勾股定理在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘要：勾股定理在初中數(shù)學(xué)中扮演著極其重要的角色，不僅在于它在幾何學(xué)中的基礎(chǔ)地位，更在于它在實際問題中的應(yīng)用價值.通過深入理解和掌握勾股定理，學(xué)生能夠解決一系列與直角三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，從而提升自己的數(shù)學(xué)思維和解題能力.基于此，文章研究勾股定理在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，并通過實際案例進一步闡釋其應(yīng)用價值.

關(guān)鍵詞：勾股定理；初中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）06-0054-03

勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的重要結(jié)論，是學(xué)生深入學(xué)習(xí)三角形必須掌握的重要內(nèi)容，也是歷年全國各地中考數(shù)學(xué)熱點問題[1].勾股定理不僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域一個重要的基石，而且在解決實際問題中發(fā)揮著不可替代的作用.以勾股定理為考查內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題形式靈活多樣，不僅需要學(xué)生熟悉并掌握勾股定理，而且需要理解和掌握勾股定理的解題技巧.只有這樣，學(xué)生才能更好地運用所學(xué)知識解決實際問題，提高自己的數(shù)學(xué)思維和問題解決能力.

1運用勾股定理解決幾何問題

勾股定理又稱畢達哥拉斯定理，是數(shù)學(xué)中的基本定理之一.它以數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的名字命名，是解決與直角三角形有關(guān)問題的常用工具[2].其具體內(nèi)容是：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.對于初中階段的學(xué)生來說，理解和掌握這一定理，可以幫助他們更好地理解直角三角形的性質(zhì)，提升他們解決幾何問題的能力.

1.1直角三角形邊長計算

例1如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，求斜邊AB的長度.

步驟1確定已知邊和未知邊.

根據(jù)題意可知，在Rt△ABC中，直角邊AC=6，BC=8，斜邊AB未知.

步驟2利用勾股定理列方程.

根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2.

步驟3代入已知邊長進行計算.

將AC=6，BC=8代入AB2=AC2+BC2，得AB2=62+82=100.

步驟4求斜邊AB的長度.

因為AB2=100，所以AB=10.

結(jié)論直角三角形的斜邊AB=10.

在利用勾股定理時，關(guān)鍵是要正確識別直角三角形的直角邊和斜邊，并準確地將已知邊長代入公式進行計算，從而解決直角三角形邊長問題.此外，還需要注意平方和開方運算，確保最終結(jié)果的準確性.

1.2面積計算問題

例2如圖2，已知在四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠ABC=90°，求四邊形ABCD的面積.

步驟1如圖2，連接對角線AC，利用勾股定理計算AC的長度.

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理，可得AC2=AB2+BC2，即AC=AB2+BC2

=202+152=25.

步驟2利用勾股定理的逆定理判斷∠ADC是否為直角.

因為CD=7，AD=24，所以CD2+AD2=72+242=625，與AC2相等，因此△ADC為直角三角形.

步驟3通過計算兩個直角三角形的面積之和得出四邊形ABCD的面積.

因為ABCD是由兩個直角三角形組成的，所以可以分別計算這兩個三角形的面積，然后求和即可.由三角形的面積公式，易得SΔABC=12AB·BC=12×20×15=150，SΔACD=12AD·CD=12×24×7

=84.從而可知S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=234.

在本題求解過程中，分別用到了勾股定理及其逆定理.連接AC后，在Rt△ABC中利用勾股定理求解AC的長度；通過判斷CD2+AD2=AC2驗證∠ADC是否為直角，這里利用了勾股定理的逆定理.最后四邊形的面積可以通過分割成兩個三角形計算，這里需要用到三角形的面積公式.由此可以看出，對于多邊形面積計算問題，需轉(zhuǎn)化為三角形面積問題，然后借助勾股定理解決.

2運用勾股定理解決代數(shù)問題

勾股定理不僅在幾何中有廣泛應(yīng)用，還為代數(shù)問題提供了新的視角.例如，利用勾股定理可以解決代數(shù)式或函數(shù)的最值問題.

例3若x，y為正實數(shù)，且x+y=4，那么x2+1+y2+4的最小值是.

步驟1利用已知條件將y表示為x的函數(shù).首先，由于x+y=4，所以y=4-x.

步驟2將y=4-x代入x2+1+y2+4，得到x2+1+（4-x）2+4.

步驟3將表達式看作是兩個點之間的距離之和，從而得到（x-0）2+（0-1）2

+（4-x）2+（0-2）2，它可以看作是點M（x，0）到點A（0，1）和點B（4，2）的距離之和.

步驟4通過作對稱點和連接線段找到點M.作點A關(guān)于x軸的對稱點A（0，-1），連接A′和B，與x軸的交點即為點M.

步驟5利用勾股定理計算直角三角形的斜邊長度.在Rt△A′DB中，A′B的長度為A′D2+BD2=32+42=5.

在利用勾股定理解決問題時，學(xué)生需要進行邏輯思考和計算推理，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)計算能力.通過練習(xí)，學(xué)生能夠逐漸熟練掌握利用勾股定理解決代數(shù)問題的技巧和方法.

