初中數學幾何題解題障礙的突破方法探究

【摘要】幾何題目以“抽象、復雜”著稱，對學生的空間想象、邏輯思維要求比較高，致使學生在解題中常常面臨諸多障礙，難以形成明確的解題思路.鑒于此，教師作為課堂教學活動者的設計者，可指導學生從多元角度出發，突破解題中面臨的困境.文章立足于此，結合解題實踐，從輔助線、逆向思維、平移法、構造法等角度出發，對幾何題解題策略展開探究，旨在提升學生解題能力，幫助其順利突破幾何題解題障礙.

【關鍵詞】初中生；幾何；解題障礙；解題策略

在整個初中數學課程體系中，主要包括代數和幾何兩大部分.其中，代數部分主要圍繞數和數之間的關系展開研究，對學生的運算能力要求比較高；幾何部分則以圖形的空間結構和性質作為主要研究對象，對學生的空間想象、邏輯思維等都提出了較高的要求.就目前而言，在初中數學考試題目中，幾何題占據十分重要的地位，并且題目尤為靈活，涉及的知識面比較廣，致使部分學生在解題時面臨著無從下手等現象，不僅影響了學生的解題正確率，也制約了學生解題的積極性和自信心.鑒于此，初中數學教師在組織和開展課堂教學時，應從多個角度展開訓練，使得學生在針對性的指導中，掌握一定的解題技巧，順利突破幾何題解題障礙.

一、基于輔助線突破解題障礙

在解決幾何問題時，學生常常發現單純依靠題目中所給出的條件無法解答問題.面對這類困境，教師在指導學生解決問題時，即可通過添加輔助線的方式，在原有題目條件的基礎上構建新圖形，并由此產生新的解題條件，進而實現“柳暗花明又一村”，使得學生順利突破解題中的障礙.

例1 如圖1所示，已知四邊形ABDC中，AB=AC，BD=CD，過D作DE⊥AB的延長線于E，DF⊥AC的延長線于F，求證DE=DF.

解析：按照常規的思路，要想證明DE=DF，必須證明出△DBE≌△DCF，但是在本題目中并未給出相關的條件，致使學生這一解題思路受到限制.鑒于此，教師在引領學生進行解題時，即可采用添加輔助線的方式，結合本題特點，連接對角線AD，構造三角形，并以此打開證明的“突破口”.

證明：連接AD，因為AB=AC，BD=CD，AD=AD，

所以△ABD≌△ACD，

所以∠FAD=∠EAD，

所以AD為∠EAF的平分線，

根據角平分線性質可得DE=DF.

例2 如圖2所示，已知E，F分別是線段BC，AD的中點，且AB=CD，射線BA，EF相交于G點，射線CD，EF相交于H點，求證∠BGE=∠CHE.

解析：這一題目難度系數比較高，并且在題目中給出了一個特殊的條件———中點.針對這一類型的問題，當學生面臨解題障礙時，教師即可利用中點構建輔助線的方式，構建出新的關系和條件，進而完成題目的順利解答.就本題目而言，由于出現了E，F兩個中點，即可采用中點型輔助線，連接AC，并于AC上取中點P，最終在原來圖形的基礎上構造出新的三角形，并由此展開證明.

證明：連接AC，并于AC上取中點P，連接PE，PF.

因為PE∥AB，所以∠BGE=∠PEF；

同理，因為PF∥CD，

所以∠CHE=∠PFE，

所以∠BGE=∠CHE.

二、基于逆向思維突破解題障礙

在解決幾何問題中，針對部分難度系數比較高的問題，常規的正向解題思維常常會受到阻礙，致使學生逐漸陷入解題困境之中.面對這一現狀，教師在引領學生進行解題時，即可帶領學生轉化思考的角度，以對立面作為起點進行逆推，使得學生在“從結果出發”的反其道而行之的解題路徑中，高效完成題目的解答.

例3 如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，P為△ABC內部一點，且∠PAB>∠PAC，求證∠APB<∠APC.

解析：針對這一幾何題目來說，常規解題思維常常會受到限制，致使學生進入解題困境.鑒于此，教師在指導學生進行證明時，即可從逆向思維切入，使得學生從題干中要證明的結論開始進行逆推.若最終證明得出的結論和給出命題之間出現矛盾，則說明該結論是不正確的.就本題目而言，屬于典型的不等量問題，當學生正面解題思路受限時，可從逆向的角度出發，從∠APB<∠APC的對立面出發，假設∠APB≥∠APC，并由此開展解答.

證明：假設∠APB≥∠APC.

因為AB=AC，∠PAB>∠PAC，

所以∠PAB+∠APB>∠PAC+∠APC，

則∠ABP<∠ACP.

因為AB=AC，∠ABC=∠ACB，

所以∠PBC>∠PCB，PC>PB.

在△APB，△APC中，AB=AC，AP=AP，PC>PB，

因此∠PAB<∠PAC，這和題目中所給出的已知條件相矛盾，因此假設不成立，則∠APB<∠APC.

