核心素養背景下“平行四邊形的面積”教學思考與改進

［摘 要］在核心素養背景下，從面積本質出發教學，并對傳統教學加以改進，著力溝通“數方格”與“圖形轉化”的內在聯系，由理及法，能促進學生深度學習，培養學生量感，發展學生空間觀念。

［關鍵詞］平行四邊形面積；數方格；量感

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）17-0039-03

“平行四邊形的面積”是一節比較經典的課例，也是學習多邊形面積的種子課，對今后三角形、梯形、圓等圖形面積的學習都有著指導意義。在教學“平行四邊形的面積”時，部分教師通常是先讓學生分別數出方格紙上的長方形和平行四邊形的面積并填寫表格，然后引導學生觀察比較、提出猜想，接著進行圖形變換，觀察它們的內在聯系，最后推理得出平行四邊形的面積計算公式。

一、課前思考

筆者覺得這種教學方法有3個地方值得討論。

1. “數方格”環節只是為了“猜想”而設，沒有將“數方格”作為核心內容來貫穿整個課堂教學過程，更沒有溝通好“數方格”與“圖形轉化”的內在聯系，導致后面“用割補法把平行四邊形轉化成長方形”沒有真正成為學生學習的內在需求，也不利于學生量感的培養。

2.“不滿一格的都按半格計數”得到的是估算結果，容易讓學生由此猜測“平行四邊形的面積=底×高”是不嚴謹的，從而對這一猜想產生懷疑。另外，有了這一提示之后，學生只會按照這一種方式去數，抑制了學生的個性思維和創新能力的培養，不利于學生數學活動經驗的積累，更不利于轉化思想的自然孕育。

3.受“長方形的面積=長×寬”結構性（鄰邊相乘）的干擾，許多學生會認為“平行四邊形的面積=底×鄰邊”，這其實是一種負遷移。這種教學方法沒有從源頭上去防止這種負遷移的發生。

二、教學實踐

在核心素養背景下，筆者重新審視了這節課，并根據以上3點思考，結合學情，對本課做了一些改進。

【改進一】巧鋪方格，初步感知平行四邊形的面積計算

1.大膽猜測，放手計算

師（出示圖1）：下面兩個花壇哪個大？你是怎么比較的？

生1：要先分別算它們的面積，再比較。

（學生很快算出了長方形的面積，但對平行四邊形面積的計算感到困難。）

師：大家可以根據自己的理解大膽猜測，列式計算。

[筆者板書學生的四種不同計算方法：①5×4=20（m2），②6×4=24（m2），③6×5=30（m2），④6×5×4=120（m2）。]

2.巧鋪方格，排除錯誤

師（出示圖2）：請大家仔細觀察這個圖形，對照你們列出的4種算法，說說哪種算法是錯誤的。為什么？

（每個格子邊長為1 m）

生2：算法①錯了。圖中鋪的格子每行有5個，共4行，面積是5×4=20（m2），但格子沒有鋪滿圖形，說明圖形的面積比20m2大。

師（小結）：分析得有道理，也就是說用“鄰邊×高”計算這個圖形的面積是錯的，排除！

師（出示圖3）：把兩邊空白的地方繼續鋪上方格，每行7個，鋪了4行，面積是7×4=28（m2），但所鋪的格子超出了圖形范圍，說明哪種算法也是錯誤的？為什么？

生3：算法③是錯誤的，因為30＞28。

生4：算法④是錯誤的，因為120＞28。

師（小結）：看來，用“底×鄰邊”算這個圖形的面積也是錯的，“底×鄰邊×高”更是錯得離譜。這兩種算法都要排除。

生5：由前面的計算可知，這個圖形的面積在20m2到28m2之間，只有算法②的結果符合。

師：那么平行四邊形的面積究竟該怎么計算呢？

[設計意圖]為使學生真正理解面積計算的本質，培養量感和推理意識，筆者先鼓勵學生大膽猜測，放手計算，然后引導學生用數格子的方法逐一排除、去偽存真，真正從源頭上防止學生產生“底×鄰邊”算面積的負遷移。

