巧妙構(gòu)造 導(dǎo)亦有道

摘 要：構(gòu)造函數(shù)在解決與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的解不等式、求取值范圍和比較大小等問(wèn)題中發(fā)揮著重要的作用.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可以巧妙地化解題目中的已知條件，同時(shí)抽象出題目中隱藏著的函數(shù)模型.本文嘗試探討構(gòu)造函數(shù)在解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的具體應(yīng)用類(lèi)型，通過(guò)幾種常見(jiàn)的構(gòu)造類(lèi)型展示構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的巧妙之處.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）21-0008-03

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題不僅是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是具有一定難度的內(nèi)容.在導(dǎo)數(shù)題目中，常常出現(xiàn)形式繁雜的式子以及一些看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的條件，讓學(xué)生看得云里霧里，不明就里，感到無(wú)從下手.構(gòu)造函數(shù)是指對(duì)由基本初等函數(shù)組成的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出我們所需要的函數(shù)，充分利用導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行后續(xù)的研究.構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基本方法[1]，對(duì)于解決一些與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的解不等式、求取值范圍、比較大小等問(wèn)題是十分有效的.在構(gòu)造的過(guò)程中，我們可以巧妙地化解一些難題，充分利用題目的已知條件，達(dá)到解決問(wèn)題的目的，在不知不覺(jué)中化繁為簡(jiǎn)，化難為易.

1 利用f（x）與x構(gòu)造

一般地，出現(xiàn)nf（x）＋xf ′（x）形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝xnf（x）；出現(xiàn)xf ′（x）-nf（x）形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）/xn．需根據(jù)具體情況，靈活構(gòu)造函數(shù).

例1 已知x∈（0，＋∞），且f（x）＋xf ′（x）＜0，則不等式f（x＋1）-（x-1）f（x2-1）＞0的解集是（" ）.

A.（1，2）"" B.（2，＋∞）

C.（0，1） D.[2，＋∞）

解 令y＝xf（x），x∈（0，＋∞），則y′＝f（x）＋xf ′（x），由y′＜0知y＝xf（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減.又因?yàn)閒（x＋1）-（x-1）f（x2-1）＞0，所以（x＋1）f（x＋1）-（x2-1）f（x2-1）＞0，所以x＋1＜x2-1，又因?yàn)閤2-1＞0，x＋1＞0，得x＞2，所以f（x＋1）-（x-1）f（x2-1）＞0的解集是（2，＋∞）.答案：B.

例2 若f（x）對(duì)任意x∈R都有f ′（x）＜12，且f（1）＝1，則f（log2x）＞log2x+12的x的取值范圍為．

解 令F（x）=f（x）-12x，則F′（x）=f ′（x）-12＜0，所以F（x）在R上單調(diào)遞減．又因?yàn)閒（1）=1，所以F（1）=f（1）-12=1-12=12，由f（log2x）＞log2x+12得f（log2x）-12log2x＞12，所以F（log2x）＞F（1），故log2x＜1，所以x的取值范圍為0＜x＜2．答案：（0，2）.

在解決上述問(wèn)題時(shí)，我們要充分熟悉常見(jiàn)的函數(shù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，仔細(xì)觀察題目中已知條件的結(jié)構(gòu)，與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則相對(duì)應(yīng)，從而找到在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中構(gòu)造函數(shù)的方法.同時(shí)，在解題時(shí)要合理地結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，以形解數(shù).

2 利用f（x）與ex構(gòu)造一般地，出現(xiàn)f ′（x）＋nf（x）形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝enxf（x）；出現(xiàn)f ′（x）-nf（x）形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）/e2x．利用f（x）與ex構(gòu)造函數(shù).

例3 若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f ′（x）＋2f（x）gt;0，且f（0）=1，則不等式f（x）gt;1e2x的解集為．

解 構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）·e2x，所以F′（x）＝f ′（x）·e2x＋f（x）·2e2x=e2x[f ′（x）＋2f（x）]gt;0，所以F（x）是R上的增函數(shù)，且F（0）＝f（0）·e0＝1，由f（x）gt;1e2x可得f（x）e2xgt;1，即F（x）gt;F（0），所以xgt;0，所以原不等式的解集為（0，＋∞）．答案：（0，＋∞）.

