而算理是內顯性理解。解決問題時，學生通常從怎么算入手，在教師的引導下完成對于算理的理解，在此基礎上總結出算法，以此實現算理與算法的真正勾連。那么，如何引導學生真正理解算理、掌握算法呢？在本課教學中，教師應關注學生的真實想法，鼓勵他們思考遷移已有的經驗，用多種直觀模型探索1.25 + 2.41和3.66 - 1.25的計算結果，引導學生聯系數和運算的意義，在擺、撥、畫等操作活動中，感受計算小數加減法中相同數位對齊的道理，在探索算法中自覺地邁出感悟算理的第一步。

【教學片段】

笑笑去買菜，付錢時售貨員叔叔的算法是：一把油菜1.25元，一把芹菜2.41元，應該付3.66元。

師：售貨員叔叔算得對嗎？我們應該如何來驗證？

生：可以求笑笑買菜一共花了多少元。用加法計算，列式為1.25 + 2.41 = 。

師：這是一個兩個加數都是小數的加法算式，該如何計算呢？

生：我是用擺人民幣的方式計算的，先擺一個1元，2個1角，5個1分，表示1.25元。再擺兩個1元，4個1角，1個1分，表示2.41元。把它們合起來是3元6角6分，也就是3.66元。

生：我是借助計數器，把珠子畫在了不同的數位上，來表示大小不同的數字。

生：我是用面積模型來表達計算過程的。

師：你能用列豎式的方法計算一下嗎？

生：先用第一個加數1.25與另外一個加數2.41相加。注意要把相同數位對齊。先用百分位的5與百分位的1相加等于6，寫在百分位上。再用十分位的2與十分位的4相加等于6，寫在十分位上。最后，用個位的1與個位的2相加等于3，寫在個位上，點上小數點等于3.66。

在小數減法的教學中，為了保證一致性，教師也可以引導學生利用以上的四種方法進行計算。

【教學片段】

師：剛才同學們運用加法驗證了售貨員收3.66元是對的。聰明的你想想看，還有其他方法嗎？

生：老師，我想到還能用減法來解決。求3.66元減去1把油菜的價錢還剩多少元，如果等于一把芹菜的價錢，那就說明是對的。列式為3.66-1.25。

生：可以用擺人民幣的方法計算，可以借助計算器計算，可以借助面積模型計算。

師：這道題通過列豎式該如何計算呢？

【思考】本環節中，教師引導學生利用已有的知識和經驗選擇合適的方法，通過擺人民幣、撥珠子、涂面積模型等多種方法進行計算。學生在求和、求差的過程中，直觀感受到相同數位上的數字相加減的過程，初步理解“只有相同計數單位的個數才能直接相加減”的道理。

三、勾連整數小數，感悟運算一致性

新課標中明確指出：“通過小數加減運算與整數運算進行比較，引導學生初步了解運算的一致性。培養運算能力?！痹诩訙p法運算中，無論是整數的數位對齊，還是小數的小數點對齊，都是為了相同計數單位上的數相加減。因此在教學過程中，教師要引導學生關注加減法運算背后的道理，用核心概念“計數單位”打通整數、小數之間的聯系。教師通過核心概念建構脈絡清晰、條理分明、相互聯系的數學知識體系，進而引導學生體會不同數學知識、學習方法之間的一致性和可遷移性，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展數學核心素養。

這一部分我們設計了兩個層次完成。一是在“用豎式計算，總結算法”這一環節中辨析錯例，感悟整數、小數運算的一致性。

【教學片段】

師：這里有兩個算式，你能用豎式計算一下嗎？并試著說一說怎樣計算小數的加減法。

生：整數加減法末位對齊就是相同數位對齊，小數的末位可能不同，計算小數加減法時，當小數點對齊的時候才是相同數位對齊。

生：數位不同，不能相減。我們之前學過小數末尾添上0或去掉0，小數的大小不變，添上個0就不容易弄錯了。

師：在計算小數加減法時，要把相同數位上的數相加減。只要小數點對齊，相同數位就對齊了，其他就與整數加減法一樣了。

【思考】對于學生豎式計算時得到的不合理結果，教師并沒有武斷地加以評判，而是引導學生通過觀察和分析，發現錯誤原因，并基于“計數單位”這一核心概念，將小數加減法與整數加減法統整，引導學生在探究小數加減法的過程中始終抓住小數點對齊（相同數位上的數對齊）來進行計算。學生通過與整數加減計算方法的對比，體會計算方法中相同數位上的數相加減的道理，感悟小數加減法與整數加減法在本質上的一致性，從而總結出小數加減法的計算方法。

二是在總結過程中進一步深化。學生從一年級開始就學習了整數加減法，現在又學習了小數加減法，教師可以引導學生探尋它們的相同點和不同點，進一步深化認知：末位對齊和小數點對齊，看似不同，其實都是保證相同數位對齊，也就是能進行相同計數單位的累加或減少。因此，整數加減法和小數加減法的計算本質是相同的，實質上算的都是相同計數單位的個數。

教師引導學生觀察、思考、比較整數加減法和小數加減法的異同，總結它們之間的規律，加深學生對小數加減法與整數加減法運算的一致性的理解，為后續學習分數加減法運算打下基礎，形成對整數、小數、分數加減法的整體認知結構，培養學生的運算能力和推理意識。

總之，教師在教學中要抓住核心概念，幫助學生感悟運算的一致性，體會數與運算之間的密切關聯；要引導學生逐步把“數與運算”學習融入整個數的體系中，從整體視角抓住核心，建立結構；要引導學生利用遷移，學會聯系地思考問題，從而將零散、碎片化的知識整體化、系統化、邏輯化，促進思維可持續發展，促進深度理解，培養核心素養。

參考文獻：

［1］趙莉，吳正憲，史寧中.小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐：以“數與運算”總復習為例［J］.課程.教材.教法，2022（8）.

［2］吳飛.數與運算的一致性內涵要重點把握的六個問題［J］.福建教育學院學報，2023（10）.

（責任編輯：楊強）