高中數學中的“同構”

喬建元

摘要：文章列舉了相關的試題和解析，讓學生體會同構思想在解題中的優越性，從而提高學生相關的數學核心素養.

關鍵詞：同構；變形；核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0059-03

在高中數學中，同構是一種重要的思想或方法，意指構造相同形式的結構，其不僅僅是一個表面上的等價關系，還是指兩個數學結構之間具有相似的性質和結構特征.其雖未出現在教材中，但是卻在某些方面起著舉足輕重的作用.

1 同構在高中數學各方面的應用

1.1 集合方面

要找兩個集合有某種關系時，先研究限定條件的相同點和不同點，通過相同點發現或者構造出相似的結構，這樣只需研究不同點就可判斷二者的關系.

例1集合M=x|x=kπ2+π4，k∈Z，集合N=x|x=kπ4+π4，k∈Z，則下列選項正確的（）.

A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=

解析因為M=x|x=kπ2+π4，k∈Z=x|x=（2k+1）π4，k∈Z，N=x|x=kπ4+π4，k∈Z=x|x=（k+1）π4，k∈Z，當k∈Z時，2k+1是奇數，k+1是整數，所以MN，故選B.

1.2 方程方面

若f（x1）=a，f（x2）=a， 則x1和x2就是方程f（x）=a的兩個根，如果兩個式子的形式不統一，則需要對其中一個或者兩個方程變形，使兩個式子的形式相同，從而達到解題的目的.

例2已知x，y∈［-π4，π4］，a∈R，且x3+sinx-2a=0，（1）4y3+siny·cosy+a=0，（2） 則cos（x+2y）=.

解析（2）式左右兩邊同時乘以-2得（-2y）3+sin（-2y）-2a=0，構造函數f（t）=t3+sint-2a，f ′（t）=3t2+cost>0，則函數f（t）單調遞增，方程組變為f（x）=0，f（-2y）=0，由單調性的定義得x=-2y，即x+2y=0，所以cos（x+2y）=1.

1.3 三角函數方面

對于同名三角函數，只需根據單調性得到兩變量的大小關系；對于非同名三角函數，通過誘導公式和二倍角公式等將其化為同名三角函數即可.

例3在△ABC中，角A和角B滿足sinA-cosB+A+B<π2，則下列選項正確的是（）.

A.sinAcosB

C.sinB

解析sinA-cosB+A+B<π2變形為sinA+A

則函數f（t）單調遞增.

上式等價于f（A）

由單調性的定義得A<π2-B，即A+B<π2，所以C>π2.

對于A，sinA>0，cosC<0，所以sinA>cosC，A選項錯誤；

對于B，由0

同理，C選項正確；

對于D，由0

1.4 數列方面

若數列的通項公式為an=f（n），其同構式為an+1=f（n+1）（n∈N*）或an-1=f（n-1）（n∈N*且n≥2），則由an+1-an=p或an-an-1=p（其中p為常數）來判斷原數列an為等差數列；由an+1an=p或anan-1=p（其中p為常數）來判斷原數列an為等比數列.

例4已知數列an滿足a1=3，an+1=5an-8an-1（n∈N*），求證：數列an-2an-4為等比數列，并求出數列an的通項公式.

解析令bn=an-2an-4，則bn+1=an+1-2an+1-4.

則bn+1bn=（an+1-2）/（an+1-4）（an-2）/（an-4）

=an+1-2an+1-4·an-4an-2

=（5an-8）/（an-1）-2（5an-8）/（an-1）-4·an-4an-2

=3（an-2）an-4·an-4an-2=3=q，

bn=a1-2a1-4=-1，

則數列bn是以-1為首項3為公比的等比數列，所以bn=b1·qn-1=-3n-1=an-2an-4，解得數列an的通項公式為an=4·3n-1+23n-1+1（n∈N*）.

1.5 解析幾何方面

在高考圓錐曲線問題中，常常會涉及三角形，而這些三角形中，往往會有幾個點的運動是較為相似的，一般是在同一條直線上且在同一曲線上.因此，我們只需研究其中一個點和第三個點的關系，進而得出另一個點與第三個點的關系，亦即同構［1］.

