以圖示促進學生幾何直觀素養發展的策略探究

常嘉秋 陳志剛 張麗梅

摘要：在小學數學教學中，圖示作為學習數學的一種常用手段，也是解決數學問題的一種重要策略，它非常符合小學階段學生的認知水平，是學生攻克問題的最直接、最直觀、最便利的工具。教師可以通過圖示的方式來引導學生把復雜的數學知識變得形象具體、簡單易懂，從而有效地幫助學生厘清概念、分析數量關系和解決問題。

關鍵詞：小學數學；圖示；概念；數量關系；解決問題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）在“核心素養的主要表現及其內涵”中指出，幾何直觀包括能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類等內涵。在小學數學教學中，圖示作為學習數學的一種常用手段，也是解決數學問題的一種重要策略，它非常符合小學階段學生的認知水平，是學生攻克難題最直接、最直觀、最便利的工具。教師通過圖示的方式引導學生把復雜的數學知識變得形象具體、簡單易懂，能夠有效地幫助學生厘清概念、分析數量關系和解決問題。教師要在教學中通過圖示培養學生的思維能力，促進幾何直觀素養的發展。

一、借助圖示理解數學概念，發展形象思維

新課標指出，“經過獨立的數學思維過程，學生能夠理解數學基本概念和法則的發生與發展，數學基本概念之間、數學與現實之間的聯系。”概念是數學知識體系的重要支撐，從自然數的形成開始，數學是由一個個概念逐漸積累而成的。在數理邏輯中，對概念的理解是重中之重，學生只有在舊知的經驗基礎上不斷形成新的知識積累，才能不斷生成新的概念。教師在引入概念、理解概念和鞏固應用概念三個階段的教學過程中，應引導學生不斷進行觀察、比較、分析、思辨，主動參與概念的形成過程，獨立思考，形成對概念準確的認識。要達成這樣的目標，教師可以引導學生借助圖形這個顯性工具，通過畫圖，將不斷拆解的概念形成直觀圖示，進而發展幾何直觀，培養形象思維。

例如，在教學北師大版數學教材四年級下冊第二單元“認識三角形和四邊形”中的第二課“三角形分類”時，在前測中筆者發現，雖然學生已經在之前學習過三角形，對三角形的概念有了一定認識，但是他們對直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形的概念認識仍較為模糊，對于這些三角形的形成特點也沒有準確的判斷。在課堂上，教師可以事先準備好小棒學具，引導學生小組合作，用小棒拼擺三角形。學生組內分工，通過不斷動手操作和語言交流，首先根據小棒的長度特點拼成各種不同的三角形。其次，學生用筆沿著小棒畫圖，通用圖示將不同的拼擺方法留在紙上。再次，學生觀察和討論這些三角形的特點，他們發現有些三角形有一個直角、兩個銳角；有些三角形有一個鈍角、兩個銳角；有些三角形有三個銳角；有些三角形有兩條邊相等；有些三角形有三條邊形等，從而根據這樣的特點自己去進行分類和命名。最后，教師根據學生的分類，采用規范的方式對概念進行統一。學生自主動手操作，通過圖示直觀地得出了三角形分類出的各種概念，這樣的方式提高了學生幾何直觀能力，也使得概念教學不再枯燥乏味，激發了學生學習數學的興趣。

二、借助圖示分析數量關系，發展邏輯思維

新課標指出，“‘數量關系主要是運用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律。學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識。”教學中，如果學生無法準確理解數學問題中的數量關系或者對數量關系的認識存在模糊之處時，教師可以針對具體的數量關系掌握要求，引導學生通過圖示的方式，將較為抽象難懂的數量關系轉化為各種直觀的圖形符號，實現數量關系和幾何圖形之間的互化和對應。教師可借助圖示，將數學問題中抽象的數量關系直觀化，使學生能在這種轉化的過程中有理有據、清楚地表述數學問題中的數量關系和自己的思維過程，發展邏輯思維。

（一）在圖示中對比，使數量關系直觀化

利用圖示進行分析，厘清數量關系，是一種很好的解題策略，長方形直條圖就是數學圖示中的一種重要輔助圖形，直條圖也是學生畫線段圖的入門。作為學生首次接觸畫直條圖的問題——“求比一個數多幾或少幾的問題”，也是一類十分經典的問題，即使到了高年級，題目被重新表述，其實質仍是“求比一個數多幾或少幾的問題”，學生仍存在較高的錯誤率。為此，教師要引導學生通過圖示學會辨析。

例如，“一班得了12面紅旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？”這一題，教師可先讓學生自主畫出題意，并展示不同學生的圖示（見圖1），再引導學生進行辨析：我們很快看出第一幅圖信息是“一班得了12面紅旗”，但對于第二個信息“二班比一班多得了3面”并未明確地表示出來。第二幅中不僅用了一一對應的方法畫圖，標注多得了3面，還用虛線標注了此時的二班是由兩個部分組成的。這樣就能讓學生聚焦關鍵信息“二班比一班多得了3面”。最后，教師引導學生用大括號標注出圖中問題的部分，再一次讓學生展開辨析，最終厘清思路，從而解決問題。

