木直中繩，輮以為輪，其曲中規(guī)

原創(chuàng)題《勸學(xué)》有云：“木直中繩，輮以為輪，其曲中規(guī).”墨斗（如圖1）是中國古代木工用于定位的傳統(tǒng)工具，一件件精巧的工藝品離不開工匠精準(zhǔn)的測量.如圖是一塊木材的切面圖（如圖2），木匠計(jì)劃在切向切面上切下一塊三角形零件，需要利用墨斗繪制設(shè)計(jì)圖.切向切面上的年輪可以視為一條拋物線（如圖3），建立適當(dāng)坐標(biāo)系后求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn).木匠將定針放在拋物線上的點(diǎn)A處，利用墨繩作出拋物線在點(diǎn)A處的切線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P.出于美觀考量，三角形零件要盡量小巧，求三角形零件AFP面積的最小值.

1 命題過程

1.1 命題要求

此題的考查內(nèi)容為拋物線，涉及求拋物線的切線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，承擔(dān)填空題壓軸題功能，命題設(shè)問最好是含有參數(shù)的弦長、與面積有關(guān)的最值問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求解最值，難度為中檔偏難.

1.2 命題立意

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》背景下的高考命題基于素養(yǎng)立意，高考題的設(shè)問方式有簡單的陳述，也有程序性的呈現(xiàn)，更多的是考查策略性知識的設(shè)問情境，考查學(xué)生在情境中運(yùn)用“數(shù)學(xué)思想方法”解決問題的能力，以及必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值.基于此，本題設(shè)問中不僅要有程序性知識，還要有策略性知識，要求立意新、情境新、設(shè)問新.

1.3 雙向細(xì)目表

根據(jù)命題要求和命題立意，制定雙向細(xì)目表（表1）.

1.4 過程說明

第一稿：已知F為拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l₁，l₂，且l₁，l₂相交于點(diǎn)P，則|PF|－|AB|的最小值為_________.

說明：結(jié)合直線與拋物線相交、相切兩種位置關(guān)系，考慮研究拋物線弦長，引入變量建立函數(shù)模型，焦點(diǎn)弦AB兩端點(diǎn)處曲線C的切線相交于點(diǎn)P，求|PF|－|AB|的最小值，用坐標(biāo)法易入手，函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)算難度不大，所以題目難度不夠.

第二稿：已知F為拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l₁，l₂，且l₁，l₂相交于點(diǎn)P，則△ABP面積的最小值為______.

說明：將研究弦長問題轉(zhuǎn)化為研究面積問題，還可以尋找更多的直角關(guān)系，并且函數(shù)模型變?yōu)槿魏瘮?shù)，同時(shí)考查用導(dǎo)數(shù)求最值.而此題背景是阿基米德三角形，其幾何特點(diǎn)的研究已經(jīng)非常成熟，學(xué)生深入探究的必需性不大.

第三稿：已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線C上，且拋物線C在點(diǎn)A處的切線與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，則△AFP面積的最小值為_______.

說明：截取阿基米德三角形的一部分，形成新的三角形，題目的表述讓學(xué)生對參數(shù)的設(shè)立有不同的思考，產(chǎn)生不同的解法.如以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為變量引入切點(diǎn)A的坐標(biāo)t，t²/4，引入直線AF的斜率k為變量，引入點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為變量，引入FA與y軸正方向的夾角θ為變量，引入AF，BF的長度為變量.另外還可以挖掘出隱藏的阿基米德三角形，利用其幾何特點(diǎn)，快速建立函數(shù)模型，感受數(shù)形結(jié)合的奇妙之處.考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

第四稿：題干與原創(chuàng)題部分相同.出于美觀考量，三角形零件要盡量小巧，請確定定針A的位置，使得△AFP的面積最小.

