一圖三用，讓思維之花綻放

［摘 要］在人教版新教材六年級下冊的“數(shù)學(xué)廣角”單元中，“鴿巢問題”這一教學(xué)內(nèi)容較舊教材有較大的改動。文章旨在探討如何通過精心設(shè)計的組圖來深入挖掘“鴿巢問題”的教學(xué)價值，以此促進學(xué)生思維能力的發(fā)展，并培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］鴿巢問題；枚舉法；平均分法；反證法

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）17-0072-03

數(shù)學(xué)被視為思維的體操，其教學(xué)的一個重要目標是培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思維方法。挖掘人教版教材中的“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)價值是實現(xiàn)這一目標的有效途徑，該部分通過簡潔明了的編排和富有趣味性的實例，旨在滲透關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想方法。

在六年級下冊的“數(shù)學(xué)廣角”單元中，“鴿巢問題”這一教學(xué)內(nèi)容較舊教材有很大變化。面對這一變化，教師需要探討如何有效地開展“鴿巢問題”單元的起始課。這包括如何基于教材內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)，體現(xiàn)“鴿巢問題”的教學(xué)價值，并促進學(xué)生思維的發(fā)展。

一、教材分析

在人教版新舊教材中，“鴿巢問題”都是以例題“把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有1個筆筒里至少有2支鉛筆。”導(dǎo)入，通過提問的方式幫助學(xué)生理解“總有”和“至少”這兩個關(guān)鍵詞的含義，進而引出枚舉和反證兩種思維方式，從而讓學(xué)生可以更好地感知“鴿巢問題”的基本結(jié)構(gòu)和形態(tài)，并掌握簡單“鴿巢問題”的解題模型。

教材提供了兩種解題方法。第一種，枚舉法。通過逐一分析一類事件的所有可能情況來得出結(jié)論。這種方法旨在讓學(xué)生通過具體的列舉過程，全面概括情況，并深入體驗數(shù)學(xué)的具象性。第二種，反證法。通過對命題進行邏輯論證來證明結(jié)論。這是一種形式化的證明方法，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生用直觀的方式大膽提出假設(shè)，再細心驗證。與枚舉法相比，反證法更具抽象性和一般性，能夠幫助學(xué)生理解更深層次的數(shù)學(xué)邏輯和證明方法。

二、學(xué)情分析

六年級的學(xué)生在生活中已經(jīng)積累了豐富經(jīng)驗，也具有一定的學(xué)習(xí)能力、動手能力、理解能力，教材中提供的例子與學(xué)生的生活緊密相關(guān)，這為學(xué)生理解和掌握“鴿巢問題”做了良好的鋪墊。

然而，當(dāng)“總有”和“至少”這兩個詞組合在一起形成“總有……至少……”的表達時，部分學(xué)生可能會感到困惑。學(xué)生的主要困惑點包括：首先，對于“總有1個筆筒”的表述，學(xué)生可能不清楚具體指的是哪個筆筒，以及這個筆筒的具體情況。這是因為“鴿巢問題”中的“不確定性”與學(xué)生過去所學(xué)的具有“明確指向?qū)ο蟆钡乃季S習(xí)慣產(chǎn)生了認知沖突。其次，部分學(xué)生可能將“至少”理解為數(shù)量上的最少，認為最少的支數(shù)就是0支，從而質(zhì)疑“至少有2支”的說法。這種錯誤的理解源于將“總有”與“至少”分裂開來，忽略了“至少”的前提。針對這些認知障礙，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對題意進行全面的梳理，確保他們對這兩個概念的理解準確無誤。

三、教學(xué)實踐與反思

【教學(xué)片段1】初次看圖，從“最多”中找“最少”

師（課件出示教材例題，題略）：從題目中你知道要完成什么任務(wù)？要證的結(jié)論是什么？

生1：題目要求把4支鉛筆放進3個筆筒。結(jié)論是不管怎么放，總有1個筆筒至少有2支鉛筆。

師：你是怎樣理解“不管怎么放”“總有”“至少”的意思？

生2：“不管怎么放”的意思就是隨意放、順便放，想怎樣放就怎樣放。

生3：“總有”就是一定有、肯定有、一定存在。

生4：“至少”就是最少、不少于、最起碼。

生5：“至少有2支”就是最少有2支，不能少于2支，也可能是3支或4支。

師：看來大家已經(jīng)基本理解題目的意思了，你知道為什么總有1個筆筒里至少有2支鉛筆嗎？眼見為實，下面就請同學(xué)們來操作探究，在動手之前請看活動要求。

