跨學科主題式學習路徑思考

［摘 要］《課程方案》倡導強化學科實踐，引導學生參與學科探究活動，經歷發現問題、解決問題、建構知識、運用知識的過程，體會學科思想方法。文章以杭州亞運會乒乓球“比賽場次”問題為例，開展綜合與實踐活動，旨在探究學習數學化的路徑，并讓學生從數學視角完整經歷研究真實問題的過程。活動分為三個階段：首先，明確研究的真實問題；其次，引導學生綜合運用已有知識和多種方法分析并解決問題；最后，學生自主設計本校班級足球賽活動賽制，通過遷移應用和模型構建，實現跨學科融合。這一過程不僅能提升學生的數學思維能力，還能提高他們將數學知識應用于實際問題的能力，體現了數學教育的實踐性和創新性。

［關鍵詞］跨學科主題學習；學習路徑；數學模型：比賽場數

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）17-0062-06

【教學內容】

北師大版教材六年級上冊“數學好玩”第85頁。（如圖1所示）

【課前思考】

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出，引導學生在問題解決的過程中，形成發現、提出、分析、解決問題的能力。教材通過引入學生感興趣的“乒乓球比賽”話題，為學生提供了探索的空間。教師應引導學生從簡單情境出發，尋找規律，解決問題，并幫助學生領悟“化繁為簡”的學習策略。

在學習本課內容之前，學生已經通過1～5年級的各冊教材的“數學好玩”板塊學習了一些解決問題的基本策略和方法。例如，在學習一、二年級教材中的“做個加法表”“做個減法表”“做個乘法表”后，學生掌握了把算式有規律地整理在表格中的方法；在學習三年級教材中的“有趣的推理”“搭配中的學問”后，學生學會了在表格中進行簡單的判斷和推理，并能結合圖形與字母畫圖分析問題；在學習五年級教材中的“圖形中的規律”后，學生已經學會在線段圖中有序地數數和思考，能夠從簡單的情境入手，尋找規律，解決問題。學生的已有經驗為本課的學習奠定了基礎，本課將引導學生在理解規則的基礎上再次經歷“從簡單情形開始”解決稍復雜的搭配問題，學會解決問題的策略。通過數學運算和推理，學生能夠感受到體育與數學的互融互通，促進數學思維向其他領域的遷移。

《義務教育課程方案（2022年版）》（全文簡稱《課程方案》）提出，加強知識學習與學生經驗、現實生活、社會實踐之間的聯系，注重真實情境的創設，增強學生認識真實世界、解決真實問題的能力。因此，聚焦杭州亞運會等熱點賽事，積極引導學生在真實情境中發掘并提出數學問題，能打破生活問題與數學問題之間的壁壘。在解決問題的過程中，學生要尋找不同問題之間的關系，建立比賽場次相關問題的數學模型，經歷一個數學化全過程。這樣的教學設計不僅提升了學生的數學素養，還培養了他們將數學知識應用于實際問題的能力，體現了數學教育的實踐性和創新性。

【教學目標】

1.結合體育比賽賽程，了解循環賽、淘汰賽規則。

2.能用列表、畫圖等方式探究循環賽中蘊含的簡單規律，并能運用準確恰當的數學語言表達規律。

3.在分析比較、抽象概括等思維活動中，體會化繁為簡的數學思想方法，發展模型意識。

【教學重點】

能用列表、畫圖等方式探究循環賽和淘汰賽中蘊含的簡單規律，并能運用準確恰當的數學語言來表達。

【教學難點】

體會化繁為簡的數學思想方法，增強模型意識。

【教學過程】

一、鏈接經驗，引出問題

師：大家知道2023年在杭州舉辦了一場重要的體育賽事是什么嗎？

生（齊）：亞運會。

師：沒錯。關于這次亞運會，你們都知道些什么？

生1：中國獲得的金牌最多。

師：多少枚呢？

生1：201枚。

生2：杭州亞運會的吉祥物是“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”。

師：今天，讓我們跟隨琮琮、蓮蓮、宸宸，用數學的視角來觀察亞運會。

師（出示拱墅運河體育公園體育館圖）：這是杭州亞運會乒乓球比賽場館。杭州亞運會乒乓球比賽共設7個項目，其中男子單打比賽特別受到球迷的關注。屆時，將有64名選手參與這場激烈的角逐。如果每兩名選手之間都需要進行一場比賽，那么總共需要進行多少場比賽呢？

