基于數(shù)學(xué)本質(zhì) 設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)路徑 建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程就是為學(xué)生的學(xué)服務(wù)的.如何引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是每個(gè)數(shù)學(xué)教師需要深思熟慮的重要課題.倘若教師能基于數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成知識(shí)生長(zhǎng)的一般觀念，則可以把握教學(xué)方向，設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)有利的路徑，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的過(guò)程，無(wú)痕建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)有的放矢.下面，筆者以“有理數(shù)的乘法”教學(xué)為例具體闡述，以饗讀者.

1 課前慎思

本節(jié)課作為一節(jié)概念課，著重引導(dǎo)學(xué)生掌握有理數(shù)乘法法則，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)主要是如何厘清“負(fù)負(fù)得正”，從而明晰有理數(shù)乘法的意義.作為老教師，我們深知本節(jié)課在教學(xué)上是存在一定難度的，主要體現(xiàn)在：其一，通過(guò)數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生逐步理解其現(xiàn)實(shí)意義在情境創(chuàng)設(shè)上有一定的難度，需要慎重考慮；其二，有理數(shù)乘法中的“負(fù)負(fù)得正”無(wú)法像加減法一樣直觀揭示，需要給予它客觀實(shí)踐的現(xiàn)實(shí)背景即數(shù)學(xué)學(xué)科本身發(fā)展的思想背景，才能引導(dǎo)學(xué)生循著知識(shí)發(fā)展的視角感知它的發(fā)生和發(fā)展，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu).因此，在教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，作學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生在直觀感知和深度探究中總結(jié)和提煉法則，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 以舊知復(fù)習(xí)為起點(diǎn)，巧妙導(dǎo)入

師：同學(xué)們，我們來(lái)個(gè)小競(jìng)賽，看誰(shuí)回答得既對(duì)又快！準(zhǔn)備好了嗎？

生（興奮地）：準(zhǔn)備好了！

師展示題目，如下：

（1）（+3）+（+2）=？

（2）（－3）+（+2）=？

（3）（+3）+（－2）=？

（4）（－3）+（－2）=？

（5）（－3）+0=？

學(xué)生根據(jù)題目快速說(shuō)出答案.

師：非常棒！接下來(lái)，我們提高難度，比誰(shuí)說(shuō)得既正確又簡(jiǎn)潔.第一問(wèn)，你覺(jué)得有理數(shù)加減的關(guān)鍵是什么？

生1：關(guān)鍵是正負(fù)號(hào)的處理.

師：很好.第二問(wèn)，與小學(xué)的加減運(yùn)算相比較，最大的不同之處是什么？

生2：小學(xué)時(shí)我們只學(xué)了正數(shù)的加減，現(xiàn)在有理數(shù)包括了正數(shù)、負(fù)數(shù)和0，所以運(yùn)算時(shí)要特別注意正負(fù)號(hào)的影響.

師：非常準(zhǔn)確.第三問(wèn)，加減法已經(jīng)完成了從數(shù)到有理數(shù)的擴(kuò)充，那乘法呢？也可以擴(kuò)充嗎？

生3：我認(rèn)為可以.

師：那請(qǐng)談?wù)勀憷斫獾臄U(kuò)充后的有理數(shù)乘法運(yùn)算.

生3：有理數(shù)乘法包括正數(shù)與正數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)與正數(shù)的乘法.

師：生3解釋得非常清晰.那么，接下來(lái)我們就一起深入探討有理數(shù)乘法的奧秘吧！

教學(xué)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)通過(guò)復(fù)習(xí)舊知引導(dǎo)學(xué)生在回顧和總結(jié)中類比遷移，從而水到渠成地引出課題.課始學(xué)生就興趣盎然地展開(kāi)學(xué)習(xí)，積極性較高.

2.2 以生活問(wèn)題為載體，引發(fā)探究

師：國(guó)慶節(jié)將至，一般來(lái)說(shuō)我們的國(guó)慶節(jié)法定假期是幾天？

生（快速回答）：7天.

師：是的，但事實(shí)上，有不少工作崗位在法定假日是沒(méi)辦法調(diào)休的.假如小紅媽媽為了國(guó)慶假期可以陪伴小紅而選擇調(diào)休，且小紅媽媽單位的崗位每日收入約200元，那么國(guó)慶長(zhǎng)假過(guò)后，小紅媽媽與單位同事的收入情況會(huì)如何？請(qǐng)?jiān)囍顚懕?，用已學(xué)正負(fù)數(shù)表示他們的收入情況.

生（思考交流后回答）：將每日收入200元記作“+200元”，將工作7日記作“+7日”，則有（+200）×（+7）=+1 400，也表示收入增加了1 400元；同樣，將調(diào)休7日記作“－7日”，則有（+200）×（－7）=－1 400，也表示少收入了1 400元.

師（追問(wèn)）：作為學(xué)生的你們，并沒(méi)有收入，而且在這種長(zhǎng)假常常會(huì)結(jié)伴出游.若每日游玩花費(fèi)50元，可以將兩種不同情況的花費(fèi)用正負(fù)數(shù)表示嗎？請(qǐng)?zhí)顚懕?.

生（探討交流后回答）：將每日花費(fèi)50元記作“－50元”，將多玩7日記作“+7日”，則有（－50）×（+7）=－350元；同樣，將少玩7日記作“－7日”，則有（－50）×（－7）=+350元.

