換元突破一道二元最值強(qiáng)基題

摘 要：“換元”是高中數(shù)學(xué)解題中一種常用的思維方法，其核心是等量代換.在強(qiáng)基測(cè)試中，二元條件最值問(wèn)題因其形式變化多、綜合性強(qiáng)，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，一直備受強(qiáng)基命題者的青睞，而換元法則是求解這類(lèi)問(wèn)題的最為常用且有效的方法之一.

關(guān)鍵詞：換元；突破；二元；最值

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）01-0052-03

收稿日期：2024-10-05

作者簡(jiǎn)介：王怡凡，本科，二級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

下面從幾個(gè)不同的“換元”視角來(lái)求解一道清華強(qiáng)基題，說(shuō)明幾種常見(jiàn)的換元法在解題中的應(yīng)用.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （清華大學(xué)2024年自強(qiáng)計(jì)劃筆試第1題）已知x，ygt;0，（x+y+xy）（x+y-xy）=xy，求x+y+xy和x+y-xy的最小值.

3 結(jié)束語(yǔ)

以上對(duì)一道二元代數(shù)式的條件最值強(qiáng)基試題從五個(gè)不同的“換元”視角進(jìn)行了求解，可以說(shuō)換元法是求解這類(lèi)問(wèn)題的最有效方法.通過(guò)“換元”，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新的形式，換一個(gè)角度來(lái)看待問(wèn)題；通過(guò)“換元”，可以抓住“牛鼻子”，解決核心問(wèn)題.相比于“消元”，“換元”更貼近實(shí)用操作，在數(shù)學(xué)解題中有很強(qiáng)的存在性，它幾乎滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)中.當(dāng)然，“換元”不是憑空產(chǎn)生的，而是通過(guò)洞察、分析試題的結(jié)構(gòu)特征，然后抓住其特征進(jìn)行“換元”.而且所有的“換元”思路其實(shí)都是基于兩者：一是知識(shí)的儲(chǔ)備，二是對(duì)試題幾個(gè)特征的觀察. 運(yùn)用換元法解答問(wèn)題要有利于簡(jiǎn)化計(jì)算，同時(shí)注意換元后要關(guān)注新“元”的取值范圍，依據(jù)并結(jié)合原來(lái)“元”的取值范圍來(lái)確定，一定要使新“元”的取值范圍對(duì)應(yīng)于原來(lái)“元”的取值范圍，既不能縮小也不能擴(kuò)大［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 尹承利，范正和.換元法在求解二元最值問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.理科考試研究，2019（01）：14-16.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］