生3：“每2名選手之間要進行一場比賽”是什么意思？

生4：就是2名選手進行一場比賽。

師：能舉個例子嗎？

生4：3名運動員比賽，1號與2號比一場，1號與3號比一場，2號與3號也要比一場。

師：在體育賽制中，每兩名運動員之間要進行一場比賽就叫單循環賽制。

【思考：聚焦新近發生的、備受關注的熱點賽事——亞運會，一方面，通過鏈接學生的生活經驗，讓學生在真實情境中通過抽象概括提出數學問題；另一方面，為“用數學的眼光看亞運會”奠定基礎，建立體育與數學學科之間的聯系，引導學生從數學的角度去觀察和思考，體會數學在其他學科中的廣泛應用，實現跨學科的綜合發展。】

二、自主探究，發現規律

（一）單循環賽

1.化繁為簡

師：如果采用單循環賽制，64名選手一共要比賽多少場呢？（學生沉思）

師：看來大家都感覺這個問題很難。是不是覺得64名選手有點多，顯得有點復雜，那怎么辦？

生1：可以從人數少的情形開始研究。

師：這是一個好提議。從人數少的情形開始研究找到規律后，再去解決這個問題。那么，我們就從4名選手開始研究。

課件出示（如圖2）：

（學生獨立研究，教師巡視）

【思考：結合亞運會比賽實際，將64名選手兩兩比賽的問題轉化為4名選手兩兩比賽的問題，引導學生經歷從簡單情形開始到解決稍復雜的搭配問題。這樣，通過真實情境的引入讓學生明確要研究的真實問題，再綜合運用已有知識經驗分析問題，從而找到同類題型的規律并運用規律解決真實問題，為學生掌握“化繁為簡”的解題策略打下基礎。】

2.探索規律

師：每位同學都有自己的想法。老師選取了幾幅作品，先來看數線段的方法，你能看懂嗎？（出示圖3）

生1：我們先看A比賽了多少場，以A為端點的線段有3條，比賽了3場；再看B，以B為端點的線段也有3條，但B與A已經比過一場了，所以與B相關且還沒計數的有2場；C與A、B也已經比了，只剩與D比賽的1場；至此，D與其他選手都比過了，所以4名選手一共比了3+2+1=6（場）。

師（出示表1）：這位同學用的也是數線段法，怎么列的算式不一樣呢？

生2：這里是各點之間的連線，2個人只用比1場，后來又來一人，3個人就增加了2場，4個人就再增加3場，所以是1+2+3=6（場）。

師：原來每增加1人，增加的場數就比現在的總人數少1。雖然這兩種都是數線段的方法，但思考方式略有不同，這兩種方法都是正確的。

師（出示圖4）：你們能理解這幅圖嗎？

生3：從1出發分別和2、3、4連1條線，然后再從2出發分別和3、4連1條線，最后再從3出發和4連1條線。這樣不會漏數，也不會多數。

師：圖中的一條線表示什么？

生4：1場比賽。

師：一共比賽了幾場？

生5：6場。

師：剛剛老師看到有位同學寫了“4×3=12（場）”，對嗎？

生6：不對。有4名選手，每位選手比3場，但2名選手之間的比賽只進行1次，所以還要除以2。

師：以圖4中的1與2的連線為例，1號選手與2號選手比一場，2號選手也要與1號選手比一場，這條線數了2次，計算場次時計1場即可，所以還要除以2。通過連線確實也得出一共比賽6場。