教學(xué)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)，溝通學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，引導(dǎo)學(xué)生在感知有理數(shù)乘法的各種情況及結(jié)果的同時(shí)，自然而然生成“負(fù)負(fù)得正”的思考.

2.3 以多元表征為過(guò)程，有效概括

師：從上述探究中，我們發(fā)現(xiàn)“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”的結(jié)果是什么？

生：正數(shù).

師：為什么是正數(shù)？你能試著解釋嗎？

生（思考后嘗試解釋）：每個(gè)學(xué)生都有不同的假期游玩計(jì)劃，從而可能得出（－50）×（+7）=－350，（－50）×（+6）=－300，……，（－50）×0=0.從這些變化可以發(fā)現(xiàn)每減少1天，積就隨之增加50，從而得出（－50）×（－1）=+50……

師（追問(wèn)）：還有其他不同的解釋嗎？請(qǐng)大家大膽舉手說(shuō)一說(shuō).

生1：（+200）×（－7）中，可將（－7）看作（0－7），則（+200）×（0－7）=（+200）×0-（+200）×7=0－1400=－1 400.

生2：可以通過(guò)圖1所示的數(shù)軸生動(dòng)形象地說(shuō)明（－50）×（－7）=+350.

生3：為什么從點(diǎn)0處開(kāi)始移動(dòng)，而不是“－50”處？

生2：因?yàn)閿?shù)軸上的“－50”所表示的是0朝著“－50”移動(dòng)的距離，若從“－50”處開(kāi)始，那表示的就不是（－50）×（－7）.

師（總結(jié)）：倘若用有向線段表示“－50”，那么（－50）×（+7）就是將有向線段延長(zhǎng)至7倍，而（－50）×（－7）就是將有向線段反向延長(zhǎng)至7倍.如圖1.

教師接著提出“請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示（+2）×（+3），（+2）×（－3），（－2）×（+3），（－2）×（－3）和（－2）×0的結(jié)果”，并要求學(xué)生觀察各式后，回答如下問(wèn)題：正數(shù)乘正數(shù)的積是什么數(shù)？負(fù)數(shù)乘正數(shù)的積是什么數(shù)？正數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是什么數(shù)？負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是什么數(shù)？學(xué)生一一回答問(wèn)題后，教師和學(xué)生一起歸納有理數(shù)乘法法則.

教學(xué)說(shuō)明：本活動(dòng)，先讓學(xué)生在多元表征中理解“負(fù)負(fù)得正”.進(jìn)一步，通過(guò)有向線段、有向運(yùn)動(dòng)等直觀模型動(dòng)態(tài)表征，從而使得“負(fù)負(fù)得正”生成自然而輕松.就這樣，在新舊知識(shí)溝通和數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中切實(shí)領(lǐng)悟運(yùn)算中的奧秘，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.4 以法則運(yùn)用為歸宿，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

教師布置以下問(wèn)題，要求學(xué)生基于歸納得到的法則進(jìn)行計(jì)算：

學(xué)生獨(dú)立完成，教師來(lái)回巡視，最后請(qǐng)學(xué)生代表板演.此時(shí)，有學(xué)生提出質(zhì)疑：若是多個(gè)有理數(shù)的乘法，且其中有一個(gè)因數(shù)是0，積又是多少？當(dāng)沒(méi)有0因數(shù)時(shí)，該如何確定積的符號(hào)？教師充分肯定了該生的問(wèn)題意識(shí)，并給出提出了高品質(zhì)問(wèn)題的高度評(píng)價(jià)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生合作交流來(lái)解決問(wèn)題.

教學(xué)說(shuō)明：用練習(xí)題的方式來(lái)鞏固所學(xué)和拓展提升，可以讓每個(gè)學(xué)生擁有理性思考和互動(dòng)交流的機(jī)會(huì)，使得枯燥的計(jì)算靈動(dòng)起來(lái).這里，學(xué)生的質(zhì)疑問(wèn)難就是思維進(jìn)階和學(xué)力提升的最好體現(xiàn)，這種既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林的設(shè)計(jì)方式極好地促進(jìn)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，提高了學(xué)生的思維品質(zhì).

2.5 以再探設(shè)疑為導(dǎo)向，提升思維

教師布置思考作業(yè)：

（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)有理數(shù)乘法有了怎樣新的認(rèn)識(shí)？

（2）根據(jù)有理數(shù)乘法的學(xué)習(xí)，你將如何學(xué)習(xí)有理數(shù)除法、有理數(shù)乘方呢？

教學(xué)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)著力于學(xué)生已有知識(shí)的積累沉淀，幫助學(xué)生規(guī)劃未知學(xué)習(xí)的思維路徑，引導(dǎo)學(xué)生自我反思、自我探究，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)衍生和能力的提高.

3 教學(xué)反思

強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的實(shí)際背景，并從關(guān)聯(lián)處切入，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，并能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)概念和方法解決生活中的問(wèn)題.

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，基于知識(shí)的本質(zhì)探尋知識(shí)間的聯(lián)系，更加有利于學(xué)生清晰理解和掌握所學(xué)，豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).在本課中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)、生成、聯(lián)系，找到問(wèn)題的本質(zhì)，助推學(xué)生從認(rèn)識(shí)到理解再到應(yīng)用.

總之，在教學(xué)中，教師要基于數(shù)學(xué)本質(zhì)，有意識(shí)地設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，引導(dǎo)學(xué)生在深度思考、深度探究、深度合作、深度反思中自主建構(gòu)知識(shí)，促成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，提升學(xué)科素養(yǎng).