出示活動要求：

（1）小組合作擺一擺；（只考慮筆筒中鉛筆的數(shù)量，與筆筒的順序無關(guān)，可以有空筆筒。）

（2）思考一共有幾種擺法，把所有的擺法找出來；

（3）用自己喜歡的方式在學(xué)習(xí)單上記錄各種擺法。

（學(xué)生4人一組操作，教師巡視）

師：請匯報一下你們的成果。

（教師請一個小組到展臺前匯報）

生6：我們小組是用畫示意圖的方法來表示的，第一種放法是一個筆筒中放4支，其余兩個筆筒空著。

生7：第二種放法是一個筆筒中放3支，另外兩個筆筒中有一個筆筒放1支，最后一個筆筒空著；第三種放法是一個筆筒中放2支，另外兩個筆筒中有一個筆筒放2支，最后一個筆筒空著；第四種放法是一個筆筒中放2支，另外兩個筆筒中有一個筆筒放1支，最后一個筆筒放1支。（如圖1所示）

師：請問大家有什么要補充的嗎？還有其他的擺法嗎？

生8：我們小組是用有序數(shù)來表示的，上面的4種擺法分別可以表示為（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。（出示圖2）

生9：圖2顯示一共就4種擺法。

師：像這樣，從條件出發(fā)一一列舉所有情況的方法稱為“枚舉法”。

師：觀察圖2，為什么總有1個筆筒里至少有2支鉛筆？我們來逐一驗證。

師：在第一種擺法中，至少有2支鉛筆的筆筒有多少個？請把它圈出來。圈出的筆筒里有幾支鉛筆？

生（齊）：圈出的筆筒1個，它里面有4支鉛筆。

師：在第二種擺法中，至少有2支鉛筆的筆筒有多少個？請把它圈出來。圈出的筆筒里有幾支鉛筆？

生（齊）：圈出的筆筒有1個，里面有3支鉛筆。

師：在第三種擺法中，至少有2支鉛筆的筆筒有多少個？請把它圈出來。圈出的筆筒里有幾支鉛筆？

生（齊）：圈出的筆筒有2個，里面都是有2支鉛筆。

師：在第四種擺法中，至少有2支鉛筆的筆筒有多少個？請把它圈出來。圈出的筆筒里有幾支鉛筆？

生（齊）：圈出的筆筒有1個，里面有2支鉛筆。

（學(xué)生圈完之后得到圖3）

師：根據(jù)圖示可以知道，符合題目結(jié)論“至少有2支鉛筆”的那個筆筒在每種擺法中的3個筆筒中鉛筆數(shù)量都是最多的。因此，“總有一個筆筒”指的是哪個筆筒？

生10：鉛筆最多的筆筒。

師：那為什么說至少有2支？

生11：這幾個被圈起來的筆筒的鉛筆數(shù)分別是4、3、2、2、2，其中最少的有2支，也就是至少有2支。

【設(shè)計意圖：為了幫助學(xué)生理解“總有1個筆筒里至少有2支鉛筆”的含義，教學(xué)有兩個關(guān)鍵步驟。一是確定“總有1個筆筒”。教師引導(dǎo)學(xué)生在列舉出的各種情況中找出鉛筆數(shù)量不少于2支的筆筒，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個筆筒在每種擺法中都是鉛筆數(shù)量最多的，即在驗證過程中被圈起來的筆筒。二是理解“至少有2支鉛筆”。學(xué)生需要確定被圈畫的筆筒中鉛筆的最少支數(shù)。通過觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)符合“至少有2支鉛筆”的筆筒中，最少的支數(shù)確實是2支。通過這種“行為表征→圖像表征→符號表征”的三次表征和兩次抽象過程，學(xué)生能夠逐步理解并得到一個基本的數(shù)學(xué)結(jié)論，即最不利情況。這樣的教學(xué)方法有助于學(xué)生從具體到抽象的思維過渡，加深對“鴿巢問題”核心概念的理解，并提高解決問題的能力。】

【教學(xué)片段2】二次看圖，從“平均分”到“最不利”

師（指著圖2）：你認為這4種擺法中，哪種最能說明“總有1個筆筒里至少有2支鉛筆”這個結(jié)論？它是怎樣分的？

生1：第四種擺法（（2，1，1）的擺法）。

師（提供操作材料）：請生1上來演示分法。

生1（邊操作邊說）：4支鉛筆放進3個筆筒里，先在每個筆筒里放1支鉛筆，剩下的最后1支鉛筆放在任意一個筆筒里。

師：為什么你在每個筆筒中先放1支鉛筆呢？

生1：因為將4支鉛筆平均分到3個筆筒，每個筆筒就只能分到1支鉛筆。

師：這樣平均分后，就會使最多的筆筒里的鉛筆數(shù)量怎樣呢？大家可以看圖2的4種擺法后回答。

生2：通過對比可以發(fā)現(xiàn)，前面三種擺法中都有空的筆筒，這樣就會使得最多的筆筒里的鉛筆更多，而第四種擺法實際上是先平均分，每個筆筒里都有鉛筆，就可以使最多的筆筒里的鉛筆盡可能少一點。

