立足核心素養，培養發散性思維

丁莉萍

在課堂教學中如何更好地培養學生的發散思維，提高學生的思維能力，發展學生的核心素養是教學中的關鍵任務.筆者結合自身的教學實踐從變式訓練和發展思維品質兩個方面談一談如何培養學生的發散性思維，與各位同行共同交流.

1 開展變式訓練，培養發散性思維

發散性思維是應對時代發展、靈活應用知識的重要思維能力.受應試思維的影響，在教學中普遍重視學生集中思維的訓練，但是對于發散性思維的培養卻不夠重視，影響了學生思維品質的提升.

1.1 一題多解促進思維發散

數學試題往往會存在多種解法，教師要引導學生從不同的角度和途徑尋求解決問題的方案，通過一題多解發展思維的靈活性和發散性.

例1? 求證：1-cos 2θ+sin 2θ1+cos 2θ+sin 2θ=tan θ.

師：大家嘗試用不同的方法來證明這道題，看看哪一組找到的方法最多.

生1：我們是通過二倍角公式統一角度進行證明.

左=2sin2θ+2sin θcos θ2cos2θ+2sin θcos θ=2sin θ（sin θ+cos θ）2cos θ（sin θ+cos θ）=右.

生2：我們是通過萬能公式將函數的名稱統一之后再進行證明.

設tan θ=t，則cos 2θ=1-t21+t2，sin 2θ=2t1+t2，

所以左邊=1-1-t21+t2+2t1+t21+1-t21+t2+2t1+t2=2t2+2t2t+2=t=右邊.

生3：我們還有第三種證明方法.利用tan θ=1-cos 2θsin 2θ進行證明.

左邊=（1-cos 2θ+sin 2θ）sin 2θ（1+cos 2θ+sin 2θ）sin 2θ

=

（1-cos 2θ）sin 2θ+sin22θ（1+cos 2θ+sin 2θ）sin2θ

=

（1-cos 2θ）［sin 2θ+（1+cos 2θ）］sin 2θ（1+cos 2θ+sin 2θ）

=

1-cos 2θsin 2θ

=右邊.

生4：還可以通過正切半角公式進行證明.

tan θ=1-cos 2θsin 2θ=sin 2θ1+cos 2θ=1-cos 2θ+sin 2θ1+cos 2θ+sin 2θ.

教師引導學生通過多種角度探尋解題方法，并對多種解題方法進行歸納總結，使學生進一步明晰解題的思路，為靈活使用知識解決問題奠定基礎，培養了學生思維的靈活性和發散性.

1.2 開放型試題促進思維發散

教師引導學生從已知條件中尋找多種結論，并進行證明，促進學生思維的發散性.

例2? 已知角α，β滿足

sin α+sin β=13，①

cos α+cos β=14.②

根據題意可以得到哪些相關的結論？

學生經過討論，展示各自得到的結論.展示如下：

生5：由式①的平方加上式②的平方，可以得到cos（α-β）=-263288.

生6：由①式與②式相乘，再和差化積可以得到sin（α+β）［cos（α-β）+1］=112.結合生5的結論可以得到sin（α+β）=2425.

生7：由式①的平方減去式②的平方，再和差化積可以得到2cos（α+β）［cos（α-β）+1］=-7144.結合生5的結論，可以得到cos（α+β）=-725.

生8：式①除以式②，再進行和差化積去公因式，可以得到tanα+β2=43，接下來使用萬能公式可以求角（α+β）的正弦值、余弦值以及正切值.

生9：由sin2α+cos2α=1，將角α消去，可以得到4sin β+3cos β=2524.同理消去角β，可以得到4sin α+3cos α=2524.

生10：由式①與式②相加，并逆用兩角和的正弦公式，可以得到

sinα+π4+sinβ+π4=7224.

將式①減去式②，接著逆用兩角差的正弦公式，可以得到sinα-π4+sinβ-π4=224.

生11：由式①乘3減去式②乘4，于是可以得到

3sin α-4cos α+3sin β-4cos β=0，即角（α-θ）的正弦值與角（β-θ）的正弦值之和為0，

也可以得到2sinα+β-2θ2cosα-β2=0，其中tan θ=-43，θ為第四象限的角.

所以α=2kπ+π+β（k∈Z），這樣角（α+β）的正弦值、余弦值以及正切值都可以求出來.

