小學數學是什么

［摘 要］弄清楚“小學數學是什么”對小學數學教學有著十分重要的意義。基于數學哲學視角，強調小學數學是關系的科學，是符號的科學，是抽象的科學，是充滿人文精神的科學，是發現的科學，是應用的科學，是意義的科學，同時不否認還存在其他對小學數學的認識?？梢?，對于“小學數學是什么”這一問題，應該以多元化的后現代主義哲學觀來審視。從數學教學活動是一種認識論的角度來說，只有對“小學數學是什么”進行深刻的思考，才能更好地理解數學和開展數學教學。

［關鍵詞］小學數學；數學哲學視角；關系；符號

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）17-0030-05

一、問題提出

本文基于數學哲學視角，審視“小學數學是什么”這一問題，并試圖做出回答。一些讀者看到這個標題可能會說，“小學數學是什么”本身就是一個數學哲學問題，是需要數學哲學家來回答的一個問題，數學哲學視角是可以去掉的。但是筆者強調這樣一個視角的原因在于，小學數學與數學哲學研究對象的聯系似乎不大，數學哲學強調的是純粹數學，但是小學數學并不是數學哲學研究的對象，因此加上“數學哲學視角”是很有必要的。有一些文章強調“數學是什么”，但是“數學是什么”和“小學數學是什么”是兩個不同的概念。這并不否認“數學是什么”對“小學數學是什么”的回答具有的參考意義與價值，但是“數學是什么”這個問題較為抽象，而“小學數學是什么”更具體。因此，非常有必要對“小學數學是什么”這一問題進行有針對性的探討。與此同時，一些教師可能會被小學數學教材中豐富多樣的素材內容所迷惑，忘了數學的本質，較少從數學哲學的視角分析小學數學教材和實施教學。只有對“小學數學是什么”這個數學的本質問題進行不斷的追問，教師對數學的理解才會更深刻，才能更好地從事小學數學教學和研究。

就像人民教育出版社中學數學室主任章建躍所說，理解數學是教好數學的前提。華東師范大學教育科學學院教授、博士生導師孔企平也持同樣的觀點。這種觀點幾乎已經成為數學教育界的共識。但是一個重要的問題是：小學數學有沒有數學哲學思想？筆者認為答案是肯定的。就像中國社會科學院哲學研究所研究員林夏水所強調的，有數學就有數學哲學，小學數學是存在數學哲學思想的。一些學者可能認為，小學數學是生活的大綜合，生活是具體的，是形象的，是可見的，但是數學哲學是抽象的，是看不到的，是無形的，是理論化的，是遠離兒童的經驗世界的，生活與哲學的距離是比較遙遠的。然而筆者卻認為，雖然生活與哲學是兩個不同的方面，一個偏向于世俗，是生活化的，另一個偏向于理論，是抽象的。表面上看二者幾乎是風馬牛不相及的，但總會有辦法將二者緊密地聯系起來。馬克思主義哲學基本原理告訴我們，事物是普遍聯系的。從這個哲學原理出發，小學數學也是有哲學思想的。另外，我們常說數學來源于現實生活，現實生活是數學的源泉，從這個意義上講，數學哲學與現實生活也是有著密切聯系的，小學數學哲學思想就應該是從小學數學內容中抽象出來，形成理論化、系統化的知識體系。

總之，小學數學是有數學哲學思想的。下面筆者將探討小學數學中究竟有哪些數學哲學思想，換句話說，有哪些數學哲學思想在小學數學中得到了充分體現。鄭毓信強調數學是一個多元化的復合體，筆者非常贊同這種后現代主義哲學觀點。按照鄭毓信的觀點，小學數學中數學哲學思想也是一個多元化的復合體，看待小學數學不僅要有高觀點，還應有不同的數學哲學視角，這樣得到的結論才可能更為客觀真實。

二、對“小學數學是什么”的回答

數學不是自然科學的一個重要原因是自然科學的研究對象僅存在自然界中，而數學的研究對象遍布在自然界、人類社會和思維領域。那么，數學究竟是什么？錢學森先生在《科學學、科學技術體系學、馬克思主義哲學》一文中提出，基礎科學包括自然科學、數學、社會科學三個科學部類。我國一些高校的數學系或數學院更名為“數學科學學院”，其實就是秉承了錢學森先生的觀點，強調了數學與自然科學的并列性。因此，筆者下面的觀點也強調數學觀的科學性，每一種觀點的賓語都是“科學”。

