玩“小”魔術(shù)，悟“大”道理

［摘 要］“隔空數(shù)數(shù)”一課充滿著數(shù)學(xué)與魔術(shù)相結(jié)合的奇妙魅力，課程設(shè)計(jì)巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)原理設(shè)計(jì)魔術(shù)，既蘊(yùn)含數(shù)學(xué)的智慧，又體現(xiàn)魔術(shù)的樂趣。數(shù)學(xué)與魔術(shù)的結(jié)合，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科特有的魅力，打破了數(shù)學(xué)被視為“枯燥乏味”的刻板印象。在這樣的課程中，教師以有趣的魔術(shù)作為探究線索，讓學(xué)生在嘗試破解的過程中學(xué)會(huì)認(rèn)真傾聽、學(xué)會(huì)分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)魔術(shù)；數(shù)學(xué)規(guī)律；數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)本質(zhì)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）17-0068-04

【課前慎思】

針對學(xué)生對“9的倍數(shù)特征”的掌握情況，通過魔術(shù)的呈現(xiàn)形式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，讓學(xué)生在嘗試破解的過程中，掌握仔細(xì)觀察、認(rèn)真模仿、分析數(shù)據(jù)、整理信息和分析信息等技能，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，形成自主探究的能力。通過實(shí)驗(yàn)、觀察、思考和發(fā)現(xiàn)等活動(dòng)，讓學(xué)生感受魔術(shù)“9的倍數(shù)特征”的規(guī)律，感受數(shù)學(xué)與魔術(shù)的聯(lián)系，使數(shù)學(xué)理念通過具體的活動(dòng)巧妙體現(xiàn)出來，進(jìn)而將數(shù)學(xué)課堂打造成一個(gè)知識(shí)的游樂場，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與探究欲。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生經(jīng)歷收集、分析、整理、對比數(shù)據(jù)，激發(fā)學(xué)生的好奇心與探究欲望，揭秘?cái)?shù)學(xué)魔術(shù)的原理，從而積累探究經(jīng)驗(yàn)。

2.通過數(shù)學(xué)魔術(shù)探索規(guī)律并作出相關(guān)判斷，感受數(shù)量中“變中不變”的規(guī)律。

3.透過數(shù)學(xué)魔術(shù)的表象，找到“變中不變”的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

探究任意兩位數(shù)減去其十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字之后，結(jié)果一定是9的倍數(shù)的原因。

【教學(xué)難點(diǎn)】

通過魔術(shù)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

【教具準(zhǔn)備】

學(xué)習(xí)單、任務(wù)單、課件、書簽。

【課中篤行】

一、創(chuàng)境導(dǎo)入、引發(fā)興趣

（一）課前談話

師：你們喜歡魔術(shù)嗎？

生（齊）：喜歡，魔術(shù)很神奇。

師：因?yàn)槟g(shù)神奇、神秘，所以有這么多人喜歡它。你想成為魔術(shù)師嗎？

生（齊）：想！

師：老師帶來了一盒書簽，我抽取一部分，再從抽取的書簽去掉一部分，你知道還剩多少張嗎？

生1：不知道。

生2：可以根據(jù)書簽的厚度猜一猜。

師：這樣能準(zhǔn)確知道書簽的數(shù)量嗎？

生（齊）：不能。

（二）課題導(dǎo)入

師：你們不行，老師行，比這還要難的我都能猜出來，你們信不信？

（學(xué)生表示疑惑，對教師接下來要說的話充滿期待。）

師：下面我們來玩一個(gè)數(shù)學(xué)魔術(shù)，魔術(shù)的名字叫隔空數(shù)數(shù)。（板書課題：隔空數(shù)數(shù)）

【設(shè)計(jì)意圖】9的倍數(shù)的特征的概念對小學(xué)生來說是抽象和枯燥的，借助數(shù)學(xué)魔術(shù)的形式展開教學(xué)，可以吸引學(xué)生的注意力，提高他們的學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，并激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。

