基于數學抽象素養的“橢圓及其標準方程”學習路徑研究

【摘 要】文章結合實踐探索得到了基于數學抽象素養的“橢圓及其標準方程”學習路徑，即發現橢圓截線定義—探索橢圓焦半徑性質—感知橢圓生成過程—表達橢圓軌跡定義—推導橢圓標準方程。該學習路徑凸顯了概念的發生發展過程，使學生從截線定義走向軌跡定義，培養了學生的數學抽象素養。由此得出教學建議，即“橢圓及其標準方程”教學應當聚焦核心問題，帶領學生經歷橢圓上點的幾何特征的探究過程，并將Dandelin雙球模型貫穿始終。

【關鍵詞】數學抽象；橢圓；學習路徑；Dandelin雙球模型

一、問題的提出

“圓錐曲線”是人教A版高中數學教材選擇性必修第一冊第三章的主要內容，涉及橢圓、雙曲線和拋物線等概念。為了形成這些概念，教師需要注意創設情境，從具體事實出發，展現概念的發生發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經歷數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈［1］。而數學概念的形成過程就是數學素養的形成過程，有助于培養學生的數學抽象素養［2］。

相對于傳統以課時為單位的教學過程，單元教學對于發展學生的核心素養具有系統掌握學科知識、凸顯學科結構的整體性、實現學習主體的共生共創的價值功能［3］。然而，“圓錐曲線”在教材中的編排還有待完善，如三種圓錐曲線的情境導入缺乏聯系、概念定義獲得缺乏過程、截線定義缺乏體現等。為此，在單元目標和課時目標明確的情況下，如何從單元整體視角出發，合理規劃“圓錐曲線”的教學顯得尤為重要。

學習路徑刻畫了學生對核心概念的理解由簡單到復雜、由低級到高級的思維過程，不僅能夠促進學生思維水平的提升，也能為教材修訂、教師教學提供科學指導［4］。基于此，本研究一共討論了“橢圓及其標準方程”“雙曲線及其標準方程”“拋物線及其標準方程”三條學習路徑。本文聚焦“橢圓及其標準方程”學習路徑，主要圍繞以下兩個子問題展開。

（1）如何構建學習路徑引領學生經歷橢圓概念的發生發展過程？

（2）如何驗證該學習路徑的有效性？

二、研究設計

（一）研究對象

選取杭州市XJ中學高二年級兩個平行班（分別記為A班和B班）作為實驗班，A班和B班的學生一共94人，按照本研究設計的“圓錐曲線”單元學習路徑展開教學。同時，選取同一所學校高二年級兩個平行班（分別記為C班和D班）作為對照班，C班和D班的學生一共101人，按照人教A版高中數學教材中的“圓錐曲線”學習路徑展開教學。

本研究通過對四個班級的學生進行單元前測，統計各個學生的成績情況，并對其進行單因素方差分析，認為不同班級間不存在顯著性差異。

（二）研究流程

基于數學抽象素養的“圓錐曲線”單元學習路徑研究流程如圖1所示。

（三）問卷設計

1.確立核心目標

理解橢圓、雙曲線和拋物線的概念是“圓錐曲線”單元教學的核心目標，也是后續探究三種曲線性質的重要基礎。為了更好地評估學生是否達成核心目標，本研究將核心目標具體化為理解曲線概念中蘊含的限制條件和理解曲線概念的生成過程。

2.劃分水平層次

在數學學習中，學生對于概念的學習是有不同理解水平的。［5］為此，本研究根據核心目標具體化的兩個方面編制問卷，并針對學生表現劃分不同水平層次，將水平一、水平二、水平三分別賦0分、1分、2分。本文主要介紹橢圓課時后測。

（1）理解曲線概念中蘊含的限制條件

問題1：已知兩定點F1（-5，0），F2（5，0），動點P滿足[PF1]+[PF2]=2a，則當a=7和a=5時，P點的軌跡為（" ）。請通過文字或作圖來說明理由。

A.均為橢圓 " " B.橢圓和一條射線

C.橢圓和一條線段 D.橢圓和一條直線

問題1的水平層次劃分：水平一——不清楚橢圓上點的幾何特征；水平二——能夠大概說出橢圓的概念，但沒有意識到概念中蘊含的限制條件；水平三——能夠準確說出橢圓的概念，并解釋限制條件的合理性。