在數學哲學中，有“實在論”和“反實在論”之爭。柏拉圖主義秉承的就是數學的實在論的觀點，強調數學是獨立地存在于另一個客觀世界的絕對真理。數學的“反實在論”又稱“唯名論”。按照“唯名論”的觀點，柏拉圖的理念世界是不存在的，數學不過是符號，是名稱。數是不存在于客觀世界的，只存在于紙上、黑板上或思考它的人的頭腦之中。從這種觀點來看，數學就不再是柏拉圖主義強調的理念世界的絕對真理。數學是觀念之物，是人創造之物，是精神之物。小學數學與小學生的現實生活密切聯系，從這一點來說，數學不是柏拉圖理念中永恒不變的絕對真理。

（一）小學數學是以符號為工具的科學

上文說過，數學哲學史上有“實在論”與“反實在論”之爭，“反實在論”認為客觀存在的事物只有具體的、個別的東西，例如這個人、那個人，這把椅子、那把椅子等等，這些都是客觀存在的。但是一般的、抽象的人或椅子僅僅是一個記號、一個名詞而已，談不上像柏拉圖強調的那樣是理念世界的絕對真理。強調小學數學是以符號為工具的科學，從大處來講就是“唯名論”。小學數學不像中國古代數學那樣以算籌或算盤為計算工具，也不像畢達哥拉斯學派那樣用石子或砂子在沙灘上進行計算，這些計算都是有具體的計算工具，但是沒有引進更為抽象的數學符號。小學數學中有很多阿拉伯數字，阿拉伯數字也是抽象的數學符號。從這個意義上講，小學數學其實是有抽象性的。當然，小學數學中的數學符號還有很多，包括加、減、乘、除、大于號、小于號、等于號、百分數符號、三角形符號等。作為小學數學教師，我們應該著重培養學生的符號意識，讓學生認識到數學符號的重要性，并有意識地運用數學符號。數學符號是抽象、客觀、冰冷的，培養學生的數學符號意識能激發學生對數學符號產生興趣，進而激發學生學習數學的興趣。數學是符號的科學，教師要向學生滲透符號的重要性。可以這樣講，要讓學生愛上數學，培養學生的抽象思維，就要讓學生從喜歡數學符號開始。另外，數學符號雖然是冰冷的，但是數學家賦予符號的內涵卻是火熱的。當說“小學數學是以符號為工具的科學”的時候，其實人類的整個數學都是以抽象的數學符號為工具的。小學數學中的符號雖然較少，但是對培養學生以符號意識為代表的抽象思維至關重要。

（二）小學數學是關系的科學

文章強調數學是關系的科學，這里的“關系”是指數學的概念之間、定理之間、概念與定理之間等關系。小學數學中的關系多種多樣，例如數的大小關系、線段的長短關系、面積的大小關系、倍數關系、正比例關系、反比例關系、相乘關系、相除關系、整除關系、不等式關系、全等關系、相似關系、包含關系等?？梢赃@樣講，小學數學乃至數學都是關系的科學。解數學題，尤其是解應用題時，弄清數量之間的關系是解題的關鍵，找到了已知量與未知量之間的關系，問題就能迎刃而解了。提到數量關系，就不得不提方程，方程對厘清數量之間的關系有著十分重要的作用。其實，不僅應用題需要厘清數量之間的關系，證明題也需要厘清已知條件與要證明的結論之間的關系。因此，教師在課堂教學中要向學生講清楚重要的數量關系。說“小學數學是關系的科學”，強調的是數學內部的各個元素之間并不是孤立的、靜止的和毫無關系的，而是有著密切聯系。這種數學哲學觀點與布爾巴基學派的“數學是結構的科學”是有著密切聯系的，數學內部的關系也是與它的內部結構密切相關的。數學知識之間是講究邏輯關系的，雖然小學數學的邏輯關系性不強，但是作為數學教師，仍然要強調數學邏輯關系的重要性。

（三）小學數學是抽象的科學

人類的現實生活是具體的、形象的。數學來源于現實生活，但是它是從現實生活中抽象出來的，抽象的過程就是化具體有形為抽象無形的過程。抽象的東西在現實生活世界中是不存在的，是觀念之物、想象之物，也就是脫離現實生活的東西，或者說從現實生活中抽象出來的數學就成了理論，純粹數學從本質上講就是一種理論。這個觀點與哲學是一致的，哲學也是一種理論。數學與哲學的理論都比較抽象，數學的本質在于抽象，在于脫離現實生活。小學數學是現實生活中的數學，它所反映的數學與數學的本質是有差距的。從這個意義上講，數學不能過度生活化，否則就遠離了數學的本質，以遠離數學本質的方式學習數學是不容易理解數學知識本質的。數學雖然還具有嚴謹性和應用性，但是兩者都是建立在數學抽象本質的基礎上的。沒有抽象的本質，嚴謹性就無法在生活數學中建立；沒有數學本質的抽象性，數學的廣泛應用性就要大打折扣，甚至無法實現。從某種程度上講，抽象是數學的本質，而嚴謹性和應用的廣泛性是從數學的抽象性中派生出來的性質。以上說明了雖然小學數學有形象性、具體性的一方面，但是它還有抽象性的另一個方面，這一方面反映了數學的本質，數學生活化不應該把這個數學的本質給“化”掉。

