高中數學導數教學化解學生理解困境方法

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A[文章編號]2097-2539(2024)19-0131-03

在高中教學階段如何提升導數教學有效性，破解導數理解困境迫在眉睫。該項教學任務具有一定的挑戰性，高中數學教師要積極創新教學觀念，結合學生的需求和特征，落實差異化教學法。更迭專業知識，構建輕松融洽的課堂教學環境，加深學生對導數概念的認知程度。讓學生可以由被動的學習狀態轉變為主動的學習狀態，精準闡述函數的單調性、極值等關鍵特點，提升高中數學教學質量。因此，研究高中數學導數教學化解學生理解困境方法極具現實意義。

一、高中數學導數教學的重要性

（一）知識銜接的橋梁

導數是初等數學與高等數學的橋梁。學生在學習函數知識時，會由圖像與基本性質入手。在導數的支撐下，可以開辟學生的學習視角，使其能夠深入感知函數變化率，提升學生對函數單調性等概念的理解高度。在推導求導公式時，學生也能感受到極限思想，這便是高等數學研究問題的重要舉措。通過開展導數教學活動，幫助學生順利完成知識的銜接任務，為后續學生學習高等數學知識奠定堅實的基礎。提前接觸并適應高等數學的思維方式，提升學生數學學習能力。

(二）思維培養的利器

導數教學有助于培養學生的思維能力。學生在學習導數知識時，會由定義出發，靈活調用其積累的數學知識，推導各類求導公式，應用其推導的公式去解決函數各類問題。學生只有具有較強的邏輯思維能力，才能環環相扣地完成各項教師布置的學習任務。并且學生會基于導數的幾何意義，將原本抽象的函數解析式與函數圖象聯系在一起，準確分析函數圖象的走勢特點，應用函數解決問題。由復雜的現實情景當中提煉構建數學模型，這會鍛煉學生的數形結合能力與抽象思維，從而提高學生數學思維的廣度與深度。

二、學生學習導數常見的理解困境及原因

（一）概念理解困境

處于高中階段的學生身心發展趨于成熟，但是其具備的邏輯思維能力仍舊有待提升，這就導致學生在理解導數概念時會感覺到困難。這是因為導數概念的本質是由極限的方式定義函數在某一點處的瞬時變化率，學生需要由直觀的函數圖象與計算過渡至應用極限的語言描述瞬間變化，這種思維跨度會比較大。學生在腦海當中難以構建較為清晰的認知架構，以記憶該概念。并且在面對抽象表達內容時，由于經驗匱乏，所以難以將實際意義與抽象符號相關聯，不能深入理解導數的內涵。導數會包含極限思想及動態變化，這與學生已有的知識體系差別會比較大。學生在學習導數之前，主要接觸的是函數的靜態性質。學生之前學習的函數知識和導數概念建立聯系時會遇到困難，學生由于知識整合能力及思維靈活性較差，所以難以將函數的靜態性質和導數動態變化相結合，致使學生難以深刻體會導數和函數圖象之間存在的深層次關系。

（二）運算理解困境

導數運算涉及的公式較多，如復合函數求導法則、導數的四則運算法則等。這些公式的形式較為復雜，所以學生在記憶這些公式時容易混淆，后續實際解題時不能準確選擇或者運用適宜的公式。運算準確率較差，難以清晰地梳理各個層次函數之間的關系。此外，部分學生對導數運算原理的理解不夠深入，只是機械性地背誦或者套用導數公式。導數運算原理會由函數變化率與極限理論為基準，理解難度會比較高，較為抽象。學生相關基礎理論知識理解不夠透徹，難以精準把握公式推導邏輯脈絡。這種機械化的學習方式會逐漸消減學生的學習興趣，阻礙學生舉一反三能力的發展。在學生后續遇到變形后的函數或者需要綜合使用多個求導公式計算時，不能根據具體原理分析轉化問題，從而使學生思維受阻。