師（出示表2）：還有同學用表格的方法，好像有點復雜，誰看明白了？

生7（邊指邊說）：這個“√”表示選手1與選手2比一場，這個“√”表示選手1與選手3比一場，這個“√”表示選手1與選手4比一場，也就是說這一列表示一共比了3場；這個是表示選手2與選手3比一場，這個表示選手2與選手4比一場，這一列一共比了2場；這個“√”表示選手3與選手4比1場。最后，3+2+1=6（場）。

師：他說得清楚嗎？

生（齊）：很清楚！

師：我們給他送上掌聲！但老師有個疑問，為什么這些格子里不畫“√”呀？

生7：首先這里是因為自己跟自己不能比，所以用斜杠表示，空著的格子是因為對應的2名選手已經比過了。

師：看了其他同學的作品，請你們把自己的作品再完善、修正一下。

師：在解決4名選手單循環比賽場數問題時，有的同學連線，有的同學數線段，有的列表……你更喜歡哪一種方法？

生8：數線段。

師：喜歡數線段的請舉手——哇！看來英雄所見略同啊！

【思考：在研究只有4名選手的單循環賽問題時，先讓學生思考，然后收集并呈現學生畫圖、列表、連線等多樣化的解題策略，這樣可以培養學生多元化和豐富的數學思維。】

3.概括規律

師：如果還想知道有5名、6名、7名、8名選手參加比賽的情況，該怎樣解決呢？接下來咱們分組研究。

學生板書：

5名 4+3+2+1=10（場）

6名 5+4+3+2+1=15（場）

7名 6+5+4+3+2+1=21（場）

8名 7+6+5+4+3+2+1=28（場）

師：你們同意這個解法嗎？

生（齊）：同意。

師：從中發現了什么？

生1：比賽場數等于從比賽人數少1的數開始依次加，加的數比前一個數少1，直至加到1為止。

師：請結合例子來說明。

生1：比如有8名選手比賽，那就從7開始加，依次加6，加5……一直加到1。

師：他找到比賽場次與人數之間的聯系，發現了規律。如果是64人呢？能應用規律解決嗎？

生2：63加62加61加……一直加到1為止。

師（板書：63+62+…+6+5+4+3+2+1）：這么長的算式，答案是多少呀？

生3：（首項+末項）×項數÷2。

師：怎么理解“64×63÷2 ”？

生4：每名選手比63場，有64名選手，64個63，因為一半重復了，所以要除以2。

師：等于多少呢？

生5：2016。

師：[n]名選手呢？怎么計算場數？

生6：[n]×（[n]-1）÷2。

生7：（[n]-1）+（[n]-2）+…+3+2+1=[n]×（[n]-1）÷2。

師：同學們真會思考！通過探究，我們成功地解決了單循環賽中比賽場次的問題。在遇到這種復雜問題時，雖然同學們用的方法不同，但目的是一樣的，都是從簡單情形入手，尋找規律，再應用規律解決問題，這就是在化繁為簡。同學們，這么復雜的問題都能被你們輕松搞定，看來化繁為簡真是一種解決問題的好策略。

【思考：在交流、欣賞、質疑、討論中，教師分別建立了4、5、6、7、8名選手比賽的數學模型，在肯定了學生的解題方法后，又把問題拋給學生：如果是64名選手呢？引導學生對比賽場數的數學思維從感性具體發展到感性一般，從理性具體發展到理性一般，最終發現“[n]×（[n]-1）÷2”這一非常簡潔的計算方法。這是借數學運算和推理讓學生體會到體育和數學的互融互通，指向更高層次的跨學科融合。】

