新課標(biāo)下的立體幾何備考建議

1 課程標(biāo)準(zhǔn)中該模塊知識的解讀

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于該模塊知識的闡述：立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系.

（1）本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生以長方體為載體，認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；

（2）用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證；

（3）了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；

（4）運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念.

該模塊知識的主要內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、幾何學(xué)的發(fā)展等.

2 新課標(biāo)下考題特點(diǎn)

2.1 考點(diǎn)覆蓋全面，題型一應(yīng)俱全

無論是新課標(biāo)卷還是全國卷，選擇題、填空題一般不會給出圖形.這就要求學(xué)生需要具備讀題畫圖的能力和空間想象能力.

2.2 知識重復(fù)考查，問題背景新穎

新課標(biāo)卷中的小題基本上都是關(guān)于幾何體的表面積、體積等問題，從不避諱，不怕重復(fù)，需要特別注意；立體幾何試題體現(xiàn)了“大穩(wěn)定、小創(chuàng)新”的設(shè)計理念，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，關(guān)注對考生文化素養(yǎng)的考查.

2.3 大題考查全面，重點(diǎn)難點(diǎn)突出

新課標(biāo)Ⅰ、Ⅱ卷對立體幾何大題（解答題）的考查角度基本一致，前一問主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，將平行、垂直關(guān)系作為考查的重點(diǎn)，后一問往往考查空間角的計算，屬于中等難度.

2.4 知識融匯貫通，情境新穎多樣

近年來，高考試題不斷創(chuàng)新，從“小題”到“大題”新課標(biāo)卷立體幾何題越來越靈活，融合了課程學(xué)習(xí)、探索創(chuàng)新、生活實踐等情境問題，對學(xué)生的批判性思維能力、閱讀理解能力、信息整理能力、語言表達(dá)能力提出了更高要求.

3 新形勢下考查重點(diǎn)

3.1 直觀想象——空間幾何體的表面積或體積

空間幾何體的表面積和體積的考查實質(zhì)要明確空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能進(jìn)一步度量和計算長度、表面積、體積等.解決此類問題的常見方法有分割法、補(bǔ)體法、還臺為錐法、等積變換法（如求三棱錐的體積可靈活變換頂點(diǎn)與底面）等，它們是計算一些不規(guī)則幾何體的體積的常用方法.

3.2 數(shù)學(xué)模型——球的切、接及截面問題

熟悉基本的空間立體幾何模型是解決球的切、接及截面等問題的基石.而掌握基本的解題方法是解決問題的關(guān)鍵.

（1）空間幾何體的外接球問題

該問題的關(guān)鍵是確定球心位置，主要方法有：①將幾何體還原或補(bǔ)為正方體或長方體，進(jìn)而確定球心（補(bǔ)形找心）；②幾何體的外接球球心一定在過底面的外心與底面垂直的直線上（垂線找心）；③球心到各頂點(diǎn)的距離都相等（定義找心）；④球心一定在外接球的直徑上.

求解幾何體外接球的半徑主要是根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑R、截面圓的半徑r及球心到截面圓的距離d三者的關(guān)系R²=r²+d²解決問題.該關(guān)系使用頻率非常高，考生一定要重視.

（2）幾種特殊多面體的外接球和內(nèi)切球問題

該問題的場景主要包括長方體、正方體、正三棱柱，對棱相等的三棱錐，四個面都是直角三角形的三棱錐，三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐以及正四面體等.

（3）解決立體幾何截面問題的策略

①坐標(biāo)法：將幾何問題轉(zhuǎn)化為一種代數(shù)運(yùn)算.

②基底法：以平面向量及空間向量基本定理作為依托.

③幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)定理與判定定理，以及平面幾何中相關(guān)定理、結(jié)論，通過論證，精準(zhǔn)找到該截面與相關(guān)線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過三點(diǎn)的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

3.3 數(shù)學(xué)運(yùn)算——空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

（1）立體幾何解答題考查的知識點(diǎn)基本固定

立體幾何是高考解答題必考題型之一，第一問一般可通過傳統(tǒng)法解決，常考平行和垂直關(guān)系，或者體積、表面積問題；第二問一般通過建系解決，常涉及到線面角、二面角的求解，或者已知線面角、面面角求參數(shù)，其中法向量是考查的重點(diǎn).

立體幾何解答題的難度以中檔題居多，難題偏少，需重點(diǎn)備考，力爭得滿分.

（2）向量法是解決立體幾何解答題的主要方法

這里的難點(diǎn)在于涉及一些比較困難建立空間直角坐標(biāo)系的問題，如垂直關(guān)系不明確，線段長度不明確等場景.同時還要重視基向量法的應(yīng)用等.