例5已知拋物線C：x2=4y，⊙M：x2+（y+4）2=1，若點P在⊙M上，且PA，PB為C的兩條切線，切點分別為A，B，求ΔPAB面積的最大值.

解析設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），對于拋物線C：y=x24，則y′=x2，因此在點A，B處的切線斜率分別為x12，x22，則在點A處的切線方程為y-y1=x12（x-x1），化簡得切線PA：y=x12x-y1.

同理得切線PB：y=x22x-y2.

因為點P（x0，y0）在直線PA，PB上，所以y0=x12x0-y1，y0=x22x0-y2，則點A（x1，y1），B（x2，y2）在直線y=x02x-y0上，則直線AB：y=x02x-y0，聯立y=x02x-y0，x2=4y，得x2-2x0·x+4y0=0.

由韋達定理，得x1+x2=2x0，x1·x2=4y0.

則|AB|=1+kAB·（x1+x2）2-4x1·x2

=x20+4·x20-4y20.

點P到AB的距離d=|x20-4y0|x20+4，則

S△PAB=12·d·|AB|=12（x20-4y0）3.

又因為點P在⊙M上，所以x20+（y0+4）2=1.所以S△PAB=12［21-（y0+6）2］3≤205（其中y0∈［-5，-3］），當且僅當y0=-5時取“=”，所以ΔPAB面積的最大值為205.

1.6 函數和導數方面

函數的同構問題常見于指對混合函數的恒成立或零點問題中，重在觀察和變形，所以技巧性較強.當然這類試題也可以用其他方法完成，那么在這里用同構思想，更多的是提升學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算素養［2］.

例6已知函數f（x）=exx-lnx+x-a.

（1）若f（x）≥0，求a的取值范圍；

（2）證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1·x2<1.

解析（1）由已知得exx-lnx+x-a≥0.

則等價于a≤ex-lnx+（x-lnx）.

令t=x-lnx，則a≤et+t.

令h（x）=x-lnx，則h′（x）=x-1x.

易知h（x）的單調遞增區間是（1，+

SymboleB@

），單調遞減區間為（0，1），h（x）≥h（1）=1，即t≥1，易知et+t在t≥1時單調遞增，所以a≤e+1（當t=1即x=1時取“=”.）

（2）f ′（x）=（ex+x）（x-1）x2，f（x）的單調遞增區間是（1，+

SymboleB@

），單調遞減區間為（0，1），則不妨設0

即證f（x1）>f（1x2）.

因為f（x1）=f（x2）=0，即證f（x2）>f（1x2）.

即證ex2-1x2-2lnx2+x2（1-e1x2）>0.

令h（x）=ex-1x-2lnx+x（1-e1x）（其中x>1），

則h′（x）=（x-1）（ex-1）x2+x-1x（1-e1x），

易知當x>1時，（x-1）（ex-1）>0，1-e1x>0，

所以h′（x）>0，h（x）在x>1時單調遞增，

所以h（x）>h（1）=0.

2 結束語

教育部考試命題專家表示：數學學科高考加強學科核心素養考查，強化數學思想方法的滲透，試卷深入考查關鍵能力，優化試題設計，發揮數學學科高考的選拔功能，助力提升學生的綜合素質.數學核心素養的體現媒介之一就是同構思想，它幾乎貫穿高中階段的各個章節，在每年的高考題中都有體現.同構也是一種對稱美，數學學科不僅深刻嚴謹，同時也給人以美的感受，所以廣大考生應該重視同構

思想，找到題中的關鍵點，化繁為簡，在學習過程中注重積累總結，這樣才能在考試中從容不迫，應對自如.

參考文獻：

[1]張祖蘭，黎福慶.歸類教材中遞推式 同構求解數列通項[J].中學教學參考，2023（11）：29-33.

[2] 夏繼平.例談“同構法”在高中數學解題中的應用[J].中學數學研究，2023（08）：46-48.

［責任編輯：李璟］