數學體驗教學模式的建構與思考

萬濤 趙齊猛

【摘 要】 數學是思維的學科，學生在數學學習中會經歷認知沖突，經歷由不會到會，最終到熟練，由不理解到理解，最終到徹底清晰，由不知其然到知其然，最終到知其所以然的過程．學生通過教師設計的問題去體驗和感悟、經歷由淺層的經驗理解到深層的醒悟覺知的過程，這需要教師對數學體驗教學模式進行思考與建構，有效改善教學方式，提升數學學科的育人方式．

【關鍵詞】 數學體驗；教學模式；育人方式

數學體驗是指在外部操作和表層認知的基礎上，深刻感受數學對象、發現數學問題、領悟數學思想方法、積累數學活動經驗以及提升數學核心素養的一種深層次的認知與情感活動［1］．它可以是一種相對完整的數學學習方式，也可以是其中一個獨立的數學學習環節．

教學模式是在一定的教學思想、教學和學習理論的指導下，為完成特定的教學目標和內容，形成比較穩定且簡明的教學結構框架及其具體且可操作的教學活動方式．教學模式是教學基礎理論的具體化，是教學具體經驗的概括化，同時也是教學活動的基本結構．數學體驗教學同樣需要框架清晰且靈活可變的教學模式．

1 研究背景

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：數學教育承載著落實立德樹人根本任務、實施素質教育的功能［2］．縱觀中小學課程改革的發展趨勢，育人方式的變革在理論層面已經奠定了較為深厚的研究基礎，但缺少指向具體學科教學的模式研究，尤其是數學教學方面的研究還不成系統，相應有效模式的研究成果幾乎沒有，國內外的相關研究僅關注理論的探索、模型的構建、維度的分解，缺乏對育人方式變革的呼應，對數學體驗教學模式進行探索填補了這方面的空白．

數學體驗教學是很重要的教學方式和學習方式，它是學生認識世界，獲得經驗的重要窗口，也是新課改的一項重要內容．進行數學體驗教學，凸顯學生主體地位，關注學生個體差異，強調學生的“四基”和“四能”，使得不同的學生在數學上得到不同的發展，有效改善教與學的方式，提升數學學科的育人水平，對這樣的教學模式進行探索是有意義、有價值的．

2 模式建構

作為教師，我們都曾思考：什么樣的學習過程才是真正的學習呢？李吉麟老師給出了答案：“讓學習真實發生，真實的學習歷程產生于‘學習困惑，實現知識架構、思維碰撞、能力達成和精神鍛造.”

一個人什么時候才有深刻體驗？只有這個人遇到“學習困惑”，通過體驗，產生大覺知的時候，才具有深刻體驗.同樣，一個學生遇到問題，對問題產生沖突，和已有認知發生矛盾，產生困境，解決問題具有痛苦感的時候，學生的已有認知經驗明顯不足，渴望得到新的理解，這時學生經過親身體驗，經歷由淺層的經驗理解到深層的醒悟覺知，并對已有經驗進行重構，學生經歷了這樣的思考過程才是真正的學習．

在平時的備課中，教師要根據學情，設計一些具有體驗價值，讓學生產生“學習困惑”的問題，從而引發學生主動深入思考，使得學生產生濃厚的探索興趣.教學中，教師要關注學生對新知產生的矛盾，要關注學生的深思，要關注學生的頓悟，不要產生假體驗和假思維，體驗教學模式要引導學生從矛盾、困惑體驗走向成功體驗．

數學體驗教學要通過情景問題驅動，激活學生的已有經驗，啟發學生主動實踐探究，最后進行整體意義建構，如表1.從體驗活動、體驗目標和體驗表現中探索數學體驗教學的基本模式，讓體驗真正發生，讓學習過程真正發生．

3 案例研究

案例一 “一元二次方程”起始課.

授課對象：初二年級的學生.他們學習了一元一次方程、因式分解和平方根，還沒有學習一元二次方程．

（1）情景問題驅動

問題1：學校打算用16m長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍（長方形面積）較大？

問題2：我們將如何研究這些方程？

問題3：學校打算用16m長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，若一邊靠墻（墻的長度不限），能否圍成面積是30m2的長方形？

（2）已有經驗激活

根據已有經驗，學生采取列舉法，如表2：

（3）啟發實踐探究

師：圍成的面積可以是13m2嗎？

教師設置這個“困惑”問題，學生通過表2中的列舉法找不到答案，自然根據學習一元一次方程的經驗，設未知數列方程，設寬為xm，長為（8-x）m，得到方程x（8-x）=13．

這是一元一次方程嗎？顯然不是，學生根據經驗，發現只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程是一元二次方程．