（二）在圖示中分析，使思維過程可視化

圖示作為對數量關系的一種表達方式，能夠把信息的深層聯系直觀地展示出來。實際上，單純說理的教學效果遠比不上借助圖示。因為學生畫圖示時可以先在頭腦中進行思考，經歷先畫什么再畫什么這一推理過程，最后把思維直觀向外展現。為此，學生在畫圖示思考的過程中，也能夠展現思維過程。

例如，題目：“用盆景裝飾一個正方形噴泉池，要在每一邊都擺上8盆且每一邊相鄰兩盆的間隔相等，最少需要幾盆？”一般情況下，學生根據已學的周長知識，可以馬上計算出8 × 4 = 32（盆）。答案雖然符合前半部分題意，卻未體現“最少”這個最優解，因此出現錯誤。這就是因為學生陷入了固定思維，所以導致得出的答案是錯的。其實，這道題學生只要通過畫圖示，思維過程就能很清晰，能推理出這道題的巧妙所在：只要在噴泉池四個角各擺一個盆景，形成每個角所對應的盆景為相鄰邊所共用，得出6 × ? 4 + 4 = 28（盆），就是需要最少的盆景。

三、借助圖示解決數學問題，提高建模能力

由于年齡特點，小學生的思維正處在由形象思維向抽象思維過渡的階段，他們在遇到數學問題時，仍然習慣用形象直觀的思維方式去建立解決問題的直觀模型。為此，教師可以抓住學生思維的這一特點，引導學生利用簡潔明了的圖示方法，分析數學問題中的數量關系，根據數量關系一層一層地畫圖，逐漸厘清解決問題的思路，形成清晰、有效的數學建模，在提煉中逐步發展抽象思維。

例如，在教學人教版數學教材四年級下冊“數學廣角”中的“植樹問題（兩端都栽）”時，教師首先可以出示以下例題：植樹節到了，四年級一班在“綠水青山就是金山銀山”的號召下，到薩爾滸景區外一條全長為1000米的小路的一邊植樹，要求每隔5米栽種一棵（兩端都栽）。請問：一共需要栽種多少棵樹？

師：請你來分析一下這道題目中的數量要求。

生：這條小路的全長是1000米，樹與樹之間的間隔距離為5米，雖然小路有兩邊，但是只需要栽一邊。

生：題目中還要求植樹時必須兩端都栽，問題是一共需要栽種多少棵樹。

教師先引導學生在腦中思考種樹過程，再利用圖示法形成第一個種樹模型：在草紙上畫出一條線段來表示1000米的小路，線段的起點畫出一個點，表示種了一棵樹；與這個點在線段上距離5米的位置再畫出一個點，表示再種一棵樹；與這個點在線段上距離5米的位置再畫出一個點，表示又種一棵樹……

師：這樣一個點一個點地畫下去，畫多久才能全部表示出數學問題的模型？

生：需要很久，這樣太麻煩了。

師：你有什么更好的辦法嗎？

生：我們可以先在線段上取一小段研究栽種樹的規律，然后按照這個規律解決整個線段上的畫圖問題。

教師引導學生進行第二個數學建模，讓學生完成數學活動：探究棵數與間隔數的關系。

學生小組合作，自主探究后匯報，發現：棵數與間隔數的關系為：棵數 - 間隔數 = 1。

教師根據學生探究的結果適時提出核心問題：為什么植樹的棵樹要比間隔數多1呢？這個問題直指“植樹問題（兩端都栽）”的核心，使學生將在第二個建模過程中的思維清晰地顯示出來。

生：（指著線段圖）從第一個點開始，栽種的第一棵樹對應一個間隔，栽種的第二棵樹對應一個間隔……我們小組發現，在終點栽種的最后一棵樹沒有對應的間隔。因此，在這個數學模型中，栽種的棵數總是比間隔數多1，也就是說棵數 = 間隔數 +1，間隔數 = 棵數 - 1。

師：請大家回顧一下，我們剛才是怎么解決這個數學問題的？

生：我們是運用“化繁為簡”的數學思想，把復雜的問題簡單化，利用圖示的方法探究出規律，進而運用規律解決數學問題。

師：其實，“植樹問題”并不只與植樹活動有關，生活中還有很多數學問題也有和植樹問題相似的解決方案，也存在“間隔”，你能舉出一些這樣的例子嗎？

生：安裝路燈，安裝電線桿，排列隊伍……

師：在這些例子中，什么相當于“樹”，“間隔距離”又在哪里？課后，請你通過發現生活中的“植樹問題”，將數學知識與生活實例緊密聯系，建立數學模型。

總之，圖示作為解決復雜數學問題的簡單方法之一，能夠有效地幫助學生從直觀上理解數學概念、分析數量關系、解決數學問題，還可以培養學生的數學思維，發展幾何直觀素養。

參考文獻：

［1］丁玉成.借到“力”愛上“圖”［J］.小學數學教師，2019（3）.

［2］魏玉翠.應用畫圖法培養學生解決數學問題能力的作用探究［J］.教育教學，2021（10）.

（責任編輯：楊強）