分類思想在中學數學教學中的應用研究

摘 要：文章首先概述了分類思想的相關理論知識，包括基本概念、使用原則以及使用步驟；其次探討了中學數學中分類思想的應用，并針對中學數學教學中可能出現的問題提出了相應的解決方案.

關鍵詞：中學數學；分類思想；教學實踐

中圖分類號：G632

文獻標識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）30-0053-03

收稿日期：2024-07-25

作者簡介：陳瑤瑤（2000.8—），女，陜西省榆林人，碩士，從事數學教學研究；

趙院娥（1972.2—），女，陜西省延安人，碩士，副教授，從事數學教學研究.

分類思想是數學學習的一種重要方法，常常通過分類討論來實現.因而，人們也將分類思想稱為“分類討論思想”^［1］.文章在討論分類思想時，側重點是突出發揮分類討論思想的作用.對于近幾年的高考題，很多人覺得題目形式立意新穎，增加了考查學生對數學思想和方法的掌握程度的題型，其中分類思想占有相當大的比例.因此，探究數學思想和數學方法是很有必要的，也是教學中的重中之重.通過分類思想的學習，既能幫助同學們夯實課本知識，又可以訓練他們嚴密的數學思維，提升綜合素質.

1 分類思想的相關理論知識

1.1 分類思想的基本概念

分類思想是一種常用的數學思想方法.在日常的學習中，許多問題的結果并不具有唯一確定性，并且部分題目在求解時不能夠采用統一的格式進行研究.另外還存在部分含參數的試題，如題目已知量采用字母形式表達，然而字母取不同的值能夠影響到問題的求解結果，這時就需要將所研究的全部問題根據題目特點分為幾個獨立的子集，也就是將其轉化為多個小問題進行求解.類似于這樣將問題按不同條件進行歸類，之后對每一類問題進行逐個研究的數學思想，就叫作分類思想^［2］.

1.2 分類思想的使用原則

（1）統一性原則.同一個問題，選取標準不同，分類也就不同.在中學數學解題時我們需要重視分類討論，并且要用統一的分類解題標準來解題，切勿同時使用多種分類方法，導致分類混亂.如，三角形按照角分類時可分為銳角、直角、鈍角.

（2）互斥性原則.解題時需要根據條件先確定討論級別，再確定每級討論的對象與標準，把所討論的對象歸類，既不能重復，也不能漏掉哪個對象.如，有學生把平行四邊形分為菱形和矩形，這是不對的，因為菱形和矩形里邊都包含正方形^［3］.

（3）層次性原則.求解一個分類討論相關問題時，碰到簡單問題僅分類討論一次就行了.當然，也會有一些復雜的問題，需要進行多次分類討論，其主要指討論的數學問題需實施多次分析，直至符合相關要求.

1.3 分類思想的使用步驟

（1）明確討論的對象和動機.遇到題目后我們要分析是對哪一個變量或參數進行分類，這就需要同學們對教材中的概念、公式、性質等都十分熟悉.解題的思路一小部分來自做題積累的經驗，多數來自對基礎知識的熟練程度，基礎知識熟練程度高，看到題目自然而然就想到需要討論什么^［4］.

（2）進行合理分類.應該遵循三大原則：①確定分類的標準，明確討論的對象之后，要對其進行科學而合理地分類；②分類應該沒有遺漏，全面考查每一種情況；③分類應沒有重復.

（3）逐級討論，分級進行.對所分的類別進行逐一討論，對每一類問題都應該詳細討論，逐步求解，各個擊破.

（4）歸納并作出結論.在求解分類討論相關的問題時，最后一定要進行“綜上”，對各種情況進行歸納，檢查分類的完整性.

2 中學數學中分類思想的應用

分類的目的是根據一定標準將研究對象劃分為不同的類別，以達到徹底分類的效果.中學數學教材中涵蓋了大量的分類討論思想，教師應該對數學知識體系中的分類思想進行概括和提煉.

分類思想貫穿中學數學教材的始終.要進行分類思想在數學中的滲透，首先要求對教材要有全面系統的把握，還要從中學開始就不斷循序漸進地滲透，讓學生能熟練地掌握并靈活運用.現以人民教育出版社出版的A版高中數學課本為例，說明分類討論思想在中學數學中的運用.

2.1 分類思想在集合中的應用

“集合”內容在高考數學中往往以一道選擇題的形式出現，但其在高中數學中所占比重不可低估，因為這是同學們進入高中后首次接觸分類思想，也是同學們了解和把握分類思想的關鍵時期.在這一時期，同學們對分類思想的學習情況，將對其以后的學習產生很大的影響.同時，由于分類思想能夠將復雜問題簡單化，所以也成為了很多高中生學習高中數學的首選方法之一.因此，教師要注重分類思想在集合中的運用.

例1 已知集合B=-3，b+1，b²，C=b-3，2b-1，b²+1，若B∩C=-3，求b的值.

分析 關于某個元素屬于另一個包含參數的集合這種題，需要討論這個元素與另一個集合中的哪個元素是相等的，要分情況列出方程來求解.在進行分類討論時，應該特別關注集合中元素的互異性，以確保遵循不重不漏的原則.

解析 因為B∩C=-3，所以-3∈C.

若b-3=-3，則b=0，此時B=0，1，-3，C=-3，-1，1，則B∩C=-3，1，故不適合.若2b-1=-3，則b=-1，此時B=1，0，-3，C=-4，-3，2，B∩C=-3，滿足題意.

若b²+1=-3，此方程無實數解，所以b=-1.