說明：《中國高考報(bào)告（2023）》指出，2023年高考數(shù)學(xué)命題將發(fā)生重大變化，即考試加入復(fù)雜情境，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法.考試加入復(fù)雜情境，就是要把數(shù)學(xué)與生活實(shí)際相結(jié)合，在復(fù)雜情境中，抽象出對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而解決問題.基于此，我們在第四稿中加入木匠利用弦切面做零件這一實(shí)際情景，不僅讓學(xué)生領(lǐng)略到了中國傳統(tǒng)文化的智慧，同時(shí)也提升了學(xué)生的信息提取能力和轉(zhuǎn)化能力.

第五稿：（終稿）見原創(chuàng)題.

說明：鑒于第四稿的問題設(shè)計(jì)過于具有指向性，我們決定調(diào)整要求，刪除“確定定針A的位置”的限制.這樣一來，學(xué)生在解決問題時(shí)便可以更加多元化地選擇切入點(diǎn)，參數(shù)的選擇和目標(biāo)函數(shù)的表示也更加靈活.高中數(shù)學(xué)題目的問題設(shè)計(jì)對學(xué)生的解題思路和方法具有重要影響.合理的問題設(shè)計(jì)有助于引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)和解題思路，提高他們的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).然而，題目設(shè)計(jì)不能過于具有指向性，否則會限制學(xué)生的解題方法和思維發(fā)展.因此，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和能力程度，設(shè)計(jì)富有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題，以促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考、探索和發(fā)現(xiàn)，提升他們的數(shù)學(xué)思維水平和創(chuàng)造力.

1.5 反思命題，提升能力

命題是一項(xiàng)嚴(yán)肅的工作，每一道好題都是命題人、學(xué)生、教師與數(shù)學(xué)之間的一次精神交流.命題難，命原創(chuàng)題更難，每次命題都要經(jīng)過“命題要求—命題過程—答題分析—命題反思”的基本流程，再經(jīng)歷編題、打磨、修改、完善、反思等程序.最后，還要合理利用考試后的反饋數(shù)據(jù)，研究答題情況，有助于進(jìn)一步提升命題能力.

2 試題分析與思維導(dǎo)圖

試題解法的思維導(dǎo)圖如圖4所示，具體解法請掃碼查看.

3 試題實(shí)例統(tǒng)計(jì)分析

本題是2021屆高三模擬考填空題，滿分5分，平均分1.32.由于此題是填空題最后一題，且有一定難度，可以準(zhǔn)確得到答案的學(xué)生較少.學(xué)生出現(xiàn)的問題主要有如下幾個(gè)方面：

（1）知難而退：易選擇引入切點(diǎn)坐標(biāo)，通過聯(lián)立切線方程和準(zhǔn)線方程，表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，面積表達(dá)式是髙次分式結(jié)構(gòu)，求函數(shù)最值時(shí)運(yùn)算步驟多，部分學(xué)生不敢在價(jià)值5分的題目上耗費(fèi)太多時(shí)間，于是放棄.

（2）束手無策：關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)表示后，未發(fā)現(xiàn)AF⊥PF的幾何關(guān)系，面積的運(yùn)算就比較棘手，止步于此.

（3）艱難曲折：若引入斜率求交點(diǎn)坐標(biāo)，需利用求根公式，且面積表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，函數(shù)最值的求解異常困難.

（4）墨守成規(guī)：大部分學(xué)生使用坐標(biāo)法，因未挖掘出阿基米德三角形的背景，所以沒有抓住巧妙解決此題的幾何特點(diǎn).

4 試題變式

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在其著作《拋物弓形求積》中利用一系列內(nèi)接三角形逐步逼近拋物線弓形，借助“窮竭法”解決了拋物線弓形的面積問題：即拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的23.利用此結(jié)論，考慮弦AB不過焦點(diǎn)，研究阿基米德三角形相關(guān)問題.例如，假設(shè)有一顆彗星繞太陽運(yùn)動的軌跡為拋物線C：x2=4y，過定點(diǎn)（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求彗星在A，B兩點(diǎn)的掠過面積（弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形面積）的最小值.