（二）淘汰賽

師：俗話說得好，理想很豐滿，現實很骨感，看！這是亞運會乒乓球賽程安排（出示圖5）。你看到什么？

生1：淘汰賽。

師：什么是淘汰賽？

生2：淘汰賽就是一人與另一人比賽，一人贏了，另一人輸了，輸了的人就不能繼續比賽了。

師：輸了就出局，贏了就繼續比賽。

課件出示（如圖6所示）：

師（出示圖7）：這是一位同學的想法，你能看懂嗎？

生3：每2人比賽就淘汰1人，64÷2=32（場）表示就是64進32，同理得出32進16、16進8、8進4、4進2的比賽場數，最后2人比賽1場決出冠軍，比賽場數為32+16+8+4+2+1=63（場）。

師：其他同學同意嗎？

生（齊）：同意。

師：還有別的想法嗎？

生4：總共64人，要產生一個冠軍，所以比賽場數是64-1=63（場）。

師：這種方法對嗎？為什么？

生5：我認為這種方法是對的，因為最后要決出1位冠軍，就要淘汰63人，所以要比賽63場。

師：如果是8名選手采用淘汰賽，需要幾場？

生6：7場。

師：7名選手呢？

生7：6場。

師：n名選手呢？

生8：n-1場。

師：發現了什么？

生9：淘汰賽的話，比賽場數等于比賽人數減1。

師：在本屆亞運會的賽場上，經過幾輪激烈爭奪，你們知道最終冠軍是誰嗎？（學生搖頭）

師：不知道也沒事，我請他來了（出示王楚欽奪冠領獎圖，圖略），這就是王楚欽，他奪得了這枚分量十足的男子單打金牌。不僅如此，他還奪得了本屆亞運會的男團、男雙、混雙的金牌，成為當之無愧的四冠王。（通過介紹運動員奮勇拼搏的事跡，給予學生成長啟示，實現學科育人的價值）（學生情不自禁地鼓掌）

【思考：在解決淘汰賽場數問題時，對學生提出的兩種解題策略進行比較是非常有價值的。通過比較，學生可以體會到淘汰賽背景對理解問題和探求方法的啟發價值。通過任務鏈的逐步實施，伴隨問題鏈的推進，學生的思維不斷深入，他們對比賽場數的數學化建模意識也得到了提升。從粗糙的猜想到嚴謹的算法，這是一個非常大的進步，大大提升了學生的思維層次。】

三、遷移應用，解決問題

師：亞運會賽事很精彩，咱們實驗小學近期組織的班級足球賽那也是搞得有聲有色。現在請你為學校三年級8個班足球比賽設計一種賽制，你會怎么設計？

生1：每個班至少要比2場，第1場輸了也還可以比第2場，如果兩場都輸了就退出比賽。

師：你是不是想說淘汰賽制偶然性太大，有一定運氣成分，采用淘汰賽不太合適？

生1：是的。

師：那我們用單循環賽制，你們覺得怎么樣？

生2：要比的場數太多了。

師：用我們前面得到的規律求8個班單循環比賽，要比幾場？

生3：28場。

師：比賽時間這么長，影響學習了可不好。

（學生紛紛點頭表示贊同）

師：淘汰賽制不行，單循環賽制也不好，那怎么辦呢？

師：兩種賽制都不合適，那能不能兩者——

生（齊）：結合。

師：兩種賽制結合有什么好處？

生4：這樣不需要那么多場比賽，又利于班級真實足球水平的展示。

師：也就是使比賽更加地公平、公正，那我們就選用這種賽制——單循環賽+淘汰賽。

課件出示（如圖8）：

師（出示圖9）：一起來看看這位同學的解答過程，請他自己來介紹一下。

生5：有兩個組，每組有4個隊，在每個小組里采用單循環賽就是3+2+1=6（場），有兩個組，6×2=12（場）；每組前兩名的參賽隊進入淘汰賽，也就是4個隊進行淘汰賽，要比3場，所以一共是12+3=15（場）。