（四）小學數學是充滿人文精神的科學

小學數學教材有很多卡通插圖，這些插圖的主人公多數是小朋友，看著這樣的插圖，學生會有較強的主人公感。另外，插圖還包括許多可愛的小動物，給學生以親切感，讓學生忍不住想親近數學。小學數學很像中國古代的《九章算術》《數書九章》等數學著作，充滿了生活的樂趣和人文主義精神。中國古代數學就是為人們生活服務的數學，例如《九章算術》中的“五家共井”問題，張邱建在《算經》中提出“百錢買百雞”問題，《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題，等等，都充滿了生活的樂趣，反映了數學是為人們的現實生活服務的事實。與中國古代數學相似，小學數學著重突出或反映數學的實用價值，反映數學是有用的，是為人類的現實生活服務的。由此可見，小學數學是具有很強的人文性的。當今的小學數學教學內容更是強調數學的人文性，突顯了學生學習數學一方面是為將來美好生活做準備，另一方面是為了滿足當下現實生活需要。兒童所學習的數學知識是從他們自己的現實生活出發的，小學數學內容也是為他們的現實生活服務的。小學數學是一個生活的大綜合，充滿了人文性。小學數學內容的人文性說明了小學數學不是純粹的數學，而是應用數學，是小學生現實生活中的數學。當說“小學數學是充滿人文精神的科學”的時候，其實強調的是小學數學與小學生的生活是密切聯系的，強調學習數學的價值與意義。強調小學數學充滿人文精神的同時并不否認小學數學的科學精神的存在，但是相比較而言，人文精神占的比重可能大一些。另外，科學性其實是從人文性派生出來的。強調小學數學的人文性，并不排斥小學數學的科學性。

（五）小學數學是發現的科學

一般來講，數學既是發現的科學也是發明的科學，但是對小學數學而言，主要是發現的科學。說小學數學主要是發現的科學，并不否認極少數的數學概念是人類發明或創造的，但是大多數數學概念都是小學生身邊的數學概念，總體上來講發現的數學成分居多。人類的實踐活動都是有局限性的，兒童的實踐活動局限性更大。兒童認識到的數學是生活中的數學，小學數學與生活是密切聯系在一起的。但現實生活中很難遇到蘊含無限性質的數學概念，例如直線的概念、無窮的概念等。這些概念是遠離兒童現實生活的，是從現實生活中抽象出來的或通過想象得到的，但兒童的抽象思維不夠發達，這就決定了這些數學概念對兒童來說是比較難理解的?，F實生活中存在的具有數學原型的基本概念學生是容易理解的，例如線段、正方形、圓、三角形等，因為這些幾何圖形在現實生活中有具體的模型，但是像直線、射線等現實生活中不存在的數學概念，只能依靠發明或創造出來，只有現實生活中沒有的東西被人創造出來才能稱得上是發明。另外，之所以說數學是發明的科學，這與數學約定主義思想有著密切的聯系。小學生剛剛開始學習數學，不可能達到約定或發明數學概念的水平。因此，小學數學基本上是發現的科學。當說“小學數學是發現的科學”的時候，強調的是數學概念或定理在現實生活中的存在性，揭示的是數學與現實生活世界的密切聯系。強調小學數學是發現的科學的同時，并不否定小學數學含有發明或約定論的成分。所謂約定論，就是數學規則不過是像游戲規則一樣是人為的約定，如0.9的無窮次循環等于1，就是一種約定論的觀點。小學數學中其實也有約定論的數學思想的例子。例如，教材認為正方形是長方形的特殊情況，但是平行四邊形一般不認為是梯形的特殊情況，這從邏輯上很難解釋，只能當作人為規定。這也是張景中、彭翕成在《數學哲學》中所認同的。

（六）小學數學是應用的科學

強調小學數學是應用的科學，主要是指小學數學在學生現實生活中的應用。學生可以用所學的數學知識來解決現實生活中的數學問題，也就是說學生可以把所學習的數學知識應用到他們的現實生活中。這不僅體現了數學學習的價值與意義，還可以讓學生樹立學好數學的信心，養成良好的數學學習習慣，形成正確的數學學習觀。小學數學是應用數學并非壞事，數學只有在應用中才能更好地被理解，應用也彰顯了數學的價值與意義，而且與我們學以致用的民族文化是一脈相承的，也與哲學詮釋學強調應用的重要性一致。