二、體驗(yàn)神奇、探究總結(jié)

（一）讀一讀，明確規(guī)則

師：要想成為一個(gè)優(yōu)秀的魔術(shù)師，首先要明白魔術(shù)步驟，請大家拿出學(xué)習(xí)單（如圖1）讀一讀。

師：你們了解這個(gè)魔術(shù)的步驟了嗎？

（教師板書：抽數(shù)—相加—相減）

師：你們從板書中讀出了數(shù)學(xué)味嗎？假如抽取的書簽是23張，怎么用數(shù)學(xué)語言表示呢？

生1：抽出23張，十位的2和個(gè)位的3相加得5，再從23里減去5得18。

（教師板書：23，2+3=5，23-5=18）

（二）玩一玩，體驗(yàn)神奇

師：現(xiàn)在我先請兩名同學(xué)當(dāng)助手，一名同學(xué)操作，另一名同學(xué)記錄，我來猜。其他同學(xué)一起觀察，看看能不能破解其中的奧秘。

師：下面開始我們的魔術(shù)表演。

第一次表演：

生1操作（抽出了35張書簽），生2記錄：35，3+5=8，35-8=27。其他學(xué)生根據(jù)生1和生2完成的步驟告訴教師“第一步抽數(shù)完成了”“第二步相加完成了”“第三步相減完成了”。（全班同學(xué)參與到魔術(shù)的過程中）

師：把書簽放到老師手里，倒數(shù)三個(gè)數(shù)——3、2、1，我知道了，剩的是27張。

生（齊）：對了。

生2：老師，您是怎么知道的？

生3：這會(huì)不會(huì)只是巧合？我要求再來一次！

師：沒問題。

第二次表演：

生3操作（抽出了19張書簽），生4記錄：19，1+9=10，19-10=9。其他學(xué)生根據(jù)生3和生4完成的步驟，告訴教師魔術(shù)的實(shí)時(shí)節(jié)點(diǎn)。

師：把書簽放到老師手里，倒數(shù)三個(gè)數(shù)讓我們再次見證奇跡——3、2、1，剩的是9張。

生（齊）：太神奇了。

師：驚訝之余，你們有沒有思考剩下的書簽數(shù)可能和什么有關(guān)？

生4：可能和9有關(guān)，9、18、27都是9的倍數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)魔術(shù)之所以令人驚嘆，原因并非僅僅在于其表現(xiàn)形式的神奇，更在于潛藏于其背后的數(shù)學(xué)原理。讓學(xué)生在感受魔術(shù)神奇之時(shí)，產(chǎn)生自主探究的動(dòng)力。

三、關(guān)聯(lián)遷移、探究規(guī)律

（一）寫一寫，呈現(xiàn)數(shù)據(jù)

師：真的是這樣的嗎？（出示任務(wù)單1，如圖2所示）

師：你們在任務(wù)單1上任意寫兩位數(shù)，并驗(yàn)證你們的猜想。

（組織學(xué)生匯報(bào)，教師適時(shí)板書，如圖3所示）

師：看到這些數(shù)據(jù)，你們有什么想法？

生5：剩下的書簽數(shù)都是9的倍數(shù)。

師：能用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、思考和表達(dá)問題，正是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的。

（二）想一想，發(fā)掘原理

1.收集數(shù)據(jù)

師：當(dāng)有大量數(shù)據(jù)指向同一特征的時(shí)候，可能不是巧合，也許真的有規(guī)律存在。

師：為什么是9的倍數(shù)呢？我們退回一開始的舉例，23，2+3=5，23-5=18。

師：能把這兩個(gè)算式寫成一個(gè)綜合算式嗎？

生1：23-（2+3）=18。

師：還可以怎么寫？

生2：23-2-3=18。

生3：23-3-2=18。

師：這3個(gè)綜合算式，你喜歡哪個(gè)？

生4：我喜歡生3的做法，先減去了這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)，后面計(jì)算更簡便。