（三）應用理解困境

導數在現實生活中的應用范圍較廣，如最小成本、最大利潤、加速度、瞬間速度等。這些問題具有一定的復雜性，學生只有具備較強的信息提煉能力及抽象概括能力，才能提煉出關鍵信息，創建適宜的函數關系。但是高中生的生活經驗匱乏，問題解決訓練的機會較少，所以在面對實際問題的過程中，不能快速識別出潛在的數學結構及變量關系。同時學生跨學科知識融合能力較差，難以構建有效的數學模型。部分學生對導數學習的認知存在誤區，難以發揮出導數這一數學工具的問題解決作用。教師在授課時，學生會表現出“為了學習而學習”的消極學習態度，難以將導數和其他數學知識或者實際生活問題聯系在一起。在后續面對需要使用導數解決的綜合問題時，解題思路受阻，缺乏主動使用導數解決問題的意識與能力。

三、高中數學導數教學中化解學生理解困境的策略

（一）優化概念教學

教師在開展導數概念教學活動之前，需要做好充足的課前準備工作，分析學情，選擇更具趣味性的教學案例，引導學生直觀認知導數的概念。站在認知心理學視角分析，學生會基于自身已有的認知經驗理解新知識。因此在授課階段，選擇實際案例，會為學生理解抽象的導數概念提供幫助，激發學生導數知識的探究興趣，激活已有數學知識經驗。例如，在講解“汽車的行駛路程”這一節知識時，該節知識會涉及“汽車行駛過程中速度變化問題”，汽車速度表指針會根據行駛過程的速度實時改變。這種實例的引入可以讓學生體會到導數在生活中的應用，同時符合學生的認知規律，可以有效降低相關概念的理解難度，學生也能較為輕松地接受導數概念。隨著我國信息技術的發展，互聯網、大數據分析等技術應用到教育領域中可以充實課堂教學內容，拓寬學生視野，并降低知識的理解難度。所以在開展導數教學活動時，教師可以借助多媒體軟件，動態演示導數概念中的極限過程。多媒體的交互性、直觀性與動態性會比較強，可以將原本抽象繪測難懂的數學概念，用一種形象生動的形式展現出來。比如，在幾何畫板當中，以函數 y=x² 為例， Δ× 變化，割線也會隨之變化。這種動態的演示方法可以打破傳統教學模式存在的桎梏，讓原本靜態圖形動態地展示給學生。學生可以直觀地觀測到極限的動態過程，加深學生對該概念的理解及記憶程度。另外，學生也可以自行操作多媒體軟件，改變參數，觀察函數圖像割線及切線產生的變化，這樣學生學習數學知識的主觀能動性就會變得更強。

(二)強化運算指導

在講解導數運算公式時，教師應組織、分類零散的知識點。讓學生建立更為完善的知識體系，培養學生信息的提取及存儲能力。可以將基本函數求導公式，依照函數的類型分類整理，讓學生觀察指數函數、三角函數、冪函數的求導公式特征，探索記憶這些公式的規律。例如，在講解導數的四則運算法則與復合函數求導法則時，需要引導學生探索各條法則的應用條件和步驟。由極限定義展開推導，記憶導數計算公式，這樣學生對其公式的掌握度就會變高，以便于學生在后續解題時靈活運用公式求解答案，提高記憶的持久性。導數運算教學不能完全強制性地將知識灌輸給學生，讓背誦套用公式，而是要給學生講解導數運算的原理。由于導數運算原理比較抽象，所以教師在授課時，應由極限的基本概念及性質方面入手。逐步推導導數運算公式和法則，細化推導步驟，這樣學生就能了解復合函數求導法的原理。在后續運算時，也能靈活運用公式，結合原理分析運算，降低計算錯誤率。想要讓學生較為熟練地應用導數運算，教師需要設計極具多樣化的練習題，構建多樣化練習情境，培養學生知識遷移能力。教師在設置練習題時，控制好習題難度。以逐層遞進的原則為基準，先讓學生求解簡單的基本函數，之后再逐步過渡至復雜的復合函數求導。在設計題型時，應包含解答題、選擇題與填空題。利用填空題考查學生對導數公式的應用及計算能力；利用選擇題考查學生對導數公式的記憶及理解程度；利用解答題考查學生的邏輯思維及運算能力，觀察學生能否完整地展示解題過程。這種多樣化的練習方式可以鞏固學生對導數運算知識的掌握度，同時還可以提高運算的準確率。教師要及時批改并反饋學生的練習狀況，針對學生存在的錯誤進行詳細講解。幫助學生共同分析出現錯誤的具體原因，及時糾正錯誤，鍛煉學生運算思維能力。

