化工原理教學中數學建模能力的培養

宋梁成 朱崇強 楊春暉

摘 ???要：數學模型法是一種重要的科研方法與解決實際問題的途徑，在化工原理課程的教學中多有涉及。鑒于此，應將數學建模能力的培養確定為該課程教學目標點之一，在教學中系統地融入數學建模過程，以課程的教學內容為載體講解數學建模方法與要點，以具體的實際案例訓練學生的數學建模能力，引導學生掌握科學的研究方法，培養并提高洞察力和想象力，從而激發出創造力，助力化工行業創新型人才的培養。

關鍵詞：化工原理；數學建模；能力培養；案例教學

中圖分類號：G642 ???文獻標識碼：A ???文章編號：1002-4107（2024）06-0046-03

一、背景

（一）數學建模的意義

數學建模是在充分認知復雜過程的基礎上進行合理簡化后建立數學模型解決問題的研究方法，在推動科學技術發展的過程中起到了重要作用。2 000多年以前，歐幾里德創立的幾何原理與17世紀牛頓發現的萬有引力定律都是科學發展史上典型的數學建模范例[1]。馬克思說過，一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步[2]。數學是各學科可以共同使用的一種科學語言，時代發展和科技進步的大潮推動數學科學迅速進入各個領域。以數學方法和計算機技術為核心的工藝研究與裝備制造已經成為化學工業的主要手段[3]。化工生產過程中的優化過程也是通過數學建模進行實現的，比如原料配比、產品生產工藝、產品設計、優化過程以及化工產業應急管理評價等[4]。

（二）培養學生數學建模能力的意義

數學建模是數學和實際問題的橋梁，這個橋梁的構建需要多方面的能力。面對一個實際的過程或現象，經過仔細分析后，能夠迅速抓住問題的關鍵點和主要因素，這需要的是洞察力與分析歸納能力。在掌握表觀現象的基礎上，能夠抽象地構建出相應的模型來描述這個過程，這需要的是想象力。數學建模能力的培養有助于學生對知識的本質實現高階認知，提高建模能力是培養學生運用數學知識分析解決實際問題的一種有效手段。

（三）化工原理課程培養學生數學建模能力的必要性

課程教育的目的是在傳授知識的基礎上培養學生的能力。化工原理課程的教學目的，不僅僅在于向學生傳授化工理論與單元操作的基本知識，更重要的是讓學生掌握科研方法與培養學生解決實際問題的能力[5]。而數學建模研究方法是化工原理課程最為常用的兩種研究方法之一。因此，在化工原理的教學過程中應結合課程內容融入數學建模教學。本文以兩個數學模型的應用案例在教學過程中進行數學建模方法及經驗的介紹，以生產生活中的實際案例培養并訓練學生通過數學模型法解決實際問題的能力，將數學建模教學滲透于化工原理教學的全過程，引導學生掌握科研方法，提高學生的科研能力，助力化工行業創新型人才的培養[3]。

二、數學建模

（一）基本方法

數學模型一般是實際事物的一種數學簡化。數學建模就是根據實際問題建立數學模型并在求解之后依據結果去解決實際問題的過程。建模方法包括機理分析法和測試分析法，機理分析法是根據對客觀事物特性的認知找出反映內部機理的數量規律，建立有明確物理或現實意義的模型，可以看作是一個“白箱”模型。測試分析法是將研究對象看作一個“黑箱”模型，是通過對輸入輸出數據的測量與系統分析，按照一定的準則找出數據擬合最好的模型。數學建模的成敗關鍵在于能否對真實的過程進行合理的簡化，得到一個可以用數學方程來描述的物理模型。要做到這一點，就需要對過程的變化規律足夠了解，并能夠抓住該過程的主要因素，進行大膽且合理的簡化，而不是將原型原封不動地復制過來。模型只要求反映與某種研究目的相關的那個方面的特征，使得模型在研究的某一方面與實際過程保持等效。

