基于學材開發，加深數學理解

鄒衛剛

[摘要]新課標強調，高中數學教學既要立足教材，又要創造性地使用教材，積極開發和整合各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材，從而將“教材”轉化為“學材”，讓學生的思維活起來，讓課堂動起來，切實發展學生的綜合能力和綜合素養．研究者以“閱讀與思考代數基本定理”為例，通過對教材資源的開發與整合，充分調動學生參與課堂的積極性，在加深理解代數基本定理的同時學會學習．

[關鍵詞]教材；學材；理解；學習

數學教材是最基本也是最重要的課程資源，是教師教和學生學的基本素材和重要工具，在教學中的價值和地位是不言而喻的．不過．強調教材的價值并不是說在教學中可以照抄照搬，要知道不同地區、不同學校、不同學生，其教學水平、學習水平等有所不同．若在教學中照本宣科，勢必造成部分學生的不適，從而影響學生的學習興趣和學習信心，不利于學生數學學習能力和思維能力的發展．因此，在高中數學教學中，教師要從教學實際出發．活用教材提供的材料，創造性地使用教材．將教材轉化為更適合學生發展的“學材”，當然，為了達到這一目的．教師要認真鉆研教材、鉆研學生，深刻理解教材的編寫意圖．準確把握學生學習的現實起點，充分挖掘材料的功能，將教學資料以學生最易理解和接受的方式呈現出來．真正做到尊重教材．卻不拘泥于教材．有效激發學生的學習興趣，提升教學品質.

筆者教學“代數基本定理”時，以教材為依據，以學生已有知識為出發點，多方面整合各種教學資料，充分發揮學材的價值，引導學生在獨立思考與合作探究中獲得關鍵能力和必備品格.

教學分析

1．內容分析

在唯分論的影響下．部分教師在教學中喜歡“撈干貨”．對于“探索與發現”和“閱讀與思考”等內容常常是置之不理．本節課內容出于“閱讀與思考”欄目．蘊含著重要的數學思想方法．對開闊學生的視野．引導學生做數學、用數學有著非常積極的作用．因此．在實際教學中．教師要充分挖掘蘊含其中的數學思想方法，并提供時間和空間讓學生自主探究，將多種教學資源整合為學材，逐步提高學生的自主學習能力，發展學生的數學學科核心素養.

在學習本節課前．學生已經完成了復數的概念、性質等內容的學習，在此基礎上，將復數領域推廣到多項式方程領域．引導學生親身經歷用數學、做數學等過程，讓學生充分體會數學學習是一個不斷發展與完善的過程，從而讓學生學會用發展的眼光看待問題．切實提高學生學習的主動性、積極性，促進學生全面發展．

代數基本原理的證明超出了學生現有水平．因此本節課教學只要學生能夠猜想出代數基本定理，并且能夠用于解決簡單的問題即可，在本節課教學中，教師要擺脫傳統的講授式教學模式的束縛，引導學生經歷觀察、猜測、交流、反思等理性思維過程．讓學生在學懂會用的基礎上．掌握數學學習方法，培養學生可持續學習能力．

2．教學目的

（1）讓學生在具體實例中歸納猜想代數基本定理．并用規范的數學語言進行描述；

（2）體會方程的根的個數與方程之間、根與根之間、根與系數之間的關系．學會用歸納的思想方法研究問題;

（3）引導學生自主探究，讓學生在互動交流中養成良好的思考習慣，提升學生的自主學習能力．

3．教學重點和難點

（1）理解和掌握代數基本定理；

（2）韋達定理的推廣與應用；

（3）通過經歷觀察、歸納、猜想等思維過程，主動獲取知識.

教學過程

1．復習導入，啟迪思維

問題1數系為什么要擴充7在擴充過程中，什么保持不變？

問題2在復數集內，以下方程該如何求解？

（1）x2-1=0;（2）x4_1=0;（3）x2-2x+3=0;（4）x2-ix=0;（5）x3-3x2+5x-3=0;（6）x3+ix2-x-i=0.