(三)提升應用教學

教師在開展導數應用數學教學活動時，應創設實際問題情景。學生在較為真實的情景中，可以更為透徹地理解并應用數學知識點，強調導數的幾何意義以及實際應用。傳統實行的導數教學方式會過于注重學生公式的記憶以及計算，致使學生難以理解導數的意義。所以在教學時，教師可以應用技術工具，選擇可視化教學方法，給學生提供更為豐富的教學案例，豐富導師應用教學的內容和形式。例如，“企業在生產某種產品時，成本函數為 A(x) ，收入函數為 B(×)，x 為產品的產量，當×為何值時，企業能夠獲得最大的利潤？”通過這類實際問題情景的構建，可以讓原本抽象的導數知識和學生現實生活連接在一起，從而激發學生的探究欲望，深切體會到數學知識的實用性特點。在構建問題情景的過程中，注意情景的復雜性與真實性，不可讓其情景脫離實際，而是要注重培養學生運用導數知識解決實際問題的能力。

在構建完問題情景后，教師應引導學生建立數學模型。數學建模包含模型假設、模型求解、模型檢驗等多類步驟。引導學生分析問題中的變量及常量，結合其存在的變量關系，提出合理假設。結合導數的定義及知識點，建立數學模型，這樣就可以將實際問題進一步轉變為數學問題，進而應用導數知識求解。以基礎概念理解為基準，引入導數的計算規則、高階導數等相關內容。利用練習及事例分析等多種形式，幫助學生掌握導數計算的規則和技巧。在導數應用教學方面，應側重于給學生講解函數的遞增遞減性與曲線的凹凸性質等重點概念，引入最優化問題，用于拓展學生思維及導數知識運用能力。在組織教學內容時，教師可以設計具有綜合性的練習題，檢驗學生對導數知識的掌握度。針對學生的具體學習情況，調整教學內容及教學深度，使學生可以逐步構建起較為完整的導數知識體系。若學生學習能力較強，那么教師可以適度添加一些拓展性挑戰性的內容。若學生學習能力較差，那么教師可以將教學的重點放置到鞏固基礎概念方面，給學生提供豐富的練習機會。同時，教師還應拓展應用領域，培養學生跨學科思維能力。在講解導數應用知識時，將其他學科的知識滲透，加強數學和其他學科的連接關系，這有助于培養學生綜合素養。比如，可以將生物學知識與導數融合，用于探究生物種群數量的變化率或者預測種群的發展趨勢等。這種案例的應用會讓學生明確認知導數的數學工具作用，組織開展跨學科項目式學習活動，組建學習小組合理分工，培養學生導出知識綜合運用能力，強化學生團隊協作精神。

四、結語

綜上所述，探究高中數學導數教學化解學生理解困境的方法，成為提升學生數學學科核心素養的迫切需求。在實際教學階段，教師應精心設計教學方案，優化調整教學流程。采取創設情景、引入實例等多種教學辦法，便于學生深刻感知并理解導數概念。注重多樣化練習，提高學生導數運算能力。建立數字模型，培養學生數形結合思維，由此化解學生在學習導數知識時面臨的概念、運算等方面的理解困境。教師要立足于學生“最近發展區”，針對學生對導數知識的掌握情況，創新教學辦法，滿足學生提出的各項學習訴求。穩步提高學生的學習能力，引導學生建立較為完善的數學知識架構體系，為學生后續學習相關知識筑牢根基。

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（責任編輯：易佳）