師：接下來，我們就用這種方法來研究其中的秘密吧。

師：大家寫了這么多兩位數(shù)，要想把10～99全部羅列出來的話，有多少個(gè)兩位數(shù)？

生5：有90個(gè)。

2.整理數(shù)據(jù)

師：大家寫的兩位數(shù)有十幾、五十幾、三十幾……太亂了，怎么研究呢？

生1：可以整理一下，進(jìn)行分類。

生2：把十幾的分一組，二十幾的分一組，三十幾的分一組……

師：太好了，我們把這些數(shù)據(jù)分成了9組。

（教師板書：1□、2□、3□……9□）

3.分析數(shù)據(jù)

師：我們先從簡單的開始研究，從十幾開始，10-0-1=9，拿出任務(wù)單2，開始吧。（如圖4）

師：寫好了可以和同桌說一說你的發(fā)現(xiàn)。

師：誰來匯報(bào)你們交流的結(jié)果？

（學(xué)生展示交流結(jié)果，教師批注如圖5所示）

生3：我發(fā)現(xiàn)這一組的數(shù)先減去個(gè)位數(shù)就是10，再減十位的1就等于9。

師：十幾的這一組算式歸納成了10-1=9，其他組呢？選擇你喜歡的一組研究吧。

（學(xué)生探究活動(dòng)，師巡視并收集作品）

生4：我們小組研究的是二十幾這組。我發(fā)現(xiàn)，二十幾先減個(gè)位數(shù)就是20，20再減十位上的2等于18。

師：這一組算式歸納為20-2=18。

師：三十幾的這一組呢？

生5：這一組算式歸納成了30-3=27。

……

（教師課件出示圖6）

師：同學(xué)們太了不起了，把90個(gè)算式歸納成了9個(gè)算式。

師：還能再濃縮一點(diǎn)兒，把這9個(gè)算式歸納成一個(gè)算式嗎？

生6：幾十減幾就等于幾個(gè)9。

師（板書如圖7所示）：你們找出了算式之間的聯(lián)系，把它們簡化成9組算式，又把9組算式提煉出一個(gè)模型。給你們點(diǎn)贊！

【設(shè)計(jì)意圖】外表看起來冰冷的數(shù)學(xué)，其實(shí)蘊(yùn)含著火熱的思考，數(shù)學(xué)思考可以理解為是數(shù)學(xué)魔術(shù)的靈魂。在學(xué)生深度參與知識(shí)的建構(gòu)過程中，他們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。

四、鞏固深化、揭示本質(zhì)

（一）說一說，表示規(guī)律

師：怎么確定最后剩下的書簽數(shù)是9的幾倍呢？

師：為了方便大家說出其中的道理，我們可以用小棒來演示。

師：10-1怎么減？

生1：解開一捆小棒，拿掉1根就是9根。

師：20-2怎么減？

生2：用2捆小棒表示，解開其中一捆小棒，拿掉2根就是18根。

生3：也可以2捆小棒都解開，分別拿掉1根就剩2個(gè)9根，就是18根。

師：你們覺得哪種表示方式更簡潔明了。

生4：我喜歡生3的方式，一眼就能看出是2個(gè)9。

師：30-3呢？40呢？……90呢？

……

師：誰能用一句話說出其中的道理？

生5：幾十減幾，就是把幾捆小棒都打開，每捆分別拿出1根，剩下的還剩幾個(gè)9。

生6：幾十減幾等于幾個(gè)9。

師：那怎么知道剩的書簽數(shù)量是幾個(gè)9的呢？

生7：得先知道1個(gè)9的標(biāo)準(zhǔn)也就是9張書簽有多厚，再看有幾個(gè)這樣的9張書簽就知道了。

師：一開始，沒有揭秘魔術(shù)的時(shí)候你們感到驚奇，現(xiàn)在揭開了謎底，你想說什么？

生8：原來魔術(shù)就是障眼法，它的背后其實(shí)是一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律。