問題給出后．筆者讓學生獨立求解．待大多數學生完成求解后．筆者讓學生以小組為單位進行討論．筆者巡視并適時給予指導．從而幫助學生順利完成解答．筆者讓各小組派代表展示解題結果，并鼓勵學生進行解后反思．讓學生體會方程形式的差異、根的差異，激發學生探索新知的積極性．

設計意圖 從學生的最近發展區出發．讓學生體會數系擴充的必要性和不變性，加強對基礎知識的理解，從而為新內容的學習做鋪墊，本課內容比較抽象，為了幫助學生理解和掌握，筆者從學生熟悉的方程出發，讓學生初步體會方程與根之間的關系．以便學生快速地融入新知的探究中．在此過程中，筆者創造機會讓學生獨立思考與合作探究．一方面加強學生對已有知識的理解和鞏固，另一方面讓學生學習復數后．對方程的根及方程的形式的認識更加豐富．點燃學生的學習熱情．

2．自主探究，知識建構

（1）指導觀察，猜想結論．

問題3 結合以上方程的形式及根的形式，請思考這樣幾個問題：①一元n次方程在復數集有幾個根？②如果一元n次方程有復數根．那么復數根間存在怎樣的關系？③類比實系數二次方程根與系數的關系能否得到復系數二次方程根與系數的關系？④復系數三次方程x3+ix2-x-i=0的根與系數存在怎樣的關系？⑤一元n次方程的根與系數存在怎樣的關系？綜合以上分析過程，你能得到怎樣的結論？

在教學中．筆者用PPT呈現各方程的計算結果，先讓學生獨立觀察、分析，然后小組討論、合作探究．在筆者的啟發和指導下，學生獨立思考．主動交流，課堂氣氛活躍．待大部分學生有結論后．筆者讓學生匯報交流.

設計意圖 從計算結果出發．讓學生對比觀察、歸納總結，逐漸形成猜想，在此過程中，筆者設置精心創設的問題，為學生思考提供方向．加快知識生成速度，本節課所學的內容非常抽象，僅憑講授很難讓學生理解和接受，同時直接教授也很難讓學生經歷觀察、歸納、猜想等思維過程，影響學生學習的積極性．不利于新知的理解與掌握．因此．在本節課教學中，筆者將主動權交給學生．讓學生相互交流、相互啟發、相互補充，逐漸形成正確認識，進而突破難點．當然．在此過程中，學生也遇到過一些障礙，筆者通過鼓勵和引導，充分發揮學生的主體價值．讓學生真正成了課堂學習主體．

（2）合作探究，提升能力．

探究1 任何一元n（n∈N'）次復系數多項式在復數集中可以分解為n個一次因式的乘積．一元n次多項式方程有n個復數根（重根按重數計算）．

①巧借特例，驗證定理．

學生根據以上結果能夠得到探究1，但是借助6個方程就得到這一結論．難免有些牽強，于是筆者又讓學生列舉了一些實例進一步驗證，從學生列舉的實例來看，大多數為一元二次方程和一元三次方程．因為一元方程的次數超過4．就沒有統一的求根公式了，這樣學生求解比較困難．基于此，為了讓學生獲得豐富的感知，筆者借助Mathematica軟件進行演示（如圖1所示），這樣學生就可以列舉更為復雜的方程進行驗證．以此加深對探究1的理解．

設計意圖 探究1的論證要用到代數基本定理．但是運用高中知識證明該定理是無法完成的，因此筆者沒有直接利用代數基本定理去驗證．而是引導學生運用特殊到一般的思想方法進行總結歸納，不過．僅通過6個特例來驗證顯然不具說服力．于是筆者又提供機會讓學生列舉更多的實例，讓學生像數學家一樣去發現、去探索，以此提升學生的學習信心，讓學生逐漸愛上數學學習．由于高次多項式的因式分解是一個難點問題．為了幫助學生突破這一難點．筆者借助Mathematica軟件進行了演示．這樣既能幫助學生積累豐富的感性素材，又能讓特殊到一般的思想方法深入學生之心．大幅提升學生參與課堂的積極性．

②引人數學史，理解定理.

接著筆者介紹代數基本定理的發展歷史．并鼓勵學生課后查閱有關資料，讓學生進一步體會引入該定理的必要性，堅定學生的學習信心．

設計意圖 數學學習不單要讓學生掌握知識，更重要的是要讓學生掌握研究方法．激發學生的學習興趣．因此．在實際教學中．教師有必要搜集一些學生感興趣的數學史．讓學生體會數學發展是如何一步一步走過來的，這樣不僅可以豐富課堂活動，激發學生的學習興趣，還可以培養學生的邏輯思維，對發展學生的問題解決能力也是極有益的，代數基本定理是比較抽象的．讓學生順著數學家的思路走近代數基本定理，有利于學生獲得深刻的理解．

探究2 假設復數a+bi是實系數一元n次方程axn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的根．那么它的共軛復數a-bi也是該方程的根．（復數根是成對出現的）

在論證探究2時，筆者又給出了這樣一個問題：已知復數1+2i是方程x2-ax+b=0（a，b∈R）的一個根，則a=____，b=____，方程的另一個根是____.