【改進二】自主數格，深入理解平行四邊形的面積的本質

師（出示圖4）：請大家仔細觀察，數一數，一共有多少個格子？

（每個格子邊長為1 m）

生6：我先數整格的，有20個，再把左邊不是整格的逐一平移到右邊，剛好湊成4個整格。20+4=24，一共有24個格子。

生7：我先把左上角2個不是整格的一起平移到右上角，剛好湊成2個整格，再把左下角2個不是整格的一起平移到右下角，剛好也湊成2個整格。這樣每行有6個格子，共4行，一共有6×4=24（個）格子。

生8：我還有更簡單的方法。把平行四邊形中虛線左邊的三角形平移到右邊，這樣就一次性都湊成整格了。每行6個格子，有4行，一共有6×4=24（個）格子。

師：剛剛我們猜測這個平行四邊形的面積可以通過算法②的算式計算。現在我們通過平移的方法得到每行有6個格子，共4行，一共有6×4=24（個）格子，也就是24m2，說明算法②的算式是正確的。

[設計意圖]數方格算面積是圖形面積計算的基本方法，即單位面積測量法，這種方法在學習長方形的面積計算時也曾使用過，但是如何數平行四邊形的面積是一個新的問題。在這節課中，筆者刪除了“不滿一格的都按半格計數”這一提示。這樣學生的思維不會受限，數的方法也多種多樣，而且還考慮怎么湊出整格，真正體現了數方格的價值，孕育了轉化思想，為學生進一步探索平行四邊形的面積計算公式做了充足的準備。

【改進三】反思數格，有效溝通“數方格”與“圖形轉化”的內在聯系

師：剛才我們用平移數格子的方法求平行四邊形的面積，你認為哪種圖形的面積與平行四邊形的面積有關？猜一猜平行四邊形的面積公式。

生9：我覺得長方形的面積與平行四邊形的面積有關，因為我們剛剛在數格子的時候湊成整格，其實就是將圖形變為長方形。

生10：我發現每行格子的邊長總和等于平行四邊形的底，每列格子的邊長總和也剛好等于平行四邊形的高，我猜平行四邊形的面積計算公式應該是“底×高”。

生11：我發現計算平行四邊形的面積與長方形的面積一樣，都是相互垂直的一組對邊的乘積。

[設計意圖]數學的猜測從來都是有根據的，這體現了數學的嚴謹性。利用數方格的經驗來猜測面積公式，是對學生量感培養的重大提升。通過反思數格子過程為整個圖形的轉化積累操作經驗，使其成為學生學習的一種內在需求。

【改進四】多樣操作，助力面積公式推導，拓展思維

1.動手操作，合作探究

出示合作探究要求：①想辦法把平行四邊形變成一個長方形；②觀察轉化前后的圖形，你發現了什么？③想一想，怎樣計算平行四邊形的面積？

2.小組交流，推導公式

師：不數方格，你能算出平行四邊形的面積嗎？

生12：我們從它的頂點出發作高，然后沿著這條高剪下一個三角形，將這個三角形平移到另一邊，這樣圖形就變成了一個長方形。

生13：我們沒有從頂點畫高，而是從中間作高，沿高剪開，也拼成了一個長方形。

生14：我們先把平行四邊形上下對折，再沿著折痕剪開，但是怎么拼都是平行四邊形。

生15：因為你們沒有沿著高剪，剪出來的還是2個平行四邊形，自然就拼不成長方形了。

師：雖然有的小組的剪法和拼法不同，但最終都是將平行四邊形拼成長方形。現在再看看這些方法，它們有什么共同之處？

生16：都是沿著高剪開的，只有沿著高剪，才能剪出直角，拼成長方形。

師：為什么我們需要將其轉換為長方形呢？

生17：因為長方形的面積我們已經學過，這樣就可以通過求長方形的面積來求平行四邊形的面積。

師：將平行四邊形轉化為長方形，只是形狀變了，大小沒有變化。以后學習梯形、三角形等圖形的面積計算時，我們也可以把它們轉化成學過的圖形。這就是數學上的轉化思想，即把未知的轉化為已知的，從而解決問題！

