“創藝”融合理念下“函數的概念”教學設計

摘要：核心素養時代的教學是為了發展學生的學科素養，將思維的發展融入到具體的教學活動中，培養學生的創新能力、問題求解能力和批判性思維.根據藝術教育和創新教育的學習特點，需要不斷優化學生的學習途徑和教師的教學方式.因此，提出課堂教學融合“創藝”，通過日常教學中藝術教育和創造教育的融合，發揮數學的科學、人文、應用和審美價值，促進學生核心素養的發展.

關鍵詞：核心素養；“創藝”融合；函數概念

1 引言

1.1 核心概念的界定

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調在數學教學中注重學生核心素養的培養，而學生的藝術感知和創新意識對數學能力的提升有著重要的作用.因此，提出在日常教學中融合“創”和“藝”.

“創”是指：創新意識、創新思維、創意表達、創造能力、作品創見.“藝”包含：藝術感知、藝術表達、人文情懷、審美情趣（認識美、發現美、創造美）.“融合”就是以藝術為載體，以創新精神、創造能力的培養為重點，聯系不同藝術門類，滲透在學科教學中，通過主題式學習，培養學生的藝術表達能力、審美情趣、創新思維和人文情懷，提升數學核心素養.

1.2 與數學教學融合“創藝”的實施要點

在“雙新”背景下，高中數學新教材更加凸顯我國古代數學的輝煌成就，通過挖掘蘊含在新教材中的“中國數學”元素，增強學生的文化自信.

在高中數學教學中向學生滲透辯證唯物主義的認識論與方法論，強調研究一類問題的基本思路與方法，用哲學指導教學，教方法，也教思想，不僅讓學生在解題的廣度與深度方面有收獲，更要在思想的高度與深度方面有突破.

通過審美浸潤體現“形之有魂”，激發學生科學精神和理性精神，引導學生體會數學的精神之美和思維之美.在實際生活中，我們會面臨規劃、優化、設計等問題，如能適當地運用數學知識就可使實際問題得到高效且最優化的解決.

1.3 在課堂教學組織形式中整合“創藝”

數學與創藝融合是數學文化的一種體現，是數學思維培養的一種方式，對激發學生的數學學習興趣，拓展學生的數學視野，讓學生更好地認識、理解和學習數學有重要作用.教師結合各章節的教學要求，精心備課，在教學組織形式和教學各環節，以及課后作業和評價上要體現“藝”和“創”.

2 “函數的概念”教學設計

2.1 教學內容分析

本節內容是高中數學滬教版新教材必修一第5章“函數的概念、性質及應用”5.1節“函數”中的第一課時.函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，在解決實際問題中發揮著重要作用.

初中是用變量之間的依賴關系描述函數，高中是在此基礎在上，用集合與對應的語言刻畫函數，是對初中階段函數概念的繼承和精確化.函數是貫穿高中課程的主線，函數概念的認知是一個不斷反復、循序漸進的過程.本節課教學內容的上位知識為初中和必修一第四章所學的一些具體的函數，如正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數，下位知識則是函數表示法、函數的性質、函數的應用等.

本節課對所學習過的具體函數的共性進行歸納，提煉出更嚴謹的函數的一般概念，由初中所學的“變量說”過渡到“對應說”，促使學生獲得對函數概念本質的認識，理解函數的符號y=f（x）的意義.

函數課程內容蘊涵了很多思想方法，如數形結合、從特殊到一般等，這些思想方法均在本節課中有所滲透和運用.在學生對函數概念的不斷反思、分析、歸納過程中，培養創新思維和探索精神，提升數學抽象、直觀想象和數學運算等核心素養.

2.2 學情分析

授課對象為區實驗性示范性高中的學生，他們知識基礎較好，通過初中的學習，已經掌握了基于“變量說”的函數概念.學生在初中階段已學習了用“解析法”“列表法”和“圖象法”來表示函數，但沒有學習過集合，對函數的表述性語言欠缺嚴謹性，限制了函數的應用.

學生具備一定的抽象、類此、歸納等主動探究能力，求知欲強，期待學習新事物.通過高中“集合”知識的學習，學生對集合思想的認識也日漸清晰.通過第四章的學習，學生對具體的函數的運算、概念、應用比較適應，但對于抽象的函數概念比較生疏.因此在提煉函數的定義及發現函數的本質是一種對應上需要教師的輔助.本節課設定的教學難點為“函數符號y=f（x），x∈D的理解，函數概念的整體性認識”.