從教材安排來看．共軛復數只涉及相關概念．沒有對性質進行深入探究．因此．對于探究2的證明可以留給學生課后完成．這樣一方面可以減少課堂容量．提高學生的學習積極性；另一方面可以給學生提供獨立探究的機會，讓學生學會自主學習．

設計意圖 探究2比較抽象，學生很難理解和接受，基于此，筆者給出具體實例，以此降低思維難度，提高學生參與的積極性．同時，借助此實例可以有效鏈接探究1和探究2。并為后續問題的解決做鋪墊．

探究3 對于問題3．是否可以用韋達定理來解決呢？

設計意圖 引導學生利用韋達定理解決問題，讓學生親身體驗從二次方程的韋達定理推廣至三次方程的韋達定理的過程，滲透類比、歸納等思想方法，在此基礎上．筆者進行適度啟發．以此讓學生自然地將二次方程的韋達定理推廣至n次方程的韋達定理．引導學生用發展的眼光看待問題．

在筆者的啟發和指導下．學生完成韋達定理由二次向三次的推廣后．筆者又提出了一個問題：設a，b，c是方程x3-3x-2=0的根．則（1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=________.

結合探究2的結果．由韋達定理可得a+b+c=0，ab+bc+ca=-3，abc=2，然后通分并化簡，易求（1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=-3．

設計意圖 借助具體應用．一方面檢查學生對探究2的理解程度，另一方面讓學生體會數學探究的意義．提升學生的數學探究興趣．

3．學以致用，拓展延伸

（1）設a，b，c是方程x3-k1x-k2=0的根（k1+k2≠），則1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=________.

（2）試寫出anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的根與系數之間的關系．（不需要證明）

設計意圖 引導學生應用探究1及探究2的結論解決問題．讓學生體會韋達定理在解決實際問題中的價值，加深學生對代數基本定理的理解．

4．課堂小結，穩固知識

問題4通過本節課的學習．你有哪些收獲，還有哪些困惑？請從知識、思想、方法等方面談一談．

本環節筆者讓學生獨立思考．然后讓學生展示并交流所思、所想.

設計意圖 教學中引導學生從知識、思想、方法等方面進行多角度反思與回顧．讓學生在獲得知識的同時．掌握數學研究方法，提高學生的數學能力．

教學思考

1．充分發揮教師主導作用．提升課堂資源的價值

教師作為課堂教學的組織者．其肩負著對課程資源的鑒別、開發與利用．在課堂教學中．教師要提高對課程資源的認識．要充分理解數學知識的前世今生，以便教學中更好地呈現問題的來龍去脈．實現知識的融會貫通，同時．教師要關注學情．精心創設符合學生認知水平的問題．讓學生主動參與探究活動．有效激發學生的學習興趣．另外．教師要了解學生的困惑．在適當的節點創設梯度問題，以此提升學生的學習信心，讓不同層級的學生都能有所發展.

例如．在本節課教學前．筆者認真研究過教學內容，明確了三個探究主題（根的個數、根與根之間的關系和根與系數之間的關系）．并結合實例設計了相應問題．引導學生經歷觀察、探究、猜想等思維過程，從而讓學生在獲得知識的同時．掌握數學研究方法．獲得可持續學習能力．

2．充分激發學生主體價值，豐富課堂教學資源

學生不僅是課程資源的消費者．更是課堂教學資源的開發者．隨著現代信息技術的廣泛發展，學生獲得知識與信息的途徑趨于多元化，教師要提供機會讓學生查閱相關資料．以此通過信息的整合與加工，開闊學生的視野．加深學生對相關知識的理解．讓學生學會學習.

例如，在本節課教學中，筆者讓學生課后查閱相關資料補充探究結果的證明過程．這樣不僅可以開闊學生的視野．加深學生對代數基本定理的理解．還可以提高學生應用相關知識解決問題的能力．

3．充分發揮信息技術優勢，實現課堂資源的整合

在新課程背景下，各種與數學有關的信息技術為數學學習帶來了便利．例如本節課教學．在論證探究1的過程中，筆者引入了Mathematica軟件，幫助學生獲得更多的教學資源，讓學生充分體會探究的科學性、合理性，促進知識的深化和能力的提升．

總之．教師作為課堂教學的組織者、啟發者和點撥者，要不斷更新教學觀念和教學方法，關注各種教學資源的整合與加工，將“教材”轉化為“學材”，有效激發學生的學習興趣，讓學生從學會走向會學．