例5 若f（x）在x∈R上有f ′（x）＞f（x）成立，則（" ）.

A.3f（ln5）＞5f（ln3）

B.3f（ln5）＝5f（ln3）

C.3f（ln5）＜5f（ln3）

D.3f（ln5）＝5f（ln3）

解 構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）ex，所以g′（x）＝f ′（x）-f（x）ex，因?yàn)樵趚∈R上有f ′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，得g（x）在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)閘n3＜ln5，所以g（ln3）＜g（ln5），所以f（ln3）3＜f（ln5）5，即5f（ln3）＜3f（ln5），答案：A.

例6 定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：f（x）gt;1-f ′（x）且f（0）＝0，f ′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，不等式exf（x）gt;ex-1的解集為（" ）.

A.（0，＋∞）"""" B．（-∞，0）∪（1，＋∞）

C．（-∞，-1）∪（0，＋∞）D．（-1，＋∞）

解 構(gòu)造函數(shù)g（x）＝exf（x）-ex，則g′（x）＝

exf（x）＋exf ′（x）-ex．因?yàn)閒（x）gt;1-f ′（x），所以g′（x）gt;0在R上恒成立，即g（x）在R上單調(diào)遞增．又因?yàn)閒（0）＝0，所以g（0）＝-1，不等式exf（x）gt;ex-1可化為g（x）gt;g（0），所以解集是（0，＋∞）．答案：A

我們知道ex最大的特點(diǎn)就是它的導(dǎo)數(shù)與它本身相同，因此一些函數(shù)可以與ex結(jié)合進(jìn)行構(gòu)造.在解決與ex有關(guān)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，善于觀察條件的結(jié)構(gòu)對(duì)于構(gòu)造函數(shù)有很大的幫助，對(duì)構(gòu)造函數(shù)的理解往往是一通百通.

3 利用f（x）與sinx，cosx構(gòu)造

一般地，出現(xiàn)f ′（x）sinx＋f（x）cosx形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）sinx；出現(xiàn)f ′（x）sinx-f（x）cosxsin2x形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）sinx；出現(xiàn)f ′（x）cosx-f（x）sinx形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）cosx；出現(xiàn)f ′（x）cosx＋f（x）sinxcos2x形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）cosx．

例4 已知f（x）的定義域?yàn)椋?π2，π2），且f（x）為奇函數(shù)．當(dāng)x∈[0，π2）時(shí)，有f（x）＋f ′（x）tanxgt;0，則不等式cosx·f（x＋π2）＋sinx.f（-x）gt;0的解集為（" ）.

A.（-π4，π2）

B．（-π4，π2）

C．（-π4，0）D．（-π2，-π4）

解 構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）sinx，則g′（x）＝f（x）cosx＋f ′（x）sinx＝[f（x）＋f ′（x）tanx]cosx，當(dāng)x∈[0，π2）時(shí)，f（x）＋f ′（x）tanxgt;0，cosxgt;0，所以g′（x）gt;0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．又因?yàn)間（0）＝0，所以x∈[0，π2）時(shí)，g（x）＝f（x）sinx≥0．因?yàn)閒（x）是定義在

（-π2，π2）

上的奇函數(shù)，所以g（x）是定義在（-π2，π2）上的偶函數(shù)．所以不等式cosxf（x＋π2）＋sinxf（-x）gt;0，即sin（x+π2）

·f（x+π2）gt;sinx·f（x），即g（x+π2）gt;g（x），所以|x＋π2|gt;|x|，得到xgt;-π4①，又因?yàn)?π2lt;x＋π2lt;π2，所以-πl(wèi)t;xlt;0②，由①②得不等式的解集是（-π4，0）．答案：C.

例5 已知y＝f（x）對(duì)于任意的x∈（0，π2）

滿(mǎn)足f ′（x）·cosx＋f（x）sinx＝1＋lnx，則下列不等式成立的是（" ）.