（學生先觀察轉化前后的圖形之間的內在關系，然后推導平行四邊形的面積計算公式。）

[設計意圖]學生自主操作，深刻領悟到割補法的多樣性與直觀性。利用幾何直觀，讓學生用自己的語言有條理地說出推理的過程，既能讓學生積累數學活動經驗，又能滲透圖形轉化思想，讓學生由此及彼、舉一反三，發展思維。

三、教學反思

（一）追本溯源，突出本質

這節課主要圍繞“如何計算平行四邊形的面積”這一核心問題展開，面積與長度屬于“圖形的認識與測量”。求平行四邊形的面積，本質就是度量平行四邊形中包含多少個面積單位，因此要緊扣度量展開教學，讓“數方格”貫穿教學始終。通過巧鋪方格，讓學生初步感知平行四邊形的面積計算；通過自主數格，讓學生直觀感悟面積的度量就是面積單位的累加；通過數格，有效溝通“數方格”與“圖形轉化”的內在聯系，為轉化提供了直觀支撐；最后更是將“割補法”作為一種快捷的計算平行四邊形的面積的方法。

本節課的教學“源”于長方形，根據長方形面積公式進行構造并進一步整合到面積模型中，即將探究和推導長方形面積公式的方法、經驗類推到平行四邊形的面積計算中去。通過“大膽猜測，放手計算”這一環節的設計，讓學生試錯；通過“巧鋪方格，排除錯誤”讓學生知錯、糾錯；通過各種各樣的數格操作，讓學生理解計算平行四邊形的面積本質是每行面積單位數與行數的乘積，與長方形一樣，平行四邊形的面積公式也是邊長乘其對應邊上的高，即“底×高”的乘積，從源頭上防止學生產生“底×鄰邊”算面積的負遷移。

（二）結構地教，關聯地學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出要對課程內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。在單元大概念的統領下，教師要站在學生學習的立場上，系統梳理課程內容，使已經學過的、正在學習的、將來要學的知識形成結構性的聯系，使具體的內容學習不再單一和碎片化，讓學生不斷從整體上理解學習內容。

對于“平行四邊形的面積”的教學，數學教師既要串聯起面積概念、面積單位、長方形和平行四邊形的面積計算方法等內容，形成知識方面的結構化，又要通過數方格，讓學生感悟面積公式的本質——每行面積單位數與行數的乘積，并對照長方形和平行四邊形的面積計算公式，使學生理解它們的面積計算都是互相垂直的一組線段的乘積，形成方法上的結構化。最終，教師可以依靠這一“結構化”，聯“點”成“塊”，聯“塊”成“網”，構建整個平面圖形面積的知識框架，從而實現“教師有結構地教，學生有關聯地學”。

（三）由理及法，發展量感

教學的最終目標是為了培養和提高學生的數學素養。本節課屬于“圖形與幾何”領域下的“圖形的認識與測量”內容，這一內容的核心素養主要體現在量感的培養上。量感主要是指對事物可測量的屬性和大小關系的直觀感知。學生量感的培養不是一朝一夕的事，需要一個長期的過程。小學階段關于“圖形的認識與測量”存在三個維度，分別是一維線的測量（本質是長度單位的累加）、二維面的測量（本質是面積單位的累加）和三維體的測量（本質是體積單位的累加）。從一維到二維再到三維，體現了測量本質的一致性，即都是度量單位的累加。教師不僅要把握好未知知識與已知知識的聯系（正向遷移），使學生有更多的感悟與理解，還要找準知識的起點，抓住知識的本質，讓學生動手操作，先感悟最基本的“理”（數線段算長度，數方格算面積，數方塊算體積……），后形成簡潔實用的“法”（周長公式、面積公式、體積公式……），最終賦予量感生長的力量，為學生素養的發展打下堅實的基礎。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 牛獻禮. 以大觀念為核心重構單元學習：“多邊形的面積”單元整體教學的思考與實踐[J].中國教師，2022（4）：65-69.

[2] 李懷軍，張維忠. 論數學素養培育的誤區：以“平行四邊形的面積”教學為例[J].當代教育與文化，2019，11（2）：72-77.

（責編 覃小慧）