師：我們該如何研究“一元二次方程”呢？

學生根據學習一元一次方程的經驗，會想到從定義、解法和應用去研究．

師：我們經過類比，已經得到一元二次方程的概念，下面來談解法，請每個同學寫1—2個一元二次方程，并思考如何求解？

生：①x2=4；②x2=4x；③x2-4x+4=0；④x2-4x+3=0；

⑤x2-4x+2=0；⑥x2-4x+5=0；…

對于初學一元二次方程的學生來說，學生具備解一元一次方程和因式分解的經驗，結合最近發展區，學生會根據已有的知識去解一元二次方程．

對于方程①x2=4，學生會想到一元一次方程的解法，去分母、去括號、移項、合并同類項，系數化為1，可是這個方程不需要這五步，學生以前并沒有思考過這個問題，自然遇到“學習困惑”，產生困境，和已有認知發生沖突，激發學生進行深入思考，探索其中的道理．

學生通過對平方根知識的理解，激活已有經驗，想到一個數的平方等于4，這個數是4的平方根，由于4的平方根是±2，所以x=±2．從思考到解出這個方程的過程，激活了學生解一元一次方程和平方根的知識經驗．當然也有學生想到把x2-4進行因式分解變成（x+2）（x-2），然后求解，這樣的思考和體驗才是真正的學習．

學生把方程②和方程①進行類比，發現方程②不能按照①的方法用開平方來解，因為4x不是一個常數，下面不知道該如何解了，思維被“阻礙”，再次面臨“困惑”．有些學生的思維被激活，根據已有經驗，開始嘗試用因式分解來求解，把x2-4x變成x（x-4），然后求解．

這時教師追問：確定不能轉化成完全平方，然后用開平方來求解嗎？再次激發學生對方程x2-4x=0的思考，很多學生恍然大悟，發現把x2-4x添加一個常數項4，就可以變成完全平方了，這樣就可以求解了．這樣的話，可以用兩種方法來解這個方程了．

教師啟發：這兩種解法，在思路上有什么共同的特點呢？學生這時開始觀察，發現不管是把方程變成x（x-4）=0還是變成（x-2）2=4，最后都是把一元二次方程變成一元一次方程來求解．

教師繼續啟發：那是不是解所有的一元二次方程都可以這樣做呢？

學生進行了實踐推理和驗證，通過③發現可以把x2-4x+4=0通過配方轉化成（x-2）2=0來求解，對于④⑤，學生發現都可以通過配方，然后轉化為一元一次方程來求解，不同的是④的解是有理數，⑤的解是無理數，但對于⑥，學生發現配方后得到（x-2）2=-1，出現了無實數解的現象，引發學生反思，究竟一元二次方程具備什么條件時才有實數解呢？為探索一元二次方程的實數解指明了方向．

師：我們通過以上的探索，發現可以用直接開平方法和配成完全平方的方法（簡稱“配方法”）解方程，還可以用因式分解法來解方程，下面請大家解剛列的方程x（8-x）=13．

（4）整體意義建構

通過“一元二次方程”這節課，教師根據實際問題，抽象出數學問題，通過設計的“困惑”問題：“圍成的面積可以是13 m2嗎？”啟發學生進行實踐探究，學生根據已有經驗，想到設未知數，建立方程模型來求解，得到方程后，發現這個方程并不是以前的一元一次方程，是一個以前沒遇到過的新的方程，該如何研究呢？學生在教師的啟發下，對一元二次方程的解進行探索，進而得到解一元二次方程的方法，最后解決實際問題．學生通過這節課不僅形成了解決實際問題的整體結構，還得到學習方程的基本結構（如圖1）．

案例二 體驗從“算式”到“一元一次方程”——“雞兔同籠”.

授課對象：初一學生.他們學習完用字母表示數和整式的加減，還沒開始一元一次方程的學習．

（1）情景問題驅動

今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

（2）已有經驗激活

學生在小學學習乘法時，知道雞的只數，就會用2乘以雞的只數得到雞的腳數，知道兔的只數，就會用4乘以兔的只數得到兔的腳數，當雞和兔在一起不知道多少只雞和多少只兔時，學生會想到假設全是雞，也就是假設一共有35只雞，得到70只腳，而實際是94只腳，少算了24只腳，因為把一只兔看成雞，每只兔少算了2只腳，也就是少算了12只兔的腳，所以籠中有12只兔．

（3）啟發實踐探究

師提出問題：我們剛假設全是雞，也就是假設有35只雞，最后得到12只兔和23只雞，假設和最后得到的不一樣，這只是一個假設而已，既然這樣，可以假設有34只雞和1只兔嗎？可以假設有33只雞和2只兔嗎？等等．

這個問題是教師根據學情，所設計的“困惑”問題，學生以前并沒有思考過這個問題，遇到“學習困惑”，產生困境，和已有認知發生沖突，激發學生進行深入思考，并且探索其中的道理．

學生通過體驗，探索得出：不管假設有多少只雞（只要小于或等于35只），都可以得到23只雞，12只兔.就不需要逐一去假設了，學生想到用字母表示數，如表3，假設有a只雞，（35-a）只兔．用含有a的代數式來表示，從用算式解決問題到用代數式解決問題，一共有2a+4（35-a）只腳．