A.2f （π3）＜f （π4）

B．2f （π3）gt;f （π4）

C．2

f （π3）gt;f （π6）

D．2

f （π6）＜3f （π4）

解 構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）cosx，得g′（x）＝f ′（x）cosx＋f（x）sinxcos2x＝1＋lnxcos2x，x∈（0，π2）

．令g′（x）＝0得x＝1e，當(dāng)x∈（0，1e）

時(shí)g′（x）＜0，函數(shù)g（x）是減函數(shù)，當(dāng)x∈

（1e，π2）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）是增函數(shù)．因?yàn)橛?e＜π6＜π4＜π3＜π2，所以有g(shù)（π6）

＜g（π4）＜g（π3），即

f（π/3）1/2gt;f（π/4）2/2gt;f（π/6）3/2，化簡(jiǎn)得

2f （π3）gt;f （π4），

3f （π3）gt;f （π6），

2f （π4）gt;f （π6），故選B．

我們遇到與sinx和cosx相關(guān)的式子，往往會(huì)想到構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)進(jìn)行求解.sinx的導(dǎo)數(shù)是cosx，而cosx的導(dǎo)數(shù)是sinx的相反數(shù)，構(gòu)造時(shí)要仔細(xì)觀察正負(fù)符號(hào)，確定合理的函數(shù).

4 構(gòu)造函數(shù)的其他類(lèi)型

在高考卷中有許多與構(gòu)造函數(shù)有關(guān)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，需要具體地分析題目的條件和結(jié)構(gòu)來(lái)確定所構(gòu)造的函數(shù).這類(lèi)題目形式靈活多變，往往考查學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比、化歸、猜想和歸納等能力，構(gòu)造函數(shù)就是這些能力的具體體現(xiàn).

例6 （2021·全國(guó)乙）設(shè)a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04-1，則（" ）.

A．a(chǎn)lt;blt;c"" B．blt;clt;a

C．blt;alt;c"" D．clt;alt;b

解 因?yàn)閎-c＝ln1.02-1.04＋1，所以設(shè)f（x）＝ln（x＋1）-1＋2x＋1，得b-c＝f（0.02），

f ′（x）＝

1x+1-221+2x＝1＋2x-（x＋1）（x＋1）1＋2x，當(dāng)xgt;0時(shí)，x＋1gt;1+2x，所以當(dāng)xgt;0時(shí)，f ′（x）＝1＋2x-（x＋1）（x＋1）1＋2xlt;0，所以f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以f（0.02）lt;f（0）＝0，即blt;c．a(chǎn)-c＝2ln1.01-1.04＋1，設(shè)g（x）＝2ln（x＋1）-1＋4x＋1，則a-c＝g（0.01），g′（x）＝2x＋1-421＋4x＝2［1＋4x-（x＋1）］（x＋1）1＋4x，當(dāng)0lt;xlt;2時(shí)，4x＋1＝

2x＋2x＋1gt;x＋1，所以當(dāng)0lt;xlt;2時(shí)，g′（x）gt;0，所以g（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，所以g（0.01）gt;g（0）＝0，故clt;a，從而有blt;clt;a，故選B.

5 結(jié)束語(yǔ)

以上是高中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的幾種利用構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的類(lèi)型.這類(lèi)問(wèn)題的題目條件可能會(huì)設(shè)置得比較抽象，讓人一開(kāi)始摸不著頭腦，但是只要認(rèn)真觀察、理性分析，不難發(fā)現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)的身影.構(gòu)造函數(shù)具有靈活性和創(chuàng)新性[2]，在具體的解題過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)更多其他類(lèi)型的構(gòu)造，我們需要具體問(wèn)題具體分析.歸根結(jié)底，我們要有一種構(gòu)造函數(shù)的意識(shí)，不論題目條件怎么變化，萬(wàn)變不離構(gòu)造，靈活運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法可以幫助我們解決諸如此類(lèi)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：［1］ 鄭顯輝.構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（07）：53-54.

[2] 張文亭.構(gòu)造函數(shù)在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（13）：105-106.

［責(zé)任編輯：李 璟］