建構主義下小學數與運算的一致性

【摘" 要】利用建構主義知識觀，助力學生在學習數與運算時形成對數的概念認知的一致性，對數的運算意義、算法、算理理解的一致性。本文以小學數學的教學實踐為例，通過一線的教育實踐經歷提煉出可行的教學方法。

【關鍵詞】建構主義；小學；數與運算的一致性

皮亞杰的建構主義指出，兒童通過與環境互動，逐步構建外部世界的知識，發展自身認知結構。學習的意義是幫助學生內化知識，形成知識網絡，培養專家型思維。史寧中教授指出，當前教材和教學缺乏數的運算一致性，新課標提出了“數與運算一致性”的理念。筆者在建構主義指導下，提出一些方法幫助學生加深對數的認識、運算算理的理解，培養數感、符號意識、運算能力和推理意識。

一、情境建構，感悟數認識的一致性

“數的認識”包括整數、小數、分數的認識。根據學生的認知特點將其安排在小學不同的學段，以前教師的整體意識較薄弱，較少思考知識點與知識點內在的聯系，導致學生對數的認知比較割裂?，F在，在新課標的指導下，教師在教學過程中要有意識地突出“核心概念”，呈現數學知識間的關聯，體現課程內容的一致性。筆者認為這三者認識的一致性體現為以下兩點。

（一）數概念形成的一致性

數是對數量的抽象。即數是由具體的數量或數量關系中抽象出來的。以人教版數學一年級上冊《1—5的認識》為實例。環節一，教師從情境圖入手，請學生用數學的眼光進行觀察，說說你發現了什么？生：“我發現了有1條小狗，2只鵝……”，學生邊數，教師邊板書“1、2、3、4、5”，在這個過程中教師幫助學生從具體實物中抽象出數字符號。環節二，學生動手操作，將數字用相應的小棒擺成熟悉的圖形，和同學進行展示交流。此環節借助小棒加深學生對抽象數字的理解。環節三，學生用“1、2、3、4、5”對現實生活進行描述，此環節為抽象的數字符號建立豐富的表象。整堂課學生經歷了“具體—抽象—具體”的過程，有助于學生初步感知基數的含義，形成數的概念。分數、小數也是如此，不管是三年級上冊《分數的初步認識》，還是三年級下冊的《小數的初步認識》，都是從學生最熟悉的生活情境入手，引導學生用數學的眼光觀察、發現問題，從對問題的解決中抽象出分數、小數，再讓學生用實物模型表示特定的分數、小數，強化對分數、小數的理解。在不同學段，用一致的教學思想“具體—抽象—具體”統領三種數的教學，讓學生感悟三者認識的一

致性。

（二）計數單位產生的一致性

數是對計數單位及計數單位個數的表達，即數都是由一定數量的計數單位累積而成的。“整數、小數、分數”都是構建于計數單位之上。以四年級下冊“小數的意義”教學片段為例。課件先出示學生熟悉的場景，簡要呈現“小數產生”的過程，感悟小數產生的必要性。接下來教學分兩個環節。環節一，測量一條長7分米的線段，測量結果用“米”做單位。測量時發現不足1米時，回顧舊知，引導學生把1米平均分成10份，每份可以用0.1米表示，計數單位“十分之一”因此產生， 7份就是7（數量）個0.1（計數單位）米。環節二，同樣是一條1米的線段，平均分成10分，點A在刻度4和5之間，點A如何用小數表示？學生以4人小組為單位討論，在學習單上動手操作。在操作過程中引導學生進行方法的遷移，有前面的鋪墊，學生自然而然地想到還可以再把0.1米細分，平均分成10份，每份是0.01米。更小的計數單位“百分之一”由此產生。點A對應的在第8小格的位置，就是有8（數量）個0.01（計數單位），就是0.08米，那么點A就可以用（4個0.1＋8個0.01=0.48）米表示。這時，再把點A向右移動1小格，追問：“現在是多少呢？”生：“比剛才多1小格，有9個0.01，即4個0.1＋9個0.01=0.49米”，二次追問：“如果再向右移動1小格呢？”生：“那就是再多1小格，就是10個0.01，就是1個0.1，也就是0.5米?！痹谶@個過程中，不僅能使學生直觀感受到新的計數單位的不斷產生，體會小數是計數單位的不斷累積，還讓學生領悟相鄰兩個計數單位間的進率是十。當學生全面掌握小數是十進分數后，學生就可以打通小數與整數之間的脈絡，和整數一起構成完整的位值制系統。在研究小數時，根據需要把單位“1”平均分成10份，再平均分成10份……，以此類推，不斷地細分。但也會出現不是等分成10份的情況，比如說平均分成3份，這時就出現了分數，但同樣可以得到新的計數單位“1/3”，取出其中的2份，即“2個1/3，是2/3”。和 0.1、0.01一樣，都是把單位“1”不斷細分從而得到更小的計數單位。

數感、符號意識和推理能力的形成與發展需要建立在具體的數學內容上，立足數學本質是培養學生數感、符號意識、推理能力的重要依托。在教學中教師應創設有利于學生學習的情境，引導學生把握數的本質，感悟數的認識的一致性。