（2）理解曲線概念的生成過程

問題2：請你回顧一下，我們是怎樣在模型中探索得到橢圓上點的幾何特征的？請借助圖象、文字以及符號描述探索過程。

問題2的水平層次劃分：水平一——不清楚橢圓的兩個定點如何確定；水平二——能夠找到橢圓的兩個定點，但無法借助切線探究橢圓上點的幾何特征；水平三——能夠完整闡述橢圓上點的幾何特征的探索過程。

三、研究結果與分析

（一）學習路徑的設計與實施

1.路徑呈現與任務介紹

為探究得到完善的學習路徑，本研究一共經歷了四次教學設計、兩次教學實踐以及多次教學研討。由于文章篇幅有限，本文只呈現在B班開展的學習路徑（見表1）。

階段一：發現橢圓截線定義。

任務1-1：太陽光線（平行光源）照射放置在光滑桌面上的球會形成不同形狀的影子輪廓，觀察何時投影的形狀為圓形，你可以將光線與球抽象成怎樣的幾何體？

學生可以很自然地想象出當太陽光線豎直照射球時，球在桌面上形成的投影形狀為圓形，因為圓上的點到某一定點的距離為定值?；诖?，教師進一步引導學生抽象出光線豎直照射下的圓柱模型（如圖2）。其中，點P為圓上任意一點，點Q為點P所在光線與球的切點，點F為球與桌面的切點。

任務1-2：當太陽光線不再豎直照射桌面時，影子輪廓是橢圓。那么，橢圓上的點應該滿足怎樣的幾何特征？

學生對橢圓有一定的生活經驗，能自然地想到當太陽光線不再豎直照射桌面時，形成的影子輪廓是橢圓。在此基礎上，教師引導學生進一步思考橢圓上的點應該滿足怎樣的幾何特征。

階段二：探索橢圓焦半徑性質（圓柱背景）。

任務2-1：當太陽光線不豎直照射桌面時，嘗試抽象出新的幾何體。類比前面幾何體，思考當點P運動時，哪些線段的數量關系發生了改變，哪些不變。

為了研究橢圓上點的幾何特征，教師需要引導學生從太陽光線斜射桌面的情境中抽象出數學模型（如圖3）。其中，點P為橢圓上任意一點，點Q為點P所在光線與球的切點，點F為球與桌面的切點。同時，學生應意識到PF和PQ的長度雖然會隨著點P的運動而變化，但兩者的長度始終保持相等。

任務2-2：研究PQ的長度規律容易，還是研究PF的長度規律容易？如何體現PQ的長度變化規律？

教師引導學生理解之所以要研究PQ而不是直接研究PF，是因為點F的位置不好確定，而點Q的位置容易確定。與此同時，為了更直觀地研究PQ的長度變化規律，教師對模型進行簡化，得到圓柱截切體模型（如圖4），并將其制作出來供學生在課堂中進行操作。

任務2-3：（1）測一測：將圓柱截切體模型沿著最短和最長的母線剪開，測量圖形上畫好的母線長度。

（2）猜一猜：觀察測量數據，你能發現什么規律？

（3）驗一驗：通過重新組合裁剪后的兩個模型，你能驗證發現的規律嗎？

通過測一測、猜一猜，學生能夠發現母線間存在的定值規律；而通過驗一驗，學生能夠更直觀地感知所發現的長度規律。這樣的安排不僅保證了學生思維的連貫性，使學生大致清楚整個探究活動的目的，而且拓寬了學生發現規律的視角，有助于發散學生的思維。

以下是測一測、猜一猜環節的課堂實錄片段。

師：你通過觀察測量的母線數據，發現了什么規律？

生：我發現裁剪開的兩個圖形是軸對稱圖形，在其中一個圖形上測量母線長度，在另一個圖形上也存在相等的母線長度。并且，我做了一個表格（見表2），發現每一列的兩條母線相加是一個定值。