小學數學為什么要強調數學的應用性呢？這是因為，如果不強調數學的應用性，那么數學就是純粹的數學，純粹的數學是脫離現實生活的數學，是抽象的數學，是枯燥無味的數學，是小學生不容易理解的數學，是小學生不喜歡的數學。小學生的形象具體思維發達，但是抽象思維發展程度有限，純粹的數學是抽象的，可能會造成學生在學習上的困難。學生學習數學必須與自己的生活背景緊密地結合起來，才能收到較好的學習效果。從這個意義上講，無論是小學數學教材還是小學數學教學，都必須密切聯系學生的現實生活。強調小學數學是應用的數學，并不否認小學數學也有作為純粹數學的一方面。

（七）小學數學是意義的科學

在小學數學課程標準或教材中，一些數學概念強調意義的重要性要遠遠超過計算的重要性。例如，小學數學教材強調平均數意義的重要性，強調分數意義的重要性，強調小數意義的重要性，強調負數意義的重要性，等等。強調這些意義的重要性，其實就是強調理解數學的重要性。在數學教材中強調意義的重要性是正確的，而且是很有必要的。

從數學史的角度來講，古希臘人不承認無理數是“數”，就是因為他們找不到無理數存在的意義。而古巴比倫人敢于承認無理數是數，就是因為無理數在他們的現實生活中有著廣泛的應用并且經過生活實踐驗證是正確的。對于負數的認識，古巴比倫不用負數，故在他們的代數中二次方程的負根是忽略不提的。負數是通過阿拉伯人的著作傳入歐洲的，15世紀的一些歐洲數學家都把負數當作荒謬的數?？ǖぐ沿摂底鳛榉匠痰母J為它們是不可能的解，僅僅是一些記號，他把負數稱作虛有的，正根才算是實的根。法國數學家、代數學之父韋達完全不要負數；笛卡爾僅部分接受負數，他把方程的負根稱作假根，因為它們代表比無還少的數；帕斯卡認為0減去4純粹是胡說八道。負數的產生有它的時代文化背景。歐洲數學家在尋找負數這個概念的意義，如果尋找到了負數的意義他們就接受了，否則他們就不接受負數的概念。小學生在學習數學時也是如此，他們會像歐洲數學家那樣可能不愿意接受某個數學概念，認為某個數學概念是沒有意義的，他們接受或理解某個數學概念的過程就是尋找其意義的過程。因此，小學數學教材或課堂教學一定要強調數學概念或數學理論意義的重要性，幫助學生找到接受數學概念的意義。只有正確理解數學概念或理論意義，才可能正確地解決數學問題。小學數學是意義的科學，這本身也說明了數學具有人文性的一面。當說“小學數學是意義的科學”的時候，強調的是學習者在接受某個數學概念或定理的時候總是需要一個尋找意義的過程，這一方面揭示了數學的人文性，另一方面強調了人是意義的動物，也強調了數學理解的重要性。

三、結語

以上對“小學數學是什么”這個問題從數學哲學的視角給予了不同的回答，每一種回答都從某個側面反映了小學數學某一方面的性質，這可能就是鄭毓信強調的數學是一個多元化的復合體的思想。在哲學上有兩個重要的概念，一個是“實然”的概念，一個是“應然”的概念。在這兩個概念中，“實然”是比較基本的一個概念，因為它是對事物的客觀屬性的揭示，回答的是“是什么”。只有知道了“是什么”，才能更好地、正確地實現“應然”或知道應該怎么做。從這個意義上講，本文對小學數學乃至中學數學的教學和學習都有一定的參考價值和意義。當然，從哲學詮釋學的視角來講，“小學數學是什么”的文本解釋意義是無窮無盡的。筆者只強調了以上幾種觀點對小學數學本質的解釋，也許還有其他方面的解釋，但是受限于篇幅，此處不再進行深入探討。

小學數學不僅研究確定性的問題或現象，還研究不確定性或隨機的現象。小學數學也可以說主要是研究數與形的科學（即使是統計與概率部分，仍然離不開數與形）。本文雖然強調小學數學的以上性質，但是沒有否認小學數學也有歷史、文化、經濟、社會、藝術等方面的性質。南京師范大學數學與計算機科學學院教授涂榮豹認為，數學教學是一種認識論。從這個角度來講，只有認識或理解了數學，對數學進行了哲學上的審視，才能更好地從事數學教學活動。

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（責編 吳美玲）