2.2 分類思想在函數中的應用

函數是高中數學最主要的內容，分類思想是解決數學問題時經常使用到的思維方式之一，也被廣泛應用于函數當中，如求函數定義域、求函數解析式、求函數最值、討論函數單調性和奇偶性及導數相關的綜合問題等.列舉典型實例來剖析函數中分類思想的運用，有助于學生深入了解分類思想的基本知識，強化其分類討論意識.

例2 已知函數f（x）=x²-2ax+4，x∈-2，2，求函數f（x）最小值.

分析 定區間內二次函數的單調性與其對稱軸及開口方向有關，該題為動軸定區間問題，其對稱軸為直線x=a，且含參數，對稱軸位置不定，故應分類進行探討.

解析 f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²的圖象開口向上，且對稱軸是直線x=a．

當-2＜a＜2，此時f（x）在-2，2上單調遞減后單調遞增，最小值為f（a）=4-a²；

當a＜-2，此時f（x）在-2，2上單調遞增，函數f（x）最小值為f（-2）=8+4a；

當a＞2，此時f（x）在-2，2上單調遞減，函數f（x）最小值為f（2）=8-4a.

綜上，當a＜-2，函數f（x）最小值為f（-2）=8+4a；當-2＜a＜2，最小值為f（a）=4-a²；當a＞2，函數f（x）最小值為f（2）=8-4a.

2.3 分類思想在解析幾何中的應用

解析幾何在高中數學中占有很大的比重，解析幾何由直線與其位置關系、圓與其位置關系、圓錐曲線與其位置關系組成.

例3 以坐標軸為對稱軸的橢圓，其長軸長是短軸長的2倍，且經過點A（1，0），求橢圓的標準方程.

分析 由橢圓的圖象可得到分類的依據是焦點在橫軸還是縱軸，求橢圓方程的問題時需注意根據焦點的位置設不同方程.

解析 （1）當橢圓的焦點在x軸上時，設它的方程為x²a²+y²b²=1（a＞b＞0）．

因為橢圓的長軸長是短軸長的2倍，

所以2a=2×2b，即a=2b.

則橢圓的標準方程為x²4b²+y²b²=1.

因為橢圓過點A（1，0），所以b²=14，a²=1.

所以橢圓的標準方程為x²+y²1/4=1.

（2）當橢圓的焦點在y軸上時，設它的方程為y²a²+x²b²=1（a＞b＞0）．

因為橢圓的長軸長是短軸長的2倍，

所以2a=2×2b，即a=2b.

則橢圓的標準方程為y²4b²+x²b²=1.

因為橢圓過點A（1，0），所以b²=1，a²=4.

所以橢圓的標準方程為y²4+x²=1.

綜上，橢圓的標準方程為x²+y²1/4=1或y²4+x²=1

3 分類思想在教學中的應對策略

3.1 幫助學生打消對數學思想的畏懼心理

分類思想并不需要像數學公式那樣死記硬背，而是要在解決數學問題的時候，去體會和感受思想方法在其中的妙用.學生剛進入高中就遇到很多需要分類討論的問題，很多同學對分類討論有抗拒感和畏懼感，潛意識認為只要涉及分類討論的問題就一定很難.然而，針對這一問題可從心理與教學兩個層面加以解決.首先是心理上.碰到分類討論中存在的問題，教師應該多鼓勵學生，只要我們找到正確的學習方法，勤加練習，積累做題經驗，此類問題就是十分容易的.其次，在教學中，教師可以先從一些簡單的例題入手講解.

3.2 解決學生如何進行分類的問題

數學題目是千變萬化的，修改一個參數、一個數字，題目的解法和答案可能與原來大相徑庭.學生在解分類討論相關題目時，存在的困難基本上都是不知道如何分類，不清楚分類對象是什么，分類范圍有時候不全面，有時候又重復.方法才是解決問題的關鍵.學生要學會如何分類以及如何分好類掌握分類思想的原則，仔細分析題目中的信息，才能更合理地分好類.

3.3 在教學過程中貫穿分類思想方法

在當前教育現狀中，教師受應試教育影響較大，教學缺乏針對性和合理性.有些教師只是就題論題，只關注知識本身的講解，沒有形成對應的方法.教師應重視分類思想在數學教學過程中的滲透，重視對學生分類思想的培養.教師不能把學習中的問題只歸咎于學生，自身應強化分類討論意識，并不斷改善其教學方式，在教學過程中貫穿分類思想方法.

4 結束語

分類討論是考慮問題在每種條件下產生的不同結果的一種數學思想.提取問題信息后，留下正確答案，丟棄不恰當的答案，最終得到綜合答案.分類討論思想通過將復雜問題分解為幾個更小、更簡單的問題來降低解決復雜問題的難度，這樣就可以更輕松地處理復雜的問題.數學分類討論思想無處不在，不只是在數學學習中，還滲透在生活和工作的方方面面.因此，分類思想的培養對于高中生來說尤為重要.

參考文獻：

［1］ 胡琳玲.對中考復習中數學思想方法教學的探究：以分類討論思想為例［J］.數理化解題研究，2022（29）：14-16．

［2］ 劉鵬.分類討論思想在高中數學中的應用現狀與研究［D］.洛陽：洛陽師范學院，2022．

［3］ 彭恩.分類討論思想在高中數學中的研究與應用［D］.信陽：信陽師范學院，2017．

［4］ 馬宗華.解析高中數學教學中的分類討論思想［D］.濟南：山東師范大學，2017．

［責任編輯：李 璟］