本例中通過開放型試題的引入，引導學生發散思維，多角度的思考結論.教師可以從多種角度引導學生思考題干的條件以及條件之間的關系，通過運用不同的手段變換條件探索結論，促進思維的發散，同時培養學生面對問題和困難能夠堅持不懈的研究精神以及開拓創新的能力.

1.3 變換試題條件促進思維發散

變式練習不僅是教師將題目的條件、結論改變以訓練學生的思維，還可以通過引導學生自主改變題目的條件，進行變式訓練，從而讓學生能夠從不同的角度和運用不同的知識解決問題.

例3? 自主設計等差數列變式練習.

師：大家都知道等差數列的通項公式為an=a1+（n-1）d，因此在這個通項公式中只要知道四個變量中的三個就能求出另外一個.下面請大家自主命題，結合等差數列的通項公式設計一道科學正確的試題.

生1：已知數列{an}為等差數列，a1=1，d=-2，請問-9為數列的第幾項？

生2：已知數列{an}為等差數列，a1=1，d=-3，請問-9為第幾項？

師：大家不妨計算一下生2的這道題，看看能不能算出結果？

生3：我算出來了-9為第133項.

（學生紛紛笑起來.）

生4：項數怎么可能不是整數呢？

師：所以這道試題是不成立的，同學們在編題的時候要綜合考慮變量的取值范圍還有公式的適用范圍，不是隨意取數字哦！

本例教師將學生變成命題者，要求學生自主命題并給出解析.這一過程學生要充分使用已學的等差數列的通項以及求和公式，才能在命題的過程中綜合考慮各種因素使題目成立.這樣的教學方式既鍛煉了學生的思維，也激發了學生的求知欲，活躍了課堂氛圍，促進了學生思維的發散性.

2 提高思維品質，助力發散性思維

思維的發散性、深刻性、廣闊性等特征是有機統一、相輔相成的，因此培養思維的發散性還需要綜合提升思維的品質，為培養發散性的思維奠定基礎.

2.1 培養思維的深刻性

深刻的思維對于數學學習至關重要，它關系著學生能否透過復雜的題干條件透析問題的本質，能否總結事物之間的發展規律.思維的深刻性是學生進行深度學習必備的思維品質，反映了思維過程的抽象程度.

例4? 方程sin x=lg x有幾個解？

師：同學們看一下這個方程，我們可以求出它有幾個解嗎？

（學生紛紛拿出紙和筆開始計算，但是過了幾分鐘也沒有學生計算出結果.）

師：看來這道題是有一定難度的.倘若我們僅僅從方程的角度考慮，確實是解不出來，那么，能不能換一種方式，用數形結合的方法求解呢？

生4：我明白了，可以用函數的圖象來解決，圖象有幾個交點就代表方程的解有幾個.

師：很好，看來上述方程除了代數的方法，還可以利用幾何法來解決.

本例教師通過一道解方程的試題，表面上是進行方程的求解，實則滲透了數形結合思想，使學生更加明晰幾何與代數之間具有內在的聯系，二者不是相互分割的.通過試題實現了知識的串聯和數學板塊之間的橫向溝通，引導學生抓住了事物的本質，發展了思維的深刻性.只有在深刻思考的基礎上，經歷思維的抽象過程，才能為思維的發散性提供有力的前提.

2.2 培養思維的廣闊性

思維的廣闊性使得學生在解決問題時能夠全面看待問題的各個方面，既能關注重點，也不忽視細節，能夠全面調動與求解問題相匹配的知識，從而探尋問題的答案.思維的廣闊性與思維的封閉性、局限性相對，是打開學生的視野，能夠舉一反三、觸類旁通的重要基礎.

例5

已知一條拋物線在y軸和x軸上的截距分別為3和4，其對稱軸為直線x=-1，求該拋物線的方程.

生5：我們可以設拋物線為y=ax2+bx+c，然后根據題意中該拋物線在y軸上的截距為3，求出方程中c的值，再由其他條件求出a，b.

生6：我還有其他的方法，因為題干中告訴了它的對稱軸為x=-1，所以選擇頂點式進行求解.

生7：我還可以用零點式方程進行求解.

在解決本題時學生選擇題干中的一個條件作為側重點進行突破，體現了學生在注意整體觀察試題的情形下能夠關注細節，在思維廣闊性的基礎上發揮了思維的靈活性、發散性調動相關的知識和技能尋找解題的途徑.

綜上所述，在數學教學中教師要從多角度啟發學生進行探索，引導學生進行廣泛的聯想，調動知識儲備，構思獨特和巧妙的解題方法，提高解題的速度和效率，發展學生思維的發散性.