問題引領，整體建構，挖掘本質

【摘要】“問題是數學的心臟”，問題也是將零碎知識聯系在一起的橋梁與紐帶.本文圍繞“問題引領，整體建構，挖掘本質”這一主題，就蘇教版九年級上冊第五章“二次函數”的起始課為例，談一些認識和思考.

【關鍵詞】初中數學；課堂教學；二次函數

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在教學建議中提出，要“整體把握教學內容之間的關聯”“注重教學內容的結構化”“強化對數學本質的理解，關注數學概念的現實背景，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構”.也就是說在教學過程中應避免碎片化教學，要注重教學內容的結構化，在對新的章節開展教學時可以通過適當的方式讓學生對全章有一個整體的感知，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的數學知識體系.

1 學科內容分析

本課時內容為蘇教版九年級上冊第五章“二次函數”的第一課時，但這節課不是按課時內容進行的第一課時，而是作為一章的起始課，在整體觀念下打破教材的限制，站在全章整體的視角，在整個二次函數學習過程中起著引導和鋪墊的作用.第一節課就基于整章的核心問題、內容對象、邏輯關系、研究思路、思想方法等讓學生有初步的整體感知，理解整章內容，明白“為什么學，學什么，怎么學”.“二次函數”是初中階段有關函數知識的重點內容之一，是描述現實生活中變量之間關系的重要的數學模型，是繼一次函數、反比例函數之后對函數及其應用知識學習的深化和提高，是學習其他初等函數的基礎.本章知識點主要有二次函數的定義、二次函數的圖象和性質、用待定系數法確定二次函數的表達式、二次函數與一元二次方程和用二次函數解決問題.

2 教學設計

2.1 情境引入，生成概念

師：（PPT1）投影情境.

（1）水滴激起的波紋不斷向外擴展，所形成圓的面積S與半徑r之間有怎樣的關系？

（2）用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍較大？

（3）一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，加工費為45元．總費用y（元）與鏡面寬x（米）之間有怎樣的關系？

師：請同學們探究生活中的這三個問題.

思考后，一位學生板書.

師：上述三個問題中的兩個變量是函數關系嗎？

生：是，滿足函數的定義.

復習函數的定義.

師：你認為它們是什么函數？說說你的想法.

生：二次函數.

師：你能給二次函數下個定義嗎？說說你的想法.

生：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常數）的函數叫做二次函數.

二次函數的概念形成：

設計意圖 通過把生活中的三個問題抽象為二次函數的數學問題，將抽象的概念轉化為具體的實例，激發學生的學習興趣，讓其感受二次函數模型解決實際問題的必要性，即而感受學習二次函數的必要性.類比一次函數的定義，在三個問題的追問下生成二次函數的概念.

2.2 類比探究，形成研究路徑

師：我們從實際問題中抽象出二次函數模型，研究了二次函數的概念，同學們想想下面該研究什么？

生：概念—圖象—性質—應用.

師：你們認為如何研究二次函數圖象呢？（討論）

生1：列表、標點、連線.

生2：從特殊到一般.

……

設計意圖 學生回憶研究函數的“概念—圖象—性質—應用”的一般路徑，通過將二次函數與一次函數進行比較和聯系，將已有的知識和技能遷移到新的學習情境中，再次從知識結構上加深對研究函數方法的結構性理解.通過喚醒舊知讓學生運用一般到特殊的思維方式探究二次函數的研究順序，優化研究路徑，感受數學知識的連貫性和內在聯系.

2.3 合作探究，制定研究策略

師：我們明確了研究方向，理清了二次函數的研究路徑，下面該做什么呢？

師：請你畫出y=x2的圖象，說出這個函數的性質（以形思數）.

生：增減性、對稱性、最值……

師：如何畫y＝ax2" 的圖象呢？

生：列表、標點、連線.

師：可以，今天我們換種玩法，我們一起來由數想形（討論）.

師：你能通過函數表達式得到關于函數圖象的哪些結論？（由數想形）

生1：關于y軸對稱的拋物線.

生2：過原點.

生3：agt;0時，除頂點，圖象在x軸上方，alt;0時，除頂點，圖象在x軸上方.

生4：……

師：你能說出他們得到的結論依據是什么嗎？

生：……

師：如何畫y＝ax2＋bx＋c的圖象呢？

生1：列表、標點、連線.

生2：由數想形，得到圖形特征后利用關鍵點作圖.

師：思考a的取值范圍對其圖象會產生什么影響.

師：除了y＝ax2" 的圖象，你還能大致畫出哪些函數圖象呢？

生：從數的角度推理形的關系.

師：你能畫出y＝ax2＋bx＋c 的大致圖象嗎？

學生操作作圖，數形結合討論系數對圖象的影響.

師：看到y＝ax2＋bx＋c，你想到了什么？

生：一元二次方程、不等式……

師：那么我們在這章對二次函數研究的過程中就可以結合這些知識解決相關問題，你能提出相關的一些問題嗎？

生：……

師：在后面的幾節課中我們一起陸續解決這些問題.

設計意圖 引導學生主動探索、思考和解決問題，提出的問題具有挑戰性和啟發性，學生經歷以形思數、由數想形、數形結合，對本章常用的思想方法有了一定的認識，感受解決二次函數問題時數形結合發揮的作用，引導學生進行深入的思考和探索.通過制定研究策略，幫助學生理清學習思路，明確學習目標、學習內容和學習方法，培養自主學習能力，從而更好地組織和規劃學習過程.小組討論促進學生的交流和合作能力的發展，激發學生的學習興趣.

