在深層次理解分數中實現數學素養的提升

［摘 要］五年級“分數的意義”教學是在三年級“分數的初步認識”的基礎上，進一步指導學生深化對分數概念的理解。教學過程中，教師應評估學生的已有知識和能力水平，明確分數意義學習的關鍵點與拓展點，從深化分數特性、探索“整體”概念、認識分數概念、探索分數的相對性等方面進行教學，促進學生對分數本質概念形成深刻理解。

［關鍵詞］分數認知；數形結合；理性思辨；分數意義；邏輯推理

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）17-0054-03

在我國的教育體系中，分數的教學通常遵循兩個主要階段的遞進模式。在小學三年級，通過具體直觀的模型來引導學生進行操作性學習，使他們親身體驗分數的產生過程，并從整體與部分的關系中構建對分數的初步認知。在小學五年級，將學生的直觀感受轉化為更為抽象的理性理解，通過歸納和總結，讓學生掌握分數的本質。同時，探討分數與除法之間的內在聯系，可進一步深化學生對分數概念的理解。

以蘇教版教材五年級下冊“分數的意義”一課為例，本教學活動旨在通過一系列具體實例，引導學生歸納出分數所代表的整體與部分關系，并進一步理解分數作為量的表現形式。為了深入探究學生從三年級到五年級在分數概念理解上的變化，筆者對本市186名五年級學生進行了系統的前測問卷調研，前測題目和回答情況如圖1所示。

圖1 “分數的意義”一課的前測題目和回答情況

其中，在解答題目1的③號圖形時，超過四成的學生選擇用[26 ]來描述，他們忽略了③號圖形中橢圓的“收納”作用，未能將兩個小方格看成一份。這一現象反映出學生對分數概念的理解仍需深入。

在符號與圖形的轉換上，超過九成的學生能夠游刃有余地通過畫圖來表示[34]，但仍有超過六成的學生在畫圖表示[34]時，局限于將單個物體看成一個整體。訪談中發現，部分學生的想法較為簡單，他們認為只有在單個物體不完整時，才需要用分數來表示，而在多個物體構成的情形里，他們往往覺得分數是多余的。而部分學生則堅持認為整體中的物體或圖形必須是完整無缺、同類聚合、數量明確的。

值得注意的是，當一個整體由多個部分組成時，學生使用的物體個數普遍為分母的倍數。這種選擇既體現了他們對數量平均分配的追求，同時也在一定程度上反映出他們受到教材展示的學習資源的影響。

教學面臨的挑戰猶如打開一扇門，找到鑰匙是關鍵，即在分數意義的教學中，教師需要幫助學生深入理解“一份”的真正含義。首先，教師需要引導學生跳出“單一”數量思維局限，讓學生看到在不同情境下，“一份”可以是多樣且靈活的。然后，教師需要調整教材的編排和呈現方式，打破學生對“整體”的固有認知。最后，除了通過“平均分成幾份，取若干份”的方式來定義分數，教師還應當引導學生探索分數的其他維度。比如，分數可以看作比例、比率的一種形式，甚至可以是一種表達部分關系的方式。這樣，分數就不再僅僅是一個數學概念，還成了一種能夠描述世界多樣性的工具。

一、喚起先驗知識，深化分數特性

在教學分數這一抽象概念時，圖像是重要的輔助工具。課程伊始，筆者采用兩組圖形（如圖2）作為教學起點，讓學生理解不同圖形中[34]的具體含義。此過程旨在激發學生的認知沖突，促使他們深入思考問題：“為何圖形不同卻都可以表示相同的分數？”讓學生辨識分數與之前學習的整數在概念上的差異，并進一步深刻理解[34]所表達的部分與整體之間的關系及其本質特征。

二、理性辯證：探索“整體”概念的深層數學意蘊

在教學分數概念的過程中，對“一個整體”的認識至關重要，這是學生構建分數意義的基礎。本課程旨在通過三個階段系統地引導學生理解“一個整體”的概念：首先，明確“整體”的定義和特征；其次，探討如何從整體中分割出部分；最后，分析部分與整體之間的比例關系。通過這三個階段，學生將能夠全面而深刻地理解分數所代表的意義。

（一）深化理解，洞察“整體”奧秘

在教學活動中，教師需要幫助學生理解將多個圖形視為一個統一整體的概念，特別是要讓學生認識到構成整體的個體數量不必局限于分母的整數倍。隨后，教師可通過引入數字“1”來代表一個整體，并在相應的圖形旁邊做出標記，讓學生體會到分數與自然數在表達數量上的差異，從而促進其思維模式的轉變。

（二）外延拓展與內涵深化雙管齊下

鑒于部分學生在前測中表現出的對“整體”概念的誤解，即將整體限定為完整、同質且數量明確的集合，以及學生在實際數學學習中對多樣化“整體”的理解需求，筆者通過三個典型案例來拓寬學生對“整體”概念的認識邊界，并深化學生對“整體”本質屬性的理解。

【案例1】3名學生和1名老師整體的[34]。在處理由“3名學生和1名老師”組成的整體時，教師應引導學生認識這一整體包含4個個體。學生在此基礎上，會發現3名學生占整體的[34]，因為他們占據了總數的[34]，以及每個個體都可以被視為整體的[14]，這表明整體的任何部分都可以根據其所占比例被識別和計算。