此外，驗一驗環節中，學生所感悟的對稱關系也為空間幾何中尋找定值規律做好鋪墊。以下是驗一驗環節的課堂實錄片段。

師：結合剛剛發現的長度規律，你能將手中的兩個模型重新組合來體現長度規律嗎？

生：我發現可以將這兩個圖形重新組合成一個像平行四邊形一樣的曲線圖形，然后每一個豎直方向的兩條母線之和都相等（如圖5）。

師：沒錯，這是一種拼法。不過因為上下兩條邊是曲線，所以規律不容易看出來，有更直觀的拼法嗎？

生：也可以將這兩個圖形重新組合成一個矩形（如圖6），這樣，每一個豎直方向的兩條母線之和一定相等。

任務2-4：根據平面展開時得到的定值規律，在空間立體圖形中是否也存在相同的定值規律？如何體現？

教師引導學生思考如何將平面得到的定值規律應用到空間上，從而引出圓柱Dandelin雙球模型（如圖7）。其中，點Q和點R是點P所在母線與兩個球的切點，點F和點E是兩個球與截面的切點，初步得到橢圓的焦半徑性質。

階段三：探索橢圓焦半徑性質（圓錐背景）。

任務3-1：將平行光源換成點光源照射球，此時球在桌面上留下的影子輪廓是什么形狀？如何抽象出新的幾何體模型？

教師引導學生思考在點光源照射下所形成的投影輪廓是否仍為橢圓，并由此抽象出新的幾何模型（如圖8）。其中，點P為橢圓上任意一點，點Q1為點P所在光線與球的切點，點F1為球與桌面的切點。該任務的開展主要是為了引出圓錐Dandelin雙球模型，這不僅為后續雙曲線和拋物線的情境引入做好鋪墊，也是“圓錐曲線”單元的大情境。

任務3-2：類比平行光源的探究方法，你能根據我們剛才得到的橢圓特征來驗證它是橢圓嗎？

教師引導學生回顧在圓柱情境中探究橢圓上點的幾何特征的方法，將探究方法運用到圓錐情境中，形成圓錐Dandelin雙球模型（如圖9）。其中，點Q1和點Q2是點P所在母線與兩個球的切點，點F1和點F2是兩個球與截面的切點。

階段四：感知橢圓生成過程。

任務4：借助幾何畫板演示平面中由點生成橢圓的過程，并呈現相關線段的長度。

教師借助幾何畫板，動態演示線段PF1和PF2在點P運動過程中的變化規律，并將點到兩個焦點的距離以及距離之和通過數據呈現出來，幫助學生感知橢圓的生成過程，加深對橢圓上點的幾何特征的理解。

階段五：表達橢圓軌跡定義。

任務5：你能否給橢圓下一個定義？這個定義完整了嗎？

教師鼓勵學生用文字語言表達橢圓的軌跡定義，并在引入焦點和焦距等概念后追問學生這個定義是否完整，進而引導學生意識到橢圓上的點與兩個定點F1、F2的距離之和需要大于[F1F2]。與此同時，教師繼續追問，如果小于或等于[F1F2]會發生什么情況，以此加深學生對橢圓定義的理解。

階段六：推導橢圓標準方程。

任務6：建立平面直角坐標系，利用橢圓的軌跡定義推導橢圓的標準方程。

教師鼓勵學生借助橢圓的軌跡定義，推導橢圓的標準方程，引領學生從幾何研究轉化為代數方程的研究，從動態幾何的研究轉化為靜態代數的研究，進一步培養學生的數學抽象素養。

2.存在的問題及修改建議

盡管該學習路徑較好地體現了概念的發生發展過程，但仍存在需要完善的地方。例如，在任務3-2中，教師帶領學生得到圓錐Dandelin雙球模型后，只取了一個點P來證明截面是否為橢圓。盡管學生在課堂中表現良好，但在課時后測中發現，學生對該證明過程的理解并不深刻（課時后測的第二題）。以下是一些典型的錯誤案例（如圖10）。

從圖10（a）可以發現，學生錯將Q1和Q2視為球心，而實際上定值規律的獲得源于切線長定理，即利用的是從點P出發的兩條切線。從圖10（b）可以發現，學生能夠清楚球與截面會形成兩個切點，與圓錐面會形成兩個切點，但并不清楚該如何利用這些點的位置特征。從圖10（c）可以發現，學生對課堂中的證明過程產生了思維定式，認為球與圓錐面的切點必須在某一條母線上。而從圖10（d）可以發現，學生仍不清楚點P的含義。整體而言，學生對橢圓上點的幾何特征的探究過程是模糊的，處于一知半解的狀態。