（二）親身體驗(yàn)

師：現(xiàn)在你會(huì)玩這個(gè)魔術(shù)了嗎？

師：現(xiàn)在請兩名同學(xué)來給我們演示一下這個(gè)魔術(shù)吧。

師：下課后，同桌間輪流扮演魔術(shù)師來表演一次這個(gè)魔術(shù)吧。

（三）回顧反思

師：回顧我們的研究過程，我們通過“讀一讀”，讀出了數(shù)學(xué)信息；通過“寫一寫”，發(fā)現(xiàn)了可能有數(shù)學(xué)規(guī)律；通過“想一想”，驗(yàn)證了確實(shí)有規(guī)律；通過“說一說”，用小棒說出其中的道理。

師：我們透過復(fù)雜的表象，找到事物發(fā)展的規(guī)律，就能發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。（板書：透過表象，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)）

（四）實(shí)踐應(yīng)用

師：我不光會(huì)隔空數(shù)數(shù)，我還會(huì)隔空看圖呢，你們信嗎？（課件出示圖8）

師：隨便選一個(gè)兩位數(shù)，試一試，算好了就直接盯著最后的所對應(yīng)的圖。

師（出示圖9）：又是見證奇跡的時(shí)刻——3、2、1，最后計(jì)算出來的數(shù)對應(yīng)的是猴子。這時(shí)候，你們知道這個(gè)魔術(shù)的秘密了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律還要讓他們學(xué)會(huì)應(yīng)用規(guī)律，學(xué)生經(jīng)歷合理的推測和驗(yàn)證，他們的思維變得更加縝密，從而增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。在面對相似問題時(shí)，學(xué)生能從現(xiàn)象出發(fā)，挖掘背后隱藏的規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)一步培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

五、全課總結(jié)、拓展延伸

師：今天我們玩了一個(gè)數(shù)學(xué)魔術(shù)，你有哪些收獲呢？

生1：我知道這個(gè)魔術(shù)的秘密，它就是一個(gè)數(shù)學(xué)問題。

生2：這個(gè)看似神奇的魔術(shù)，在對它進(jìn)行分析后，我們發(fā)現(xiàn)了它的數(shù)學(xué)規(guī)律。

生3：這個(gè)魔術(shù)背后的規(guī)律就是幾十減幾就是幾個(gè)9。

師：這個(gè)規(guī)律固然重要，但可能第二天你就忘這個(gè)魔術(shù)，我們要記住的是以后面對新問題，主動(dòng)地去尋找規(guī)律，要保持有一顆探究之心！

師：課下可以根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，設(shè)計(jì)出一個(gè)數(shù)學(xué)魔術(shù)，和你的家人一起玩一玩。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)知識(shí)不僅存在于課本中，還內(nèi)隱于生活中。通過知識(shí)的拓展延伸，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生面對新問題時(shí)，積極探尋，始終保持一顆求知之心，拓寬他們的視野，提升價(jià)值觀，最終實(shí)現(xiàn)育人的目標(biāo)。

【教學(xué)反思】

“隔空數(shù)數(shù)”是一節(jié)好玩的數(shù)學(xué)魔術(shù)課，學(xué)生在課堂上展現(xiàn)出了極高的熱情和專注度，這主要得益于教師精心的教學(xué)設(shè)計(jì)。在教學(xué)中教師抓住“趣”，追求“智”，將一個(gè)“小”的數(shù)學(xué)魔術(shù)，玩出了“大”智慧。

一、從“教”數(shù)學(xué)到“玩”數(shù)學(xué)