【案例2】[12]塊蛋黃派的[34]。對于“[12]塊蛋黃派”，學生首先認識到這代表了整個蛋黃派的一半。進一步地，學生學會了將這半塊蛋黃派再劃分為四個相等的部分，從中取出三個部分表示[34]。這一過程展示了即使是一個已經被分割過的整體，也仍然可以被進一步地劃分并用于表示分數。

【案例3】一定長度線段的[34]。在處理長度問題時，如“6米”的線段，學生理解了這可以看作一個整體，并可以將其等分為四份，每份長1.5米，取其中的三份來表示[34]。類似地，當線段長度變為“7米”時，學生可以將7米等分為四份，并取其中的三份來表示[34]。這說明了無論是確定的長度還是變化的數值，都可以成為“整體”，只要它能夠被等分。

在實際教學中，采用多樣化的學習材料至關重要，這些材料可以是圖表、語言描述、具體數值以及變量等，這樣有助于學生突破先前的認知限制，重新認識到“一個整體”概念的廣泛應用性和深刻內涵。從圖形到文字，從數值到符號，從單一對象到復雜集合，再從具體實例到抽象理論的逐步過渡，學生經歷了一個概念的構建和擴展過程。

三、分數概念的全面解讀：由具體到抽象的認識過程

在數學教學中，數學概念的掌握往往遵循從具象到抽象，再由抽象回歸具象的認知規律。分數作為一個基本的數學概念，其意義的理解亦遵循這一規律。教學中，盡管已通過圖形對[34]的特性進行了充分闡釋，但在“一個整體”概念的擴展中，[34]的內涵也隨之深化。本課程著重于深化學生對[34]意義的認識，幫助學生構建起對[34]的多維直觀感受。

【教學片段1】

師：同學們，[34]僅僅是一個數字，為何能在如此多的情境中找到對應的整體來表達它呢？

生1：因為它代表著將一個整體平均分成四個部分，并選取其中的三個部分。

師：既然不同的“一個整體”都有它的[34]，那么一個整體中還有其他分數嗎？

生2：將一個整體平均分為七個部分，選取其中的五個部分，便得到了[57]。

生3：將某個整體平均分為二十份，選取其中的十三份，便是[1320]。

……

師：你們能否用自己的話來說明什么是分數？

生（齊）：分數是將一個整體平均分成若干份后，其中一份或數份的表達方式。

四、分數概念的相對性探究：體驗與邏輯的雙重路徑

分數的相對性表現為三個方面：一是當整體不同時，即便分數形式一致，其實際代表的數量也有所差異；二是處于同一整體中，不同分數所對應的具體數量亦有差別；三是在不同的整體之中，不同的分數可能代表相同的數量。這與整數的性質有明顯區別。為了讓學生深入理解分數的相對性，筆者策劃了一系列教學活動，引導學生通過實踐操作、直觀感知和邏輯推理，逐步認識和掌握分數的這種相對性，從而能夠精確地進行數學表述，并在此基礎上發展推理能力。

【教學片段2】活動一：實踐探究

師：各參與者檔案袋中的郵票總數不同，如果每位參與者都從各自的檔案袋中取出郵票的[12]，那他們取出的郵票數量是否一致？

生1：相等。

生2：不等。

師：有“參與者從檔案袋中取出郵票的數量相等”“參與者從檔案袋中取出郵票的數量不等”兩種假設。請大家合作探究，驗證猜想。

……

在本活動中，郵票集合是整體，而從集合中取出的郵票數量則代表了該整體的一部分。當整體的規模發生變化時，與之相對應的部分的量也會相應地調整。

【教學片段3】活動二：理性選擇

師（出示圖3）：如果一個整體的[25]被揭示出來，那么這個整體的具體形狀是什么樣的？從5個圖形中選一選。

生1：我選圖形①，將一個長方形平均分成五份，其中兩份即代表了[25]。

學生2：我選圖形③，它由5個同樣的長方形構成，其中2個長方形即代表了[25]。

……

教師應注重訓練學生從已知的部分量推斷整體量的思維能力，要求學生深入理解分數[25]的含義，并分析部分與整體之間的關系，以確定整體量。

【教學片段4】活動三：據理力爭

師：在一次捐款活動中，文思捐贈了其零花錢的[15]，而文采捐贈了其零花錢的[35]。可由此推斷文采捐贈的金額多于文思嗎？

上述問題旨在引導學生從抽象層面理解分數，并探究部分與整體之間的關系。通過不斷的探究和辯論，學生不僅拓展了思考問題的視角，還深刻領悟到在比較部分量時，必須明確它們所對應的整體量。

分數的認知教學貫穿小學所有學段，教學過程中，教師應對學生的先驗知識和能力水平進行評估，并確定分數意義學習的關鍵點與拓展點，從而促進學生對分數本質概念的深刻把握。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 黃露嵐.依托核心問題 構建有效對話：以“分數的意義”教學為例[J].數學教學通訊，2024（1）：30-33.

[2] 王平平.圖像表征應用于小學數學概念教學的案例研究：以“分數的認識”為例[D].昆明：云南師范大學，2023.

（責編 楊偲培）