師：看來同學們都能學以致用了！真棒！

【思考：為本校三年級班級足球賽活動設計賽制，是一項開放性、綜合性強的真實任務，旨在促進學生經驗的遷移與模型構建的能力。正是這樣的經驗遷移和拓展創新過程，推動了數學與生活、與體育學科更深度地融合，有利于將學生培養成為善于解決真實問題的人。】

四、拓展延伸，感悟模型

師：今天這節課我們用化繁為簡的策略一起解決了比賽場數的問題。其實這一策略早就在大家以前的學習中出現過了。比如四年級學習的“有趣的算式”和五年級學習的“圖形中的規律”都應用了化繁為簡的方法。生活中還有很多類似比賽場數的問題，比如握手問題、購票問題等，希望同學們在以后的學習中靈活運用化繁為簡的方法解決更多復雜的問題。

【思考：回顧小結學習成果時，教師適時地介紹生活中類似比賽場數的問題，再次把學生帶到新的學習情境中，幫助學生在面對各種情形的實際情境時想到相應的數學模型。】

【課后思考】

綜合與實踐是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的四個學習領域之一，是核心素養導向課程理念的直接體現，是落實實踐創新能力培養的重要形式。綜合與實踐領域中，小學階段以主題式活動為主，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題，形成和發展核心素養。本節課中，筆者結合教材內容，將時事熱點引入課程內容，立足綜合與實踐的特點與價值，引導學生總結規律，希冀為綜合與實踐領域相關主題教學提出一些可行性的教學策略。

思考一：提供支架，形成策略

圖示化和直觀化是學生在數學化學習過程中常用表現方式，也是數學化走向模型化的基礎。為了優化比賽場數探究素材，筆者首先結合亞運會體育賽事，從“64名選手進行乒乓球單循環賽共要比賽多少場”開始，讓學生理解單循環賽規則，并為后續的“用數學的眼光看亞運會”做鋪墊。接著，引導學生逐步踏上從直觀到抽象的探究之旅，讓他們從簡單情形開始尋找規律。在分析和解決4名選手比賽場次問題時，通過多元表征和直觀圖分析，學生從實際情境中抽象出模型，建立實際情境與數學問題之間的關系，進而深化對算法的理解，并認識到算法的現實意義和價值，使數學思維可視化。

思考二：指向本質，建立模型

在綜合與實踐活動中，要培養學生從日常生活中“看出”數學現象，從數學的角度發現和提出問題，運用數學的知識和方法分析和解決簡單實際問題。在本文所述的教學案例中，學生從某個具體情境的“比賽場次安排”問題出發，通過探究各類賽制下比賽人數與場數的關系，概括出一般模型。在這個模型化的過程中，學生參與具體的操作活動并解決問題，借助具體任務進一步感受和理解數學的本質。課堂上有三個任務，分別對應求“單循環賽”“淘汰賽”和“單循環賽+淘汰賽”這三種賽制下比賽場數。整個活動設計直接指向數學本質，從而有效構建數學模型的建立與應用。

思考三：學科融合，提升素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：“在主題活動中，學生將面對現實的背景，從數學的角度發現并提出問題，綜合運用數學和其他學科的知識與方法，分析并解決問題。”教師在教學中應在秉持學科立場，實現跨學科融合，堅守并挖掘學科的育人價值。數學與其他學科的融合能使學生在多學科的綜合性探究過程中，以某一學科的所見和所能彌補另一學科的所不見和所不能，不斷積淀數學素養，實現數學能力與跨學科綜合素養的“雙增長”。

本課在探究比賽場次的綜合與實踐活動中，通過三個任務鏈的逐步實施，層層推進，使得學生的思維從粗糙的猜想變成嚴謹的算法，學生充分經歷了完整的數學化思維過程。倘若把課堂視為“教—學—做”合一的閉環過程，把“教出來”的“學出來”，再把“學出來”的“做出來”，就能打通素養與能力生成的“最后一公里”。

（責編 金 鈴）