圓冪定理的巧妙應用

陳丹潔

摘要：圓冪定理是每年中考必考的一個基本知識點，在解決平面幾何的求值、判斷、證明、綜合等相關問題中都有著廣泛的應用，結合實例，就圓冪定理的應用加以實例剖析，指導數學學習與復習.

關鍵詞：圓冪定理；相交弦定理；割線定理；切割線定理；應用

由平面幾何中的圓心角、圓周角及弦切角定理等，可以得到與圓的弦、切線、割線等有關的相似三角形中的數量關系，即相交弦定理、割線定理和切割線定理，這三個定理統稱為圓冪定理.圓冪定理在解決圓的弦、切線、割線等的數量關系中應用非常廣泛.下面就圓冪定理的一些常見應用加以實例剖析.

1 求值問題

例1如圖1，已知△ABC是⊙O的內接三角形，PA是切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，且PE=PA，∠ABC=60°，PD=1 cm，BD=8 cm，求EC的長.

分析：要求解的線段EC在圓內對應的相交弦中，考慮到用相交弦定理，因此把問題轉化為求解其他各線段長度的問題.結合條件，分別利用切割線定理與弦切角定理加以判斷與分析.

解析：由于PA，PDB分別為⊙O的切線和割線，結合切割線定理有PA2=PD·PB=1×（1+8）=9，可得PA=3，則PE=PA=3，所以DE=PE-PD=3-1=2，于是EB=BD-DE=8-2=6.

又PA為⊙O的切線，∠ABC=60°，所以由弦切角定理得∠PAC=∠ABC=60°.

因此△AEP是等邊三角形，即AE=PA=3.

由相交弦定理，有AE·EC=DE·EB.

所以EC=DE·EBAE=2×63=4 （cm）.

點評：對于圓中相關的線段求值問題，一般要進行正確轉化，結合弦切角定理、相交弦定理以及切割線定理等加以判斷與分析，關鍵是正確處理圖形中相關的點、線、圓的關系，并結合相應的定理求解.

2 判斷問題

例2如圖2，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H.P是弧AC上一點（點P不與A，C兩點重合）.連接PC，PD，PA，AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F.給出下列四個結論：①CH2=AH5BH；②AD=AC；③AD2=DF5DP；④∠EPC=∠APD.其中正確的結論是（只填序號）.

分析：根據圓冪定理，通過相交弦定理、垂徑定理、三角形相似的判定與性質、圓周角定理、圓內接四邊形的性質等，結合題目條件對給出的四個結論加以逐一分析，從而得以正確判斷.

解析：①中，由相交弦定理，可知CH5HD=CH2=AH5BH，故①正確；

②中，由于⊙O的直徑AB垂直弦CD于點H，則可知H是CD的中點，根據垂徑定理可知AD=AC，故②正確；

③中，如圖3，連接BD，由⊙O的直徑AB垂直弦CD于點H，可得△ADH∽△ABD，則AD2=AH5AB，故③不正確；

④中，由于AC對的圓周角為∠ADC，AD對的圓周角為∠APD，根據②中有AD=AC，則有∠ADC=∠APD，而由圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可知∠EPC=∠ADC，則∠EPC=∠APD，故④正確.

綜上所述，正確的有①②④.

故填答案：①②④.

點評：對于圓中相關結論的判斷問題，合理借助平面幾何圖形的直觀想象，綜合圓冪定理以及其他平面幾何知識，通過合理推理、代數運算等形式加以綜合應用.破解的關鍵是構建已知條件與對應結論之間的聯系，借助平面幾何中對應的知識加以分析與推理，從而得以正確分析與判斷.

3 證明問題

例3如圖4，AB是⊙O的直徑，C，F為⊙O上的點，CA是∠BAF的角平分線，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D，且CM⊥AB，垂足為M.

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）求證：AM·MB=DF·DA.

分析：要證明DC是⊙O的切線，關鍵是根據切線的定義，證明DC⊥OC，通過輔助線，結合平行關系加以證明；同時要證明對應的線段的積相等，可以結合相關直角三角形的射影定理與切割線定理加以分析與轉化.

證明：（1）如圖5，連接OC，則∠OAC=∠OCA.又因為CA是∠BAF的角平分線，所以∠OAC=∠FAC，則∠FAC=∠OCA，于是OC∥AD.

又CD⊥AF，所以CD⊥OC.

故DC是⊙O的切線.

（2）連接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，由直角三角形射影定理，得CM2=AM·MB.

又由（1）得DC是⊙O的切線，結合切割線定理得DC2=DF·DA.

而在Rt△AMC和Rt△ADC中，AC是公共斜邊，∠OAC=∠FAC，

所以Rt△AMC≌Rt△ADC，則有DC=CM.

故AM·MB=DF·DA.

點評：本題證明的關鍵是把所要證的結論與題中的條件結合相關輔助線的添加進行合理轉化，同時要注意對應圖形中相關的點、線、圓的關系，以及正確利用圓冪定理與其他相關定理加以分析與證明.

4 綜合應用問題

例4如圖6，PT與⊙O相切于點T，直線PA交⊙O于A，B兩點，M為PT的中點，且MB交⊙O于點N.

（1）證明：∠MNP=∠MPB；

（2）若MN=1 cm，NB=3 cm，且S△PNA∶S△ANB=4∶3，試求PB的長.

分析：第（1）問要證明兩個角相等，結合圖形分析，可以把它們放在兩個對應的三角形中，通過證明兩個相關的三角形相似來達到目的，而相似的證明要結合相關的線段關系來分析與過渡；第（2）問結合兩三角形面積的比值，根據圖形中的對應三角形同高關系，把面積比轉化為相應的底邊之比，通過相關線段關系進行轉化，結合設元加以分析與求解.

（1）證明：由于MT，MNB分別為⊙O的切線和割線，結合由切割線定理有MT2=MN·MB.

又M為PT的中點，所以可得PM2=MN·MB，即PMMN=MBPM.

又∠NMP=∠PMB，所以△NMP∽△PMB.

故∠MNP=∠MPB.

（2）解：由MN=1，NB=3，得MB=1+3=4，所以MT2=MN·MB=1×4=4，則PT2=（2MT）2=16.又由于S△PNA∶S△ANB=4∶3，且△PNA與△ANB同高，因此PA∶AB=4∶3.

設PA=4k（k>0），則AB=3k，可得PB=7k.

又由于PT，PAB分別為⊙O的切線和割線，結合切割線定理有PT2=PA·PB，即4k×7k=16，解得k=277.

故PB=7k=7×277=27（cm）.

點評：圓冪定理可以用來解決相關的線段長度，對應的等式關系等.在綜合應用問題中，往往可以利用圓冪定理中對應的關系加以過渡與轉化，用來證明三角形的相似問題、求解線段的長度問題，以及解決一些創新性的問題等.有時要適當引入輔助線，結合對應圖形中相關的點、線、圓的關系，正確利用圓冪定理與其他的相關定理加以分析與應用.

圓冪定理中相交弦定理、割線定理和切割線定理有著密切的聯系，實質上反映了兩條相交直線與圓的位置關系的性質定理與比例線段有關.通過與圓相關的比例線段，解決求值、判斷、證明、等相關數學問題，很好地考查直觀想象、邏輯推理、代數運算等數學素養.