2.3 教學設計思想

在高中數學核心素養及學?！皠撍嚒苯虒W理念的引領下，根據本課的教學內容和要求，基于學生的原有認知，本節課結合實例加以分析，引發學生對原有概念的再思考，對函數概念進行遷移和創造、補充與完善.循序漸進開展教學，從初中概念引入，與高中知識進行銜接，通過對照揭示“對應關系”，讓學生在學習中感知數學的“創造性”和邏輯思維的嚴謹之美，培養學生的創新思維和人文情懷，促進學生掌握基本知識、基本技能、基本方法，更好地進行后續的學習.

2.4 教學目標分析

2.4.1 學科核心目標

（1）經歷從實例出發、由具體函數抽象出一般函數的概念的過程，發展數學抽象素養.

（2）理解函數的概念和抽象符號y=f（x），x∈D的意義，體會對應關系和集合語言在刻畫函數概念中的作用.

（3）了解構成函數的要素，會判斷兩個函數是否是同一函數，會求函數的值域，提升數學運算素養.

2.4.2 創藝素養目標

（1）通過實例分析，函數概念由初中所學的“變量說”提升到“對應說”，引導學生感知數學的創造性，激發學生的興趣，提高數學素養.

（2）讓學生感知數學邏輯思維的嚴謹之美及數學家不斷探索改進概念的研究精神之美，在日后的生活中能夠用數學的思維思考現實世界，感受數學的魅力.

2.5 教學重點、難點分析

教學重點：函數定義的形成，用集合語言和對應關系來精確地刻畫函數，建立完整的函數概念.

教學難點：函數符號y=f（x），x∈D的理解，函數概念的整體性認識.

2.6 教學過程設計

環節一復習舊知，溫故求新

問題1我們學習過哪些函數？你能否舉幾個具體的例子？

生：學習過正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數.

師：我們學習過這么多具體的函數，那到底什么是函數呢？我們來了解一下函數的相關數學史.

在我國，“函數”這一名稱由清代數學家李善蘭翻譯引入，取“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”之意.

德國數學家萊布尼茲最早使用“function”一詞，用以表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等與曲線上點有關的幾何量.

1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”

初中所學的函數的定義：“在某個變化過程中有兩個變量，設為x和y，如果在變量x的允許取值范圍內，變量y隨著x的變化而變化，它們之間存在確定的依賴關系，那么變量y叫做變量x的函數.”

設計意圖：通過數學史的介紹，滲透數學文化，激發學生學習興趣.回顧初中所學函數的定義，便于本節課教學以此為基礎抽象出基于集合與對應思想的函數定義.

問題2下列各情境中的兩個量之間的關系是不是函數關系？

情境1某市一天24小時內的氣溫變化如圖1所示.溫度y與時間t是否存在函數關系？

情境2上海出租車車費y（單位：元）與行車里程x（單位：km）之間的關系.

上海市的普通型燃油出租車起步價為14元，起步里程為3 km，3 km以后按2.7元/km計價.車費y與行車里程x之間是否具有函數關系？

情境3近幾屆亞運會中國體育代表團獲得的金牌數y（單位：枚）隨參賽年份x變化的情況如表1.

上述情境中的兩個變量x，y之間的關系是不是函數關系？

設計意圖：學生對初中函數定義的理解掌握情況將決定這節課的學習起點和本節課建構知識的基礎.實例的選擇聯系學生生活實際，讓學生體會生活中充滿了數學問題，推動學生用數學的眼光觀察現實世界.

每個例子都是由學生判斷是否為函數關系，學生的判斷過程也是體會運用初中函數定義的過程.這三個實例既鞏固了學生對初中函數定義的理解，也拉齊了學生的起點，為下一步用集合語言和對應關系來定義函數做好了準備.變化過程通過不同的載體來展現，如圖象、解析式、表格，為函數表示方法的學習埋好了伏筆.

師生討論：對情境2和情境3進行討論，對函數定義中的“變量y隨著x的變化而變化”產生了認知沖突，因此有改進概念的必要.

師：歷史上數學家在研究函數時有各自的見解，有思維沖突，函數的概念由此不斷得到優化.1837年德國數學家狄利克雷突破了當時研究的局限，拓廣了函數概念，給出了經典函數定義.

環節二形成概念，理解辨析

教師：對于初中的函數定義，x和y之間存在確定的依賴關系是指由自變量x可以確定y，依賴關系可以用更精確的語言來表示，即對應關系.“確定”揭示對應關系的特點：對于每一個確定的x的值，y都有唯一確定的值與它對應.而x的取值范圍可以用實數集D來表示.于是我們可以用更嚴謹的語言來定義函數.

函數的定義：“設D是一個非空的實數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對集合D中的任意給定的x都有唯一的實數y與之對應，就稱這個對應關系f為集合D上的一個函數，記作y=f（x），x∈D.其中x叫做自變量，其取值范圍（數集D）稱為該函數的定義域.”