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，一定要準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)

常用到的方法：①射影法（經(jīng)常用）；②公式法（中點(diǎn)坐標(biāo)公式、重心坐標(biāo)公式等）；③向量法（利用平行、垂直關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形法則或平行四邊形法則求坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線設(shè)坐標(biāo)）；④幾何法（把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，常見于利用相似三角形的性質(zhì)）；⑤待定系數(shù)法（設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)）;等等.

（4）求解空間距離問題

距離問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的很好的載體.主要解題方法有兩種：①幾何法.找垂足求線段長、等面積法、等體積法等.②向量法.注意向量場景下兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線距離公式以及點(diǎn)到平面距離公式等.

3.4 邏輯推理——幾何法在立體幾何中的應(yīng)用

（1）熟練掌握點(diǎn)線面的位置關(guān)系.

（2）熟練掌握線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.

（3）作輔助線找空間角、距離等.

（4）用規(guī)范的符號語言描述解題思路，避免歧義.

4 新課標(biāo)下備考建議

4.1 回歸教材，建立完整的知識體系

（1）熟悉教材，抓住知識點(diǎn)的聯(lián)系

教材是落實數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，也是歷年高考命題的重要素材.所以，教材是高考復(fù)習(xí)的重要依托.

（2）教材中見高考真題的“影子”

如截面問題，一直是高考中命題的一個重要方向，其往往來源于教材.

例1如圖1所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′.

（ⅰ）要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該樣畫線？

（ⅱ）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？

新形勢下空間幾何體中截面的命題通常源于教材，以教材本源為場景，融入相應(yīng)的知識與應(yīng)用，突出對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、截面的概念與形狀等層面的考查.教材“影子”的作用是無窮的，培養(yǎng)考生空間想象能力與直觀想象素養(yǎng)，幫助考生合理構(gòu)建對應(yīng)的概念與相關(guān)的知識網(wǎng)絡(luò)，理解與掌握空間幾何體基礎(chǔ)知識，全面夯實基礎(chǔ).

4.2 研究真題，把握高考的命題導(dǎo)向

高考真題往往以必備知識來設(shè)置探索創(chuàng)新情境，其正確運(yùn)算必須基于空間想象，同時必須依靠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚@樣才能發(fā)現(xiàn)空間幾何體中相關(guān)量之間的關(guān)系，進(jìn)而完成對應(yīng)問題的分析與求解.

例2在三棱錐P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA－CB=2，且PC⊥AB，則二面角P-AB-C的余弦值的最小值為（）.

解析過程略.答案為：A.

在實際解析過程中，可通過“裁剪”展開降維策略，基于立體幾何中空間角的構(gòu)建，合理解決空間幾何體中不同平面內(nèi)的點(diǎn)的性質(zhì)的“三維”問題：也可通過轉(zhuǎn)化展開降維策略，回歸到平面解析幾何的“二維”問題，利用平面解析幾何中橢圓、雙曲線的定義與方程來轉(zhuǎn)化.由“三維”問題，從不同視角轉(zhuǎn)化為“二維”問題，實現(xiàn)問題的降維處理.

4.3 夯實基礎(chǔ)，提升高考的應(yīng)對能力

（1）理解并記憶空間幾何體涉及到的公式、公理、性質(zhì)定理與判定定理，并熟練掌握每一個公理或定理的作用.

（2）學(xué)會畫圖，能夠構(gòu)建符合題目要求的圖形，以便快速找到內(nèi)在聯(lián)系.高考題在這部分的考查基本上是2～3個小題，而且大多數(shù)沒有圖形，因此快速畫出符合題目要求的圖形顯得尤為重要.這就要求學(xué)生不僅要學(xué)會畫圖，而且要對常見的圖形具有的性質(zhì)做到“了如指掌”.

（3）熟練掌握基本模型（切接模型、正方體模型、長方體模型、在長方體的8個頂點(diǎn)中任取四個構(gòu)成的三棱錐模型、外接球模型等）.

（4）掌握處理垂直、平行問題的一般方法，特別是作輔助線的方法.

（5）掌握空間角的基本概念，能利用幾何法（定義法）處理簡單的空間角問題.

（6）掌握利用向量法解決空間幾何體問題的一般方法和書寫格式，注意解三角形與平面幾何知識在解題中的應(yīng)用等.

4.4 抓住本質(zhì)，培養(yǎng)解決問題的關(guān)鍵能力

在實際解題與應(yīng)用過程中，鼓勵學(xué)生靈活選擇向量方法與幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題，引導(dǎo)多維思考，凸顯問題本質(zhì)，提升學(xué)生問題解決的關(guān)鍵能力.