如果2a+4（35-a）＜94，說明把一部分兔假設成了雞；

如果2a+4（35-a）＞94，說明把一部分雞假設成了兔；

如果2a+4（35-a）=94，說明正好有a只雞，（35-a）只兔，這就轉化成了方程，從而由代數式解決問題轉化到用方程解決問題［3］．

（4）整體意義建構

通過“雞兔同籠”這節課，學生感受到從小學的算式到初中的代數式，再到方程來解決問題的過程，把小學和初中的知識進行了很好地銜接，學生知其然并知其所以然，形成了學習知識的整體結構，如圖2．

4 教學思考

4.1 數學體驗教學模式的建構能引發學習真正發生

學生在學習歷程中產生“學習困惑”，這是讓學習真正發生的前提.如何讓學生產生“學習困惑”呢？在數學體驗教學中，問題是教學的前提，教師備課時，所設計的問題要貼近學生的現實生活，要貼近學生認知的最近發展區，一個問題提得好，能引發學生主動去探索，動手去操作，積極去思考，產生強烈的求知欲，學生自然想用已掌握的數學知識去解決這個問題．

在數學體驗教學中，教師一方面通過活動或問題，把學生帶入困境，另一方面引導學生走出困境．學生在這個學習過程中，利用已有知識、經驗和認知，然后通過體驗，解決遇到的困惑問題，將新知識納入自身的已有知識結構中，形成新舊知識結構的重組，經歷由淺層的經驗理解到深層的醒悟覺知．

學生通過學習困惑，產生思想關聯，通過實踐探索，完成思維躍遷，最后完善所學知識，經歷這樣的體驗歷程才能讓學習真正發生．

4.2 數學體驗教學模式的建構能實現知識關聯生長

通過對“雞兔同籠”的探索，學生明白了由小學的算式到初中的代數式，最后到方程的知識生長過程，學生感受到算式一步只能得到一個結果，步驟比較多，并且是一種逆向思維方式；而代數式則是把特殊的算式轉化為一般的代數推理，方程雖然需要設未知數，尋找等量關系，但是對實際問題的理解比較清晰，是一種正向推理的方式，是對多個算式運算的一個整合，學生通過這種體驗教學模式把小學的算術和初中的方程銜接起來，實現了知識的關聯生長．

通過對“一元二次方程”起始課的體驗，學生憑借所掌握的數學知識，所領悟的數學思想方法和所積累的數學活動經驗，應用到實際生活中去，發現新的問題，并嘗試解決．

學生通過這種體驗教學模式，自我感悟、自主建構、重建認知結構，把一元一次方程和一元二次方程的定義和解法進行知識的關聯和生長，對一元二次方程的整章知識框架有了整體感知，體驗了數學知識的邏輯發展，形成了數學核心素養，彰顯了數學的育人價值．

4.3 數學體驗教學模式的建構能推動育人方式變革

數學體驗教學模式的建構要關注學生思維方式的形成，關注學生的學習過程，提升學生的感悟覺知能力，注重學生的情感體驗，引導學生及時評價與反思學習的過程和結果．

在內容上，數學體驗教學模式注重理論聯系實際，強調學科知識與學習經驗和生活實際的聯系，把學科知識置于真實的情境之中，讓知識活起來.

在方式上，數學體驗教學模式堅持知行合一，強調動手實踐和做中學，用實踐、活動的方式進行學習，在探究、操作、體驗中解決問題、獲得真知，讓學生動起來.

在目的上，數學體驗教學模式強化學以致用，培養學生解決問題的真能力、真本領，讓學生的能力強起來．

在平時的教學中，教師要關注學生對新知產生的矛盾，關注學生對困惑的思考，關注學生學習的頓悟，不要讓學生在學習中產生假體驗和假思維．這樣的教學模式才能推動育人方式的變革．

參考文獻

［1］譚頂良．略論數學體驗的一些“要素”［J］．初中數學教與學，2021（12）：10-12．

［2］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準：2022年版［M］．北京：北京師范大學出版社，2022：1．

［3］萬濤，倪軍．銜接：搭建從小學算式通往初中方程的“橋”：以“雞兔同籠”為例［J］．中學數學雜志，2023（04）：40-42．

作者簡介 萬濤（1984—），男，安徽臨泉人，中學高級教師；南京市張愛平和趙齊猛初中數學名師工作室成員，南京市鼓樓區初中數學學科教學帶頭人，多次獲得南京市教育案例一等獎和鼓樓區青年教師基本功大賽一等獎;主要從事初中數學體驗教學和模式研究．

趙齊猛（1966—），男，江蘇省特級教師，中學正高級教師；曾獲全國中學數學教育教學論文一等獎，多次獲得江蘇省教師優質課評比、江蘇省教學基本功比賽和省論文評比一等獎；主持多項江蘇省重點資助課題，數學體驗課題研究成果曾獲得江蘇省第五屆教育科學優秀成果獎一等獎；發表論文近60篇．