（二）主要步驟

數學建模過程的主要步驟如下。

1.對真實的復雜過程進行系統的分析。充分認知并掌握其復雜特性，在此基礎上分析得出將要簡化的方向。

2.對真實過程的復雜因素進行合理的簡化。確定并建立能夠用數學方程來描述的該過程的物理模型，該模型能夠真實反映各主要因素之間的定量關系。

3.對簡化的物理模型進行數學描述，即進行數學建模。數學模型不能全面完整地描述實際過程，但能反映實際過程中主要因素間的相互關系。

4.確定模型參數。數學中的模型參數往往具有一定的物理意義，但這個參數卻很難得出，模型參數是數據擬合過程的待定參數，可通過實驗確定；或將模型參數與過程中的物理量進行關聯，通過測定實驗物理量而確定模型參數。

5.模型求解與校驗。數學模型求解的結果要回帶相關的過程案例，確定是否能夠在一定程度不失真的條件下解決實際問題。

三、課程內容中的數學模型研究案例介紹

本文以案例教學的形式介紹如何結合化工原理課程教學內容滲透講解數學建模研究方法。以流體通過顆粒床層的阻力計算案例向學生講述數學建模過程需要深入的洞察力與分析能力；以相際對流傳質機理的研究歷程案例向學生展示研究者是如何發揮想象力構建不同的模型并逐步完善推進該領域的研究進展。

（一）流體通過顆粒床層阻力的計算

過濾操作過程中流體流過床層的壓降是實際工程中一個十分重要的物理量，但流體流經如此復雜通道時的壓降卻是無法依照實際流動狀態進行計算的，可以通過數學模型法來進行簡化求解。首先分析該問題，流體流經床層的壓降主要來源于兩部分：一部分是流體與顆粒表面間的摩擦所產生的壓降；另一部分則是流動過程中孔道截面突然擴大或縮小等產生的形體阻力壓降。觀察過濾操作的實際過程可以發現流體流經床層孔道的橫截面積較小且流速較慢，是處于雷諾數極低的狀態下流動，此條件下摩擦阻力壓降起主導作用而形體阻力壓降可以忽略。抓住問題的關鍵因素后，可以將流體流經床層的壓降簡化為摩擦阻力壓降進行求解。把流體流過復雜孔道流動狀態中壓降的求算簡化成流體流經直管時摩擦阻力的計算，這樣就建立了可以以直管摩擦阻力公式進行數學求解的物理模型。所建立的模型雖是實際過程的簡化，但在摩擦阻力計算方面要與真實過程等效，所以要根據實際過程來確定簡化模型的參數。摩擦阻力主要受流體與床層之間的接觸面積及其流動狀態兩個參數影響，簡化后的模型要保證這兩個參數與實際過程一致，即簡化后的直管束的流通截面積要與實際床層的平均自由截面積相等，且潤濕周邊長也與床層自由截面的平均潤濕周邊長相等。進一步分別將流通截面積與潤濕周邊長對床層高度進行積分，也就得到了簡化后的管束模型的床層空隙率以及比表面積要與實際床層相等，據此可以求出簡化后模型的床層當量直徑，見公式（1）[6]。其中ε為床層的孔隙率； ??為床層的比表面積。

獲得顆粒床層的當量直徑后，依照直管摩擦阻力公式計算出流體流經床層的壓降，將流體在床層內實際流速換算成空床時的表觀流速即可得到公式（2）[5]，

該公式即為流體通過顆粒床層的壓降的數學模型。這樣在講解流體通過床層的壓降知識點時，將數學建模的全過程展現給學生，重點講解數學建模的方法與要點。該數學模型的構建是在觀察并掌握流體通過床層的流動特征基礎上，對流體流動阻力的特征進行分析后忽略掉在極低雷諾數下的形體阻力而簡化建立的，由此不難看出數學模型的建立需要敏銳的洞察力。