二、意義建構，領悟數運算的一致性

數運算的一致性是指加減乘除間的運算及運算關系、運算本質的一致性。理解算理、掌握算法是形成運算能力和培養推理意識的根本。雖然《2022版數學新課標》在第三學段進行小數、分數的四則運算教學時才提出 “數運算的一致性”，但是教師在第一、二學段教學時就必須有意識的提前滲透，有機地將三者聯系在一起。筆者認為數運算的一致性可以從以下兩方面入手。

（一）“運算意義”的一致性

從運算意義上看，加、減、乘、除的本質上是一致的。所有的運算都源于加法，加法是所有運算的根基；減法是加法的逆運算；乘法是幾個相同加數相加的簡便運算，除法是幾個相同數連減的簡便運算。一年級下冊“同數連加”“一個數連續減去幾個相同數”，就是為二年級上冊“表內乘法”、二年級下冊“表內除法”做鋪墊。二年級乘法、除法的教學，教師通過引導學生動手擺一擺、畫一畫，回顧一年級所學過的知識，幫助學生從意義上對加減乘除進行串聯。六年級下冊“數的運算”復習課，教師出示“9+9=18”，學生通過這個算式說說其他和它有關聯的算式。學生會說：“18-9=9、9×2=18、18÷2=9、18÷9=2”，有的學生會從小數的角度去發散：“0.9+0.9=1.8、1.8-0.9=0.9、0.9×2=18、1.8÷2=0.9、1.8÷0.9=2”，還有的學生會從分數的角度去思考。由于在不同學段的長期滲透，學生在不自覺中構建以“加法”為核心知識網路，并打通整數、小數、分數的關聯。

（二）“算理與算法”的一致性

算理與算法是計算教學的關鍵。算理是對算法的詮釋，算法是對算理的總結，它們相互聯系，有機結合。它們有助于提高學生計算能力。它們的一致性體現在不管是整數、小數、分數的計算，都必須遵循四則運算的規則，運算律（分配律、交換律、結合律）與等式的基本性質對于三者同樣適用。在計算過程中，貌似三者的算法都不一樣，但是歸根結底所有的運算都是計數單位與計數單位的計算、計數單位上的個數與個數的計算。在教學中教師可引導學生通過思維導圖的方式將相關知識進行結構化整合，有助于學生掌握知識的本質及內在的聯系，不斷地將知識內化，建構屬于自身的知識網絡。

三、豁然貫通，頓悟數與運算的一致性

2022年版新課標將“數的認識”與“數的運算”整合成“數與運算”，提出讓學生“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。這一整合是以“計數單位”這一核心概念為統領，將數與運算作為一個整體組織教學，凸顯二者之間的密切關聯，體現“數與運算”的一致性。

整數、分數、小數的加、減、乘、除運算基于計數單位。加減法的本質是計數單位的累加或遞減。以五年級下冊“異分母分數加減法”教學片段為例。以往的教學，教師通常從“同分母分數相加減”進行復習導入，這樣的教學模式只能局限于本單元的知識講授，與整數、小數加減法的算理完全脫節。在新理念的指導下，可以這樣進行導入——課伊始，出示 “37＋41、0.37＋0.41、3.7－0.41、4/9－3/9”，師提問：“上面算式中的‘3’和‘4’能否直接相加減，為什么？”伴隨著問題的提出，學生從自身的知識構架里提取出“只有相同計數單位的數，才能直接相加或相減”的信息，并以此為依據解決問題。這既對以往的知識進行復習鞏固，同時為 “異分母分數加減”的學習提供依據。學生在推理的過程中打通分數、小數、整數三者運算的聯系，加深對數的運算本質的理解，感悟三者算理的一致性。

乘除法也是計數單位的不斷累加和細分，如小數乘法“0.4×0.9”，在教學中可借助方格紙幫助學生理解算理：0.1×0.1＝0.01，4×9＝36，36個0.01就是0.36， 36是計數單位的個數，0.01是新的計算單位，0.4×0.9就是求有幾個新的計數單位。在學習分數乘法“2/5×4/7”時，很多教師只教給學生算法：“分子乘分子，分母乘分母”，教師應從更深層次挖掘本質算理，即分子乘分子算出的是計數單位的個數，而分母乘分母是分數單位的進一步等分，得到新的分數單位。在教學分數除法時，同樣離不開計數單位。從學生已有經驗入手，“100÷50，是 10個10除以5個10等于2”，接著把這種思想方法遷移到“2÷2/5”，教師引導學生把2轉換成和2/5計數單位相同的分數，即“2÷（2/5）=10/5÷2/5=5”，轉化成求“10個/5里包含著幾個2個1/5”，也就是“被除數含有幾個與除數同樣多的計數單位”。這對小數除法同樣適用，以計數單位為核心，體現數的運算的一致性。在學生知識體系中進行建構，幫助學生對知識內在聯系有較深刻的理解。

從建構主義視角出發，教師引導學生建構“數與運算一致性”知識體系，培養學生的數感和符號意識，提高學生的運算能力、培養初步的推理意識。教師應深挖數學知識本質，提煉數學的核心概念，建構脈絡分明、聯系性強的數學知識網絡，從而引導學生體會數學學習方法的一致性和可遷移性，學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界，讓學生在不斷感知、內化與凝聚中發展數學核心素養。

【參考文獻】

[1]鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性[J].課程·教材·教法，2022.

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