三、基于平移法突破解題障礙

在解答初中幾何問題中，平移法尤為重要.通常，學生在解答幾何問題時，可結合解題的需要，針對整個圖形、圓、角、直線或者線段展開平移，進而改變整個圖形的位置，在平移的過程中突破解題的障礙點，進而完成題目的順利解答.

例4 如圖4所示，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AD

解析：在解答本題目中，學生通過觀察即可發現∠B，∠C之間距離比較遠，根據題目中已知條件，無法進行計算，難以得出兩者之間的關系.鑒于此，教師在指導學生解答題目時，即可采用平移的方法，降低解題難度.就本題目而言，即可通過平移AB的方式，將∠B，∠C置于同一個三角形中，進而完成題目的證明.

解：因為AB=CD，AD∥BC，AD

因此，將AB進行平移，使其至DE，

即DE=AB，DE∥AB.

所以∠DEC=∠B.

又因為DE=DC，所以∠DEC=∠C.

即∠B=∠C.

四、基于構造法突破解題障礙

在初中幾何解題中，構造法尤為常見.與其他的解題模式相比，構造法屬于一種非常規的解題思維模式，就是根據題干中的信息，構造出合適的對象，最終通過有效的解題步驟進行解題.經解題實踐證明，科學、合理融入構造法，可將題目中的未知條件轉變為已知條件，將隱藏的條件可視化，將抽象問題具體化，將繁雜題目簡答化，最終促使學生高效完成題目的解答，并從中產生強大的解題自信和動機.

例6 求sin15°，cos15°，tan15°的值.

解析：針對這一類型的問題，學生在直接求值時常常面臨著較大的困難.鑒于此，教師在指導學生解決這一問題時，即可采用構造法的方式，將其置于一個直角三角形中，進而完成題目的高效解答.

解：如圖6所示，現構造出Rt△ABC.

令∠BAC=30°，∠C=90°.

延長CA至D點，使得AD=AB，連接BD.

如此又形成了一個大的Rt△BCD.

經計算可得出∠D=15°.

例7 在△ABC中，AB=6，∠ACB=45°，求S△ABC的最大值.

解析：就本題目而言，所給出的已知條件比較少，給學生的解題增加了極大的難度.通常，針對這一類型的問題，教師在指導學生進行求解時，即可通過構造輔助圓的方式.就本題目而言，即可根據這一思路，作△ABC的外接圓☉O，過C點作CM⊥AB于M點，之后將本題目進行轉化，引導學生結合圓的相關知識點進行解答.

解：作△ABC的外接圓☉O，過C點作CM⊥AB于M點，如圖7所示.

五、初中數學幾何多元解題教學啟示

鑒于初中數學幾何題目的特點，在對其進行解答時，教師應追求自然、簡潔、美妙，結合不同的題目類型，選擇針對性的解題方法.鑒于此，教師作為解題教學活動的組織者、設計者，必須更新傳統的解題教學模式，立足于教材內容，科學合理地設計教學活動，使得學生在多樣化的解題教學中，掌握解題技巧、形成解題思路.

一方面，以“教”為中心.教師在多元解題教學中，面臨的首要問題就是激發學生的學習興趣，強化學生的空間思維能力，使學生在教師的引導下，由淺入深，逐漸進入解題技巧的探究中.同時，教師還應引領學生找到解題的規律，引領學生在探究、總結和歸納中，明確不同解題方法的使用范圍、使用方法等，使得學生在面對題目時，能夠迅速找到對應的解題思路.

另一方面，以“練”為鞏固.為了真正提升初中生的幾何題解題能力，教師在日常教學中，還應堅持“理論聯系實際”的原則，不僅要深化學生的理論知識，還應為學生甄選典型的題目，強化學生的實踐訓練，使得學生在實踐中內化解題技巧，深化解題思維.

結 語

綜上所述，幾何作為初中數學的重要組成，題目極具邏輯性和抽象性，對學生的理論知識掌握情況、思維發展水平等，都提出了較高的要求.同時，鑒于當前幾何題目考查的特點給學生的解題帶來了極大的困難.針對這一現象，初中數學教師在開展課堂教學時，不僅僅要從思想觀念上重視幾何題解題教學，還應立足于學生在當前幾何題解題中面臨的障礙和困境，從多個角度出發，從輔助線、逆向思維、平移法、構造法等方面展開訓練，使得學生在多元化的解題訓練中，逐漸提升自身的解題能力.

【參考文獻】

[1]陸軍.初中數學幾何題的解題方法[J].數理天地（初中版），2023（21）：28-29.

[2]李琴霞.幾何構造法在初中數學解題過程中的妙用[J].中學數學，2023（20）：67-68.

[3]陳錦鋼.運用幾何變換，巧解初中幾何問題[J].數理天地（初中版），2023（19）：24-25.

[4]王琪瓊.借助多元解題技巧，突破初中數學幾何題解題障礙[J].數理天地（初中版），2023（19）：30-32.

[5]王雪.“構造輔助圓”在初中數學解題中的靈活運用[J].中學數學，2023（18）：73-74.

[6]孫良振.初中數學“作輔助線求幾何最值”法的運用[J].現代中學生（初中版），2023（10）：11-12.