（二）相際對流傳質機理的研究過程

化工單元操作當中的吸收、蒸餾與萃取等都是氣液兩相間的對流傳質過程，即相際對流傳質過程。相際對流傳質過程的傳質機理非常復雜，也一直是化工領域的研究難題。相際傳質過程可以分為三個步驟：某組分從一相主體擴散到相界面，在界面中轉入另一相，由相界面擴散到另一相的主體。依據相際傳質過程步驟，1923年Whiteman提出了雙膜模型，即停滯膜模型[7]。該模型的要點在于分析相際對流傳質過程阻力分布特征之后，將整個過程的傳質阻力簡化于相界面兩側的停滯膜內。該模型認為在停滯膜以外的湍流主體中濃度處于均勻狀態無傳質阻力；同時相界面處于平衡狀態也無傳質阻力。而停滯膜內其傳質的機理為分子擴散，這樣就能夠以停滯膜內的定態分子擴散過程來定量描述相際對流傳質過程，其模型參數為相界面兩側的氣膜厚度與液膜厚度。該模型的要點在于傳質過程要有固定的相界面，所以其適用范圍略窄，僅適用于流速不高的兩流體之間的傳質過程。當兩流體流速較高無法形成穩定相界面與停滯膜時，該模型與實際過程偏離較遠。

由于雙膜模型不能很好地解釋高速流動流體的相機傳質過程。1935年，Higbie又依據液相相界面的結構特征提出了溶質滲透模型，該模型認為液面是由無數微小的定期更新的流體微元構成[8]。氣液兩相接觸前液相界面處的濃度與主體一致，當氣液兩相接觸時液相界面瞬間達到與氣相平衡態的濃度，而后液滴在相界面的停留時間內，溶質以不定態的方式向流體微元中滲透。停留時間結束后表面得到更新，重新開始溶質滲透過程。如此構建物理模型后，就能夠以停滯時間為周期內的不穩態擴散過程來定量描述相際對流傳質過程。其模型參數為流體微元在相界面內的停留時間。與雙膜模型相比，溶質滲透模型更能準確地描述對流傳質過程，但模型參數停留時間很難確定。

溶質滲透模型不只是模型參數難確定，而且模型計算結果與實際情況的吻合程度也不夠好，因為各流體微元在相界面內的停留時間未必是均等的。因此，在1951年，Danckwerts引入數學中的概率論將溶質滲透模型進一步修正為表面更新模型[9]。該模型認為無論相界面上的液體微元暴露時間長短其被置換的幾率是均等的，因此引入了相應的模型參數單位時間內表面被置換的分率，即表面更新率。表面更新率是一個與流體力學條件及系統的幾何形狀相關的量可以通過實驗測定，而上述溶質滲透模型中的參數停留時間不可測定。這使得表面更新模型比溶質滲透模型更加前進了一步，但仍未徹底弄清相際對流傳質的機理，有待進一步研究推進認知。雖然，目前的模型距離用于實際計算還有一定差距，但是有助于理解該過程的本質，為提供強化傳質的思路起到積極的作用。

從相際對流傳質機理的研究過程可以發現，數學模型法在研究過程中起到了關鍵的推進作用，加速了人們對其傳質機理的認知。研究者在對過程進行分析認知的基礎上進行合理假設構建出相應的物理模型，而后采用數學模型求解。模型的逐漸前進是源于研究者對過程認知的不斷深入，更重要的是發揮充分的想象力，不斷完善舊有模型或構建新的模型。不同研究者對過程的分析研究提煉的要點不同會創造出不同模型。一個過程的數學模型并不是唯一的，這需要發揮研究者豐富的想象力去創造。因此，教師在教學過程中不僅要培養學生觀察洞悉的能力，更要培養其豐富的想象力激發其創造力，這是創新的源泉。