2.4 應用實踐，歸納鞏固

師：你能來解決開頭生物園問題嗎？

生1：數的角度，配方法求最值.

生2：形的角度，圖象找最值.

師：你能歸納二次函數解決實際問題的基本步驟嗎？

設計意圖 回歸問題情境，將所學知識應用到實際問題中，提高學生的實踐能力和解決問題的能力.制定二次函數解決實際問題的策略，分析問題，找出問題的關鍵點和難點，提高學習效果，滲透數形結合思想.幫助學生鞏固所學知識，感受建模、數形結合等思想方法，培養他們的實踐能力.

2.5 總結提升

師：預測一下如何研究一個三次函數？

生：類比一次函數、二次函數.

師：我們學習了二次函數，那什么是三次函數？該如何研究呢？

生：從概念—圖象—性質—應用這幾方面研究.

師：我們這節課學習了什么？

生：二次函數.

師：你有哪些收獲？

生：……

設計意圖 反思學習方法和策略，總結經驗教訓，對所學知識進行梳理和整合，加強理解，從不同角度進行思考和分析，在掌握知識和技能的基礎上，進行拓展和創新，培養學生的創新能力.

3 教學啟示與反思

本節課從情境創設到概念生成，從特殊二次函數研究路徑到二次函數研究路徑的普遍性，逐步分類構建，課堂知識結構清晰可見，函數、方程等核心概念、教學難點也被逐一突破.建構結構化的知識體系幫助學生形成知識的整體性，也能讓學生掌握知識間的區別和聯系，增強整體思維和全局意識.通過問題引領整體建構激發學生的好奇心和求知欲，培養學生的創新能力，鼓勵學生獨立思考，提高學生的思維能力和批判性思維，同時培養學生的自主學習能力，通過對問題的深入研究和解決，形成對知識的整體理解，這樣的教學更加貼近學生的實際需求，有助于提高教學效果.

3.1 以問題為導向引領教學實施

以問題為導向引領教學實施強調通過提出問題來引導學生主動思考和探究，本節課的教學主要由七個問題形成紐帶貫穿教學的實施.

問題1：二次函數的概念.

問題2：如何研究二次函數呢？說說你的想法.

問題3：如何畫y＝ax2" 的圖象呢？

問題4：如何畫y＝ax2＋bx＋c 的圖象呢？

問題5：解決生物園問題.

問題6：預測一下如何研究一個三次函數？

問題7：談談本節課你有哪些收獲？

通過這幾個問題生成概念，類比已學函數自主設計全章的研究路徑，初步建構出了全章的知識結構.形成解題策略、歸納總結思想方法，并且在問題探究過程中不斷發現新的問題，借助問題驅動學生自主發現本章的研究對象與核心問題，在獨立思考和合作交流中探究全章的主要研究對象、研究內容、研究方法及其內在聯系，初步做出全章的結構框架，從而實現整體教學.通過以問題為導向引領教學實施，可以培養學生的創新思維、實踐能力和團隊合作精神.

3.2 以學生為主體，在自主探究中整體建構

本節課內容對學生來說是一個新的學習內容，也是一個新的挑戰.這個挑戰一定是建立在學生已有的知識基礎和學習經驗之上的.教學中要注意運用最近發展區理論，學生經歷自主探究、自主發現，并且在這樣的過程中得到知識的生長、經驗的生長、生命的成長.在整個教學實施過程中要發揮學生的主體作用，教師扮演好引導者和協助者的角色.

在某種意義上說，整體建構的目的就是明白應該怎么學.教學活動是為了讓學生學會學習，也就是讓學生知道怎么學，所以說章起始課更要在知識結構性方面做好文章.這種結構上的東西，是由學生的悟性決定的.學生將所學的知識和經驗進行整合和組織，形成一個完整的知識體系和思維方式.本課例讓學生借鑒一次函數與反比例函數的學習過程與經驗，這就讓學生找到了二次函數的生長源；研究二次函數的概念、圖象、性質、應用等知識環節，學生找到了知識的源頭，進而形成生長節，最終長成知識樹.這是個由內往外的自然進發的過程，具備了生長的本質特征.

3.3 挖掘本質，提升核心素養

這個片段教學既要注意探究知識結構，又要注意探究解決問題過程中所用到的思想方法及問題的數學本質.本課例設計中一開始通過生活中的三個情境，讓學生感受研究二次函數的必要性，然后根據學生的學習經驗值入主題，研究二次函數的概念、圖象等.這些策略的研究一是基本經驗，二是基于創新，而又重在創新，而不是將學習的重點放在碎片化的技能訓練上面，而在以形思數，由數想形的過程中讓學生深刻感受到數形結合思想對問題解決的重要作用，在解決問題的過程中，運用和整合所學知識，實現知識的遷移和應用.這樣的經驗都讓學生發現、提出、分析、解決問題的能力都得到了提高，數學學科的核心素養也在經歷這樣的過程中有所提升.

【南京市教育科學“十四五”規劃課題“指向核心素養的初中數學問題教學實踐研究”（編號JZ/2021/058）的階段性研究成果】

參考文獻：

［1］吳曉，侯懂艷.初中數學大單元教學起始課設計——《二次函數》起始課實例［J］.當代家庭教育，2023（12）：152-154.

［2］張東.基于問題的整體教學探索——以“整式乘法與因式分解”起始課為例［J］.數學通報，2023，62（05）：17-20+25.

［3］張蕾萍.單元整體建構：促進數學核心素養的培養［J］.基礎教育研究，2022（02）：76-78.