“如果自變量取值x0，則由法則f確定的對應于x0的值y0，稱為函數在x0處的函數值.所有函數值構成的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做這個函數的值域.”

教學說明：完善函數的概念，強調函數的記號.

師生活動：回看三個問題情境，利用對應關系分析每一個案例，體會利用集合語言和對應關系刻畫函數關系更合理.

設計意圖：從實際問題引出概念，激發學生的興趣，通過思考、探索，引導學生體驗數學知識的發現、發展的過程.在師生、生生的互動交流中形成共識，得到集合觀的函數概念，提高學生分析問題的能力.

環節三討論研究，深化概念

師：初中階段的函數是在運動觀下的定義，高中階段的函數是在集合觀下的定義，對應法則本質是相同的，高中用集合符號語言來表述概念更加清晰明了，同時引入一個抽象符號來表示函數關系.這個定義更具有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便.

問題3（多選）下圖中能表示y是x的函數關系的是（）.

問題4判斷下列各組關系中y是不是x的函數：

（1）x2+y2=1；（2）x=y；

（3）y=x－1+1－x.

設計意圖：通過圖象和關系式的辨析，促使學生更直觀地體會“任意給定的x”與“唯一的實數y”之間的對應關系，把握概念的關鍵詞及概念內涵.

環節四例題講解，應用鞏固

例1求下列函數的定義域.

（1）y=1x2－1；（2）y=log2（x+1）；

（3）y=x+3x－1；（4）y=x0.

設計意圖：通過定義域的求解，引導學生理解函數的定義域是使代數式有意義的自變量x取值的集合并作出如下總結.（1）分式中分母不為0；（2）對數的真數大于0，底數大于0且不等于1；（3）偶次方根被開方數大于等于0；（4）零次冪的底數不為0；（5）實際問題有意義.

例2判斷下列函數與函數y=x是否相同，并說明理由：

（1）y=（x）2；（2）y=ln ex；

（3）y=x2x；（4）y=4x4.

設計意圖：進一步加深對函數定義的理解，認識函數概念的整體性，強調定義域和對應關系是函數的兩個要素.

環節五課堂練習（略）

環節六課堂小結

教學說明：引導學生對本節課涉及的數學知識、思想方法進行小結，教師作適當補充，展示章節知識思維導圖.

函數的本質是一種對應.定義域和對應關系是函數的兩個要素，決定了函數的值域，也是判斷兩個函數是否相同的依據.我們經歷了歸納具體函數的共同特征，得出函數一般概念的過程，感受了數學抽象在數學研究中的價值.

初中和高中的函數定義都是數學發展史中偉大的數學家們不斷抽象函數的本質特征而得到的結論.我們今天研究的函數定義是德國數學家狄利克雷的經典函數定義，是對初中函數定義的進一步完善.相信關于函數的爭論、研究、發展、拓展還將繼續，不斷推動數學及其他學科的發展.

環節七作業布置（分層作業）

基礎練習：教材第113頁習題5.1A組第1題，習題5.1B組第1題.

能力拓展：（選做）（略）.

數學文化閱讀：教材第113頁“函數概念的形成與發展”.

3 討論與反思

數學來源于生活，生活中處處有數學.“創藝”融合到數學學科的教學，是在立足于發展學生核心素養的基礎上，教師的課堂要“美”，教學流程要“創”.

教師精心設計學習活動，從教學預設、思維體驗、語言行為、方法運用、互動生成方面滲透“數學美”，發展學生的思維，讓學生愿思、能思、會思.在本節課中，通過三個情境實例的兩次討論，完成知識的形成、完善、深化三個過程，讓學生理解函數的概念從“變量說”過渡到“對應說”的必然性，掌握函數關系的內涵，培養用數學語言表述現實世界的能力.

同時，要創造性改造教學流程，通過情境創設、問題創聯、思路創想、作品創見，引導學生感受無處不在的“創”.數學的思想精神滲透在學習活動的每一個環節中，尤其是“作品創見”，是學生學習成效的一種表現形式.它可以是某個知識技能的舉一反三、觸類旁通；可以是對某個問題獨特新穎的見解；可以是數學小論文或思維導圖等作品；也可以是一種科學的作品，如新穎獨特且有意義的解題過程；也可以是一種具有科技性的設計、方式和方法；又可以是一件可視的作品，如解題短視頻等.這些都能促進學生認知能力的提升和高階思維技能的發展，提升學生的創新素養.

數學融合“創藝”是提升學生數學素養的大膽嘗試，需要教師在實踐中摸索經驗，不斷改進，使之更有效.