3運用勾股定理解決實際問題

勾股定理在實際生活中的應(yīng)用非常廣泛.例如，在建筑、工程、航海等領(lǐng)域經(jīng)常需要用到勾股定理計算距離、高度等.因此，練習(xí)利用勾股定理解題，可以培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.

3.1測量問題

例4小明想知道他家到學(xué)校的直線距離，他決定利用勾股定理計算.小明家離學(xué)校的水平距離是800米，而他家的樓高是20米，學(xué)校的樓高是15米.請幫助小明計算他家到學(xué)校的直線距離.

步驟1理解問題.

首先，需要理解這個問題是一個直角三角形問題，小明家和學(xué)校分別是這個直角三角形的兩個點，而這兩個點之間的直線距離就是直角三角形的斜邊.小明家到學(xué)校的水平距離是直角三角形的一條直角邊，而兩個樓的高度差是另一條直角邊.

步驟2利用勾股定理列方程.

在直角三角形中，a2+b2=c2，其中c是斜邊，a和b是兩條直角邊.在這個問題中，c就是小明家到學(xué)校的直線距離，a是水平距離，即a=800米，b是兩個樓的高度差，即b=20米-15米=5米.

步驟3進行計算.

將a和b的值代入勾股定理的公式中，可以得到c2=8002+52=640 025.然后，取平方根得到c的值，即c≈800.02（米）.

結(jié)論小明家到學(xué)校直線距離是800.02米.

3.2建筑問題

例5在一個大型建筑項目中，需要為一個新建造的博物館建造一個觀景電梯.博物館的底層高度與頂部高度的垂直距離為60米，底層到頂部的水平距離（不包括建筑寬度）為40米.電梯井道的斜邊（從底層到頂層）將穿過一個已存在的橫梁，橫梁的高度為20米.為了確保電梯井道不會與橫梁相交，工人需要知道電梯井道的斜邊與橫梁之間的距離，請你幫助工人師傅計算.

步驟1確定已知量與未知量.

已知量：博物館底層到頂部的垂直高度為h1=60米，底層到頂部的水平距離d=40米，橫梁的高度h2=20米.

未知量：設(shè)電梯井道斜邊與橫梁的距離為x米.

步驟2計算電梯井道斜邊的長度.

首先，需要知道電梯井道斜邊的總長度c.根據(jù)勾股定理，得c2=d2+h21.從而可知c2=402+602

=1 600+3 600=5 200，所以c≈72.11（米）.

步驟3構(gòu)建與橫梁的相對位置關(guān)系.

為了找到電梯井道斜邊與橫梁之間的距離，可以考慮畫一個直角三角形，其中一條直角邊是橫梁的高度，另一條直角邊是電梯井道斜邊的一部分（c-x）米，斜邊則是電梯井道斜邊c米.

步驟4建立方程求解未知量.

在這個直角三角形中，由勾股定理可得x2+h22

=（c-x）2，代入已知量可得x2+202=（72.11-x）2.

步驟5解方程找到x的值.

化簡，得x2+400=5 200-144.22x+x2.

整理，得144.22x=4 800，所以x≈33.3（米）.

步驟6驗證結(jié)果.

驗證解是否滿足原方程，并確認其合理性.

為了確保電梯井道不與橫梁相交，電梯井道的斜邊與橫梁之間的距離應(yīng)為大約33.3米.在建筑設(shè)計時，需要確保這一距離被充分考慮到，以避免潛在的沖突風(fēng)險.

通過對以上幾道例題的研究，可以幫助學(xué)生深入理解與勾股定理有關(guān)的解題技巧，從而培養(yǎng)其解決實際應(yīng)用題的能力.勾股定理是幾何和代數(shù)之間的橋梁，它建立了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，而這種關(guān)系可以通過代數(shù)表達式表示和計算.因此，利用勾股定理可以幫助學(xué)生建立幾何和代數(shù)之間的聯(lián)系，提高他們在這兩個領(lǐng)域的問題解決能力.

4結(jié)束語

通過以上實例可以發(fā)現(xiàn)，勾股定理在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛.掌握這些解題方法不僅可以幫助學(xué)生解決與直角三角形相關(guān)的問題，提高他們的數(shù)學(xué)思維和問題解決能力，還可以增強他們對數(shù)學(xué)知識的興趣和學(xué)習(xí)效率［3］.為了更好地利用勾股定理解決實際問題，學(xué)生需要明確勾股定理的應(yīng)用范圍，避免陷入誤區(qū).同時，教師也應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題，提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

參考文獻：［1］ 王俊清.勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的不同應(yīng)用題型分析[J]．數(shù)理天地（初中版），2023（2）：14-15.

[2] 馬美珍.勾股定理解題技巧及具體例子分析[J]．數(shù)理天地（初中版），2021（2）：39-40.

[3] 李欣欣.基于“探究性學(xué)習(xí)”數(shù)學(xué)課堂的實踐與思考：以探索勾股定理教學(xué)為例[J]．數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2021（20）：54-55.

［責任編輯：李慧嬌］