師：平均分的分法就是做了一個最壞的打算，也就是考慮到了“最不利情況”。

【設(shè)計意圖：為了讓學(xué)生深入理解“鴿巢問題”的核心概念，教學(xué)設(shè)計聚焦于最具代表性的擺法（2，1，1），并將其定義為“運氣最壞的情況”。在這種擺法中，每個筆筒的鉛筆數(shù)量盡可能均勻，即通過平均分配的方式，使得鉛筆最多的筆筒與鉛筆最少的筆筒之間的鉛筆數(shù)量差距最小。這種擺法體現(xiàn)了“最不利情況”，即在所有可能的分配中，確保至少有一個筆筒里至少有2支鉛筆。通過分析這種“運氣最壞的情況”，學(xué)生可以理解，即使在最不利的情況下也能保證“總有1個筆筒里至少有2支鉛筆”，那么在其他任何情況下，這一結(jié)論必然成立。這種從最不利情況出發(fā)的思維方式，有助于學(xué)生掌握“鴿巢問題”的獨特思維特征，即在解決類似問題時，首先考慮最不利的情況，從而更有效地解決問題。】

[教學(xué)片段3]三次看圖，從“順向”到“反向”

師：前面我們研究的是被圈起來的筆筒，現(xiàn)在我們來重點研究其余的筆筒。請大家再次看圖2。

師（指著沒被圈起來的筆筒）：這個筆筒有幾支鉛筆？這個筆筒呢？……

生（齊）：0支、1支……

師：這些筆筒里的鉛筆數(shù)符合“至少有2支”嗎？

生（齊）：不符合。

師：沒有被圈出來的筆筒里鉛筆數(shù)最多的一個有幾支鉛筆？

生1：鉛筆數(shù)最多的筆筒有1支鉛筆。

師：如果每個筆筒中最多放1支鉛筆，那么3個筆筒中一共最多放幾支？

生（齊）：3支。

師：可是現(xiàn)在有4支鉛筆，出現(xiàn)了什么情況？

生2：假設(shè)的3支和實際的4支數(shù)量上對不上。

師：因此，在有4支鉛筆放到3個筆筒的情況下，我們的假設(shè)“每個筆筒中最多放1支鉛筆”是錯誤的，這也就從反面證明了“總有1個筆筒里至少有2支鉛筆”。

師：我們把這種思考方法稱為“反證法”。

【設(shè)計意圖：人教版新教材介紹“鴿巢問題”的例題1的第二種方法，旨在引導(dǎo)學(xué)生運用“假設(shè)”這一思路進行推理，以得出結(jié)論。假設(shè)教材給出的例題結(jié)論不成立，即每個筆筒中的鉛筆數(shù)量都少于2支，那么每個筆筒中最多只能有1支鉛筆。這種假設(shè)在推理過程中體現(xiàn)了“鴿巢原理”的數(shù)學(xué)價值與意義。人教版新教材通過“每個筆筒中最多放1支鉛筆”的假設(shè)條件，引入了“反證法”的概念。與前面兩個教學(xué)片段的“順向”思考相比，教學(xué)片段3采用了“反向”思考的方法，即從否定的角度出發(fā)，對“總有1個筆筒里至少有2支鉛筆”的結(jié)論進行驗證。這種正反兩個方向的探究，不僅驗證了結(jié)論的正確性，而且促進了學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力的發(fā)展。】

四、教學(xué)反思

（一）明確方向，直觀演示

在教學(xué)過程中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注放鉛筆數(shù)量最多的筆筒，以此明確“總有”的概念。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注筆筒內(nèi)鉛筆的支數(shù)，以便理解“至少”的含義。在明確了這兩個關(guān)鍵概念后，學(xué)生才能夠更好地把握“總有”和“至少”的實質(zhì)。為了幫助學(xué)生深入理解，教師可以展示一張包含4種不同擺放方式的組圖，讓學(xué)生借助組圖這個“腳手架”從不同角度觀察和思考，從而自主領(lǐng)悟“鴿巢問題”這一數(shù)學(xué)思想。

（二）滲透方法，強化推理

邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，教師在教學(xué)中應(yīng)將“枚舉法”和“反證法”結(jié)合起來，通過“說理”和“證明”，加強學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)。“鴿巢問題”本質(zhì)上是一種針對特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問題的求解模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想方法。在教學(xué)過程中，教師在采用枚舉法的同時應(yīng)融入有序性的思維理念，通過數(shù)形結(jié)合和符號化手段來展現(xiàn)所有可能的擺法，并輔以反證法等思想方法，以全面而深入地闡述該原理。

（責(zé)編 梁桂廣）