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課側(cè)重于知識(shí)傳授，較少關(guān)注激發(fā)學(xué)生興趣及發(fā)掘其自主探究能力。西蒙斯·帕珀特曾說過：“學(xué)習(xí)是建構(gòu)，而不是接收。”學(xué)生應(yīng)該成為知識(shí)的創(chuàng)造者和建構(gòu)者，而不僅僅是知識(shí)的接收者。在教學(xué)“9的倍數(shù)特征”時(shí)，借助數(shù)學(xué)魔術(shù)的形式展開教學(xué)，筆者設(shè)計(jì)了兩次魔術(shù)演示的環(huán)節(jié)。第一次演示讓學(xué)生體驗(yàn)神奇，第二次演示讓學(xué)生產(chǎn)生懷疑，引發(fā)思考“剩下的書簽數(shù)可能和什么有關(guān)？”激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。接下來，學(xué)生迫不及待地進(jìn)行“寫一寫”環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)剩下的書簽數(shù)和9有關(guān)。在“想一想”環(huán)節(jié)，教師則引導(dǎo)學(xué)生回歸知識(shí)起點(diǎn)，自主搜集、整理、分析數(shù)據(jù)，最后歸納出“幾十減幾就等于9的幾倍”。在“說一說”環(huán)節(jié)，學(xué)生闡述這一發(fā)現(xiàn)背后的道理。這些探究活動(dòng)將傳統(tǒng)的教師“教數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的創(chuàng)造性“玩數(shù)學(xué)”。

二、從玩“游戲”到玩“數(shù)學(xué)”

如果僅僅停留在游戲的“玩”上，就不能親身體會(huì)到數(shù)學(xué)的“趣”。從“玩游戲”到“玩數(shù)學(xué)”，需要引導(dǎo)學(xué)生跳出游戲的框架，發(fā)掘數(shù)學(xué)之美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之樂。這節(jié)課，從兩次魔術(shù)表演，完美地升級(jí)到數(shù)學(xué)規(guī)律的探究。“寫一寫”環(huán)節(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)剩下的書簽數(shù)是有規(guī)律的。“想一想”環(huán)節(jié)，學(xué)生主動(dòng)去探究這些算式，發(fā)現(xiàn)算式中的數(shù)之間存在一定的關(guān)聯(lián)，并用數(shù)學(xué)知識(shí)去驗(yàn)證規(guī)律。“說一說”環(huán)節(jié)，借助小棒闡述其中道理。一系列活動(dòng)讓學(xué)生領(lǐng)悟到，其實(shí)玩的不是游戲而是數(shù)學(xué)。這場游戲之旅，學(xué)生領(lǐng)略了數(shù)學(xué)的魅力，盡享數(shù)學(xué)帶來的樂趣。

三、從“是什么”到“為什么”

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不能僅滿足于表面認(rèn)知，了解“是什么”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，知其然還要知其所以然。從認(rèn)識(shí)表面現(xiàn)象到深入領(lǐng)悟數(shù)學(xué)原理，是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中不可或缺的環(huán)節(jié)。當(dāng)學(xué)生掌握了魔術(shù)背后的秘密，明白為何結(jié)果是9的倍數(shù)時(shí)，他們嘗試運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解釋“幾十減幾等于9的幾倍”的規(guī)律。然而，這一規(guī)律對于部分學(xué)生而言，仍只是一知半解。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生乘勝追擊，借助小棒圖，繼續(xù)挖掘其背后的深層邏輯。道理越辯越明，邏輯越辯越清，一捆小棒去掉1根就是9根，幾十減幾就是從幾捆小棒分別都去掉1根，每一捆剩下都是9根，所以幾十減幾就是9的幾倍。透過魔術(shù)的表象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)略數(shù)學(xué)魔術(shù)的無窮魅力。

【本文系2022年安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目“基于學(xué)生立場的小學(xué)數(shù)學(xué)智趣教學(xué)實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：JK22091）的研究成果之一。】

（責(zé)編 梁桂廣）