例談反比例函數綜合問題的解題技巧

【摘要】反比例函數是初中數學的重要內容之一，反比例函數綜合問題常常涉及多個知識點，具有一定的難度.本文通過具體實例，分析反比例函數綜合問題的解題技巧，包括反比例函數與三角形面積的綜合問題、與反比例函數有關的遞推問題等，以幫助學生更好地掌握反比例函數綜合問題的解題方法.

【關鍵詞】反比例函數；初中數學；解題技巧

反比例函數是一種重要的函數類型，在初中數學中占有重要地位．反比例函數綜合問題涵蓋的知識點較多，對學生的綜合運用能力要求較高.因此，掌握反比例函數綜合問題的解題技巧，對于提高學生的數學成績和解決實際問題的能力具有重要意義.

1" 反比例函數與三角形面積的綜合問題

例1" 如圖1，反比例函數y=kxkgt;0與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，OA=4，OC=8，連接OD，OE，DE，記△OAD、△OCE的面積分別為S1、S2．若S1+S2=8，則△ODE的面積為（" ）

圖1

（A）12．" （B）15．

（C）83．" （D）30．

解析" 因為四邊形OABC是長方形，OA=4，OC=8，

所以∠BAO=∠BCO=∠B=90°，

BC=OA=4，AB=OC=8，

所以BA⊥y軸，BC⊥x軸，

因為反比例函數y=kxkgt;0與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，△OAD、△OCE的面積分別為S1、S2，

S1+S2=8，

所以S1=12AD·AO=12k，

S2=12CO·EC=12k，

所以12k+12k=8，

解得k=8，

所以12AD·AO=S1=4，

12CO·EC=S2=4，

即S1=4，S2=4，

所以12×4×AD=12×8，

12×8×EC=12×8，

所以AD=2，EC=1，

所以BD=AB－AD=6，

BE=BC－EC=4－1=3，

所以S△BDE=12BD·BE=12×6×3=9，

所以S△ODE=S長方形OABC－S△OAD－S△OCE－S△BDE

=OA·OC－S1－S2－S△BDE=4×8－4－4－9=15，

所以△ODE的面積為15．故選（B）．

點評" 本題考查反比函數系數k的幾何意義、圖形與坐標等知識，根據長方形的性質得∠BAO=∠BCO=∠B=90°，BC=4，AB=8，繼而得出BA⊥y軸，BC⊥x軸，根據三角形的面積及反比函數系數k的幾何意義得S1=12AD·AO=12k，S2=12CO·EC=12k，推出k=8，繼而得到BD=AB－AD=6，BE=BC－EC=3，所以S△BDE=12BD·BE=9，再根據S△ODE=S長方形OABC－S△OAD－S△OCE－S△BDE即可得解．求出BD、BE的長是解題的關鍵．通過本題的解法可以看出，只要是反比例函數圖象上的點，縱坐標與橫坐標的乘積總為k，再結合題目中給定的三角形面積求解即可．

2" 與反比例函數有關的遞推問題

例2" 如圖2，已知A1，A2，A3，…，An是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=An－1An=1，分別過點A1，A2，A3，…，An，作x軸的垂線交反比例函數y=1xxgt;0的圖象于點B1，B2，B3，…，Bn，過點B2作B2P1⊥A1B1于點P1，過點B3作B3P2⊥A2B2于點P2，…，記△B1P1B2的面積為S1，△B2P2B3的面積為S2，…，△BnPnBn+1的面積為Sn，則S1+S2+S3+…+S2025等于""" ．

圖2

解析" 因為OA1=A1A2=A2A3=…=An－1An=1，

所以設B11，y1，B22，y2，B33，y3，…，Bnn，yn，

因為B1，B2，B3，…，Bn在反比例函數y=1xxgt;0的圖象上，

所以y1=1，y2=12，y3=13，…，yn=1n，

所以B1P1=y1－y2=1－12=12；

所以S1=12×1×y1－y2=12×1×1－12=121－12；

S2=12×1×y2－y3=12×12－13；

S3=12×1×y3－y4=12×13－14；

……

Sn=121n－1n+1；

所以S1+S2+S3+…+Sn=

121－12+12－

13+13－14+…+1n－1n+1

=n2n+1．

所以S1+S2+S3+…+S2025=20252×2026=20254052．

點評" 本題要利用反比例函數圖象性質找規律，熟練掌握反比例函數的基礎知識，用數學歸納法由個例總結出一般規律是解決本題的關鍵．由OA1=A1A2=A2A3=…=An－1An=1可得B1，B2，B3，…，Bn的坐標，根據三角形的面積計算公式S=底×高÷2，計算出每一個三角形的底和高之后，分別列出每一個三角形的面積計算式，觀察規律即可得出結果．

3" 結語

反比例函數綜合問題是初中數學中的難點之一，通過利用反比例函數的性質、幾何圖形的性質等知識點，可以幫助學生更好地掌握反比例函數綜合問題的解題方法．在解題過程中，要認真分析題目中的已知條件，靈活運用各種解題技巧，提高解題能力．同時，要注重培養學生的邏輯思維能力和綜合運用能力，為今后的學習打下堅實的基礎．

參考文獻：

［1］畢偉華，左效平.反比例函數的綜合問題解法探究［J］.中學生數理化（初中版·中考版），2024（08）：14-15.

［2］徐魯璐.解反比例函數綜合題的兩種方法［J］.初中生必讀，2023（06）：32-34.