（三）雙層玻璃的功效

數學建模能力的培養包括洞察力、想象力、分析歸納能力以及邏輯思維能力的訓練與提升。在以課程教學內容為載體講解數學建模研究方法之后，可以以學生熟悉的生活案例或工程案例來訓練和培養學生的數學建模能力。比如，在北方城市，近年來很多建筑物的窗戶用的是雙層玻璃，也就是如圖1所示的兩層玻璃之間為一定厚度的空氣。這樣設計的原因主要是減少熱量向室外流失，起到保暖節能的效果。那么這樣的設計具體能夠減少多少熱量的流失，該如何評價其保溫效果，這就需要進行數學建模來進行定量分析。

進行數學建模首先要對實際過程進行系統分析，雙層玻璃的傳熱過程并不復雜，機理清楚，是一個簡單的“白箱”模型。熱量在固態玻璃中的傳熱機理為熱傳導過程，而雙層玻璃中間夾雜了一個空氣薄層，即導熱系數較小的物質，在膜層較薄的條件下可以認為該薄層內的空氣流動很微弱，其對流傳熱的效果可忽略不計。所以即便空氣是流體，但是因為膜層較薄空氣流動很微弱，此時傳熱機理依然是沒有宏觀運動的熱傳導。這樣進行適當合理的假設后獲得的簡化模型就是，原本的單層熱傳導變成了三層熱傳導。其物理模型的數學描述就叫傅里葉定律，在溫度變化不大的條件下，材料的導熱系數可以認為是常數或者使用定性溫度下的導熱系數。

因為傳熱的機理是熱傳導，所以采用傅里葉定律分別計算單層玻璃與雙層玻璃的熱量損失：（式1）單層玻璃上的熱通量計算，（式2）雙層玻璃上的熱通量計算。式中Tin應為室內溫度，Tout為室外溫度，ks為玻璃的導熱系數，kg記為氣體的導熱系數，d為玻璃層的厚度；l為空氣層的厚度。

式2與式1相比得到式3，其結果反映了雙層玻璃在減少熱量損失上的效果。其中，常用的玻璃在-20～30℃的導熱系數ks=0.756～1.0932W/m·℃，干燥空氣的導熱系數kg=0.0242W/m·℃，則ks /kg=31～45；常用的雙層玻璃的l /d=2.25[10]。由此可以計算出Q2 /Q1≈0.9～1.4%，也就是雙層玻璃比單層玻璃節約熱量約98.6%以上。由此可以看出，雙層玻璃的設計方案雖然工藝復雜制造成本略高一些，但能夠達到相當可觀的節能效果。將此案例拓展為三層玻璃，教師可以試問學生，為什么要設計三層玻璃而不是把傳熱系數較小的空氣層設計更厚一些，這就涉及了模型成立的前提條件，如果空氣層過厚空氣熱對流不可忽略，傳熱的機理不再是只有熱傳導而有對流傳熱，此時上述的傳熱模型不再適用，而且對流會強化傳熱降低保溫效果。

四、結論

數學模型法是在充分認知復雜過程的基礎上進行合理簡化后建立數學模型解決問題的研究方法。本文以課程教學內容中的流體通過顆粒床層的阻力計算與相際對流傳質機理的研究歷程兩個案例為載體系統講解數學建模方法的過程與要點；以實際生活中的雙層玻璃保溫效果計算案例來訓練數學建模能力。在化工原理課程的教學過程中系統地融入數學建模過程，能夠培養并提高學生的洞察力與想象力，助力化工行業創新型人才的培養。

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[責任編輯 ?姜 ???雯]

收稿日期：2023-11-23

作者簡介：宋梁成，哈爾濱工業大學化工與化學學院副教授，博士

基金項目：黑龍江省教育科學“十四五規劃”2022年度重點課題“一個平臺四云驅動的工程專業人才培養方法研究”（GJB1422065）；黑龍江省教育科學“十四五規劃”2023年度重點課題“基于校企協同的雙創教育與專業教育融合與實踐”（GJB1423127）；哈爾濱工業大學教學發展基金項目“化工原理課程教育教學改革”（XSZ2023051）

通訊作者：宋梁成