因此，專家團隊認為，教師在證明定值規律時可以在曲線上多取幾個點（如圖11），避免學生形成思維定式，讓學生了解PQ1和PQ2必須在同一條母線上，而點P是曲線上一點，隨著點P的運動，Q1Q2始終是圓臺的母線，所以保持不變。

（二）實驗班教學效果

如前所述，本研究在A、B班均開展了教學實驗，其中B班所實施的學習路徑彌補了在A班教學時的不足，B班充分聽取了專家團隊的意見，以及參考了A班學生后測問卷情況。因此，本研究通過對A、B班的后測問卷進行定量分析，以此驗證“橢圓及其標準方程”學習路徑的有效性（見表3）。

通過分析實驗班的后測數據發現，B班達到水平三的百分比均高于A班，這表明“橢圓及其標準方程”學習路徑在實驗教學的過程中得到了一定程度的優化，有助于學生加深對橢圓概念的理解，在一定程度上解釋了“橢圓及其標準方程”學習路徑的有效性。

四、結論與建議

（一）結論

為促進學生對橢圓概念的理解并培養學生的數學抽象素養，本研究開展了“橢圓及其標準方程”學習路徑的研究，并最終得到了完善的學習路徑。研究認為，教師應帶領學生經歷橢圓概念的發生發展過程，即發現橢圓截線定義—探索橢圓焦半徑性質—感知橢圓生成過程—表達橢圓軌跡定義—推導橢圓標準方程。整個過程既體現解析幾何研究的核心思想，也有效提升學生的數學抽象素養。

與此同時，通過對實驗班后測數據進行定量分析，認為該學習路徑經過調整得到了一定程度的優化，不僅可以引導學生建立圓和橢圓的聯系，從幾何、代數兩個方面對橢圓概念有更深刻的認識，還能幫助學生在感悟數形結合、類比等數學思想的過程中提升數學抽象素養。

（二）建議

1.“橢圓及其標準方程”的教學應聚焦核心問題

“橢圓及其標準方程”教學的關鍵是帶領學生探究曲線上點的幾何特征，這是后續總結軌跡定義、推導標準方程的基礎。因此，學生在課堂初始就應當清楚本節課要解決的主要問題是什么，即清楚橢圓上的點應該滿足怎樣的幾何特征。

2.“橢圓及其標準方程”的教學可以將Dandelin雙球模型貫穿始終

Dandelin雙球模型在其幾何特征的探索過程中發揮著至關重要的作用，教師可以充分利用Dandelin雙球模型，并將其貫穿課堂始終。但需要注意的是，Dandelin雙球模型的出現應該是循序漸進的。因此，教師可以以太陽光照射情境引入，先帶領學生初步抽象出圓柱Dandelin雙球模型，再過渡到圓錐Dandelin雙球模型，有效降低學生的認知難度，引領學生經歷由易到難的思維提升過程。

3.“橢圓及其標準方程”的教學應帶領學生經歷橢圓上點的幾何特征的探究過程

橢圓的探究過程可以考慮加入動手操作環節，教師帶領學生尋找平面上的定值規律，接著化平為曲，發現空間中的定值規律，即橢圓上點的幾何特征。此外，從平行光源到點光源的轉化不僅有效鞏固了學生對橢圓上點的幾何特征的認識，也為學生探究雙曲線上點的幾何特征做好鋪墊。

參考文獻：

［1］陳鋒，王芳. 基于旦德林雙球模型的橢圓定義教學［J］. 數學教學，2012（4）：5-8，40.

［2］晁豐成. 讓“數學抽象”素養在“概念教學”中落地［J］. 中學數學研究（華南師范大學版），2017（10）：21-23.

［3］熊梅，李洪修. 發展學科核心素養：單元學習的價值、特征和策略［J］. 課程·教材·教法，2018（12）：88-93.

［4］SARAMA J，CLEMENTS D H，BARRETT J，et al. Evaluation of a learning trajectory for length in the early years［J］. ZDM Mathematics Education，2011（43）：667-680.

［5］章勤瓊，陽海林. 基于課程標準的小學數學“學教評一致性”：兼論核心素養的落實與評價［J］. 課程·教材·教法，2022（11）：21-28.

（責任編輯：羅小熒）