在小學數學跨領域學習中“發現數學”

【摘 要】學習的本質在于發現，數學學習的本質在于引導學生“像數學家一樣”發現數學知識與方法、發展數學思維與素養，“發現數學”就是讓“發現”發生在數學課堂中。基于“發現數學”的小學數學跨領域學習旨在以“發現數學”作為教學實踐樣態，通過創造貼近學生現實生活的真實問題情境，將現有的單元知識整體化、項目化、結構化，以任務驅動的形式開展卓有實效的深度學習探索，從而發展學生的高階思維，滿足學生未來學習的迫切需求。文章從教育意蘊、要素表征、教學實踐等三個方面入手，闡述基于“發現數學”的小學數學跨領域學習的創新實踐。

【關鍵詞】發現數學 跨領域學習 教育意蘊 意義建構 教學方式

學習的本質在于發現，數學學習的本質在于引導學生“像數學家一樣”發現數學知識與方法、發展數學思維與素養，“發現數學”就是讓“發現”發生在數學課堂中。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，要讓學生“經歷數學‘再發現’的過程”，發展批判思維、形成科學態度，養成思維品質、形成理性精神。為此，教師需要重新審視“發現數學”，并以“發現數學”為紐帶，重構小學數學課堂教學的實踐體系，進行教學方式的變革，以更好地發展學生的數學核心素養。

一、基于“發現數學”的小學數學跨領域學習的教育意蘊

“發現數學”旨在讓“發現”發生在數學課堂中，即通過有意義的發現情境創設，讓學生在興趣的激發下自主提出問題與設想，在獨立思考或合作中探索解決問題的策略，在情景化與問題化的經歷中獲取數學概念認知、掌握數學思考方式、發展數學思維與能力、培養數學情感與品質，最終實現數學課程目標向學生素養的轉化。

小學數學跨領域學習緣起于義務教育階段數學課程內容中數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等四個學習領域的劃分，數學學習不應是單領域的、割裂的學習，應是綜合運用數學學科不同領域知識或多學科知識去解決復雜性問題的學習。在復雜的問題解決情境中，通過數學學科不同領域知識（數學學科中數概念與形概念）與跨領域學科知識（探索數學學科規律計算與信息科技學科編程設計）的綜合學習，培養學生的問題解決、合作探究、科學創新、批判思維等能力，實現為數學理解而學、為學會學習而學、為終身發展而學。

基于“發現數學”的小學數學跨領域學習旨在以“發現數學”作為教學實踐樣態，通過創造貼近學生現實生活的真實問題情境，將現有的單元知識整體化、項目化、結構化，以任務驅動的形式開展卓有實效的深度學習探索，從而發展學生的高階思維，滿足學生未來學習的迫切需求。

二、基于“發現數學”的小學數學跨領域學習的意義建構

基于“發現數學”的小學數學跨領域學習，倡導以“學習需求”作為邏輯起點、以“知識融通”作為學習方式、以“素養發展”作為終極目標，讓學生在數學學習中實現深度理解、融會貫通。

（一）以“學習需求”作為邏輯起點

需求是一種不平衡的狀態，學習是學生成長的主動需求。學習需求是指學習者的狀況與所期望達到的狀況之間的差距，具體為對未知事物的渴求，在學習動機的驅動下為滿足自身需要產生的序列化反應。在小學數學跨領域學習中，教師可以根據學習內容創設貼近學生現實生活的真實情境，讓學生經歷從真實情境中發現問題和提出問題的過程，在“平衡”與“不平衡”的不斷更替中產生數學學習的需求，“像數學家一樣”發現數學知識與方法、發展數學思維與素養。

（二）以“知識融通”作為學習方式

知識是構成學生主動發展的動力源。數學知識是一個有機的整體，反映數學各部分內在之間的聯系。知識的學習既要關注數學知識內部的橫向聯結，也要關注數學學科與其他學科知識間的縱向貫通。在小學數學跨領域學習中，教師應深入研讀各版本的數學教材，深刻理解各學科的貫通性知識，從現實生活中提煉核心問題、從問題解決中提煉研究專題，綜合運用各領域知識，融會貫通、轉知成智，并指向學生數學關鍵能力的培養。

（三）以“素養發展”作為終極目標

素養伴隨學生終身成長。數學核心素養的內涵主要表現為“三會”，即會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。“三會”的三個方面是不可分割、不可孤立的，是一個統一的有機整體。數學眼光、數學思維、數學語言的發展相互融通，指向學生終身發展的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。小學數學跨領域學習中，教師應圍繞數學核心素養發展這一終極目標，讓學生充分經歷數學化的過程，促進基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗等目標的達成，最終發展學生的數學核心素養。

三、基于“發現數學”的小學數學跨領域學習的教學方式

（一）小學數學跨領域學習的內容選擇

基于“發現數學”的小學數學跨領域學習的內容選擇主要包括兩個維度：一是數學學科內部四大課程內容的學習領域之間的深度融合；二是數學學科與其他學科之間的有效整合。跨域融合可以讓學生的數學學習更有意義。

1.數學學科內部跨領域學習

各版課標都將義務教育數學課程內容分為四大領域，新課標將其表述為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等。在選擇內容時，教師除了要關注綜合與實踐領域的特定學習內容之外，更要有效融通其他領域，選擇2個或者3個課程內容領域有機整合。

數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合是探尋數學規律、發現數學方法的重要方式。在確定跨領域學習內容時，可有效整合數與代數領域、圖形與幾何領域的相關知識，將數概念轉化為形概念，比如，將探索乘法分配律轉化為求解長方形的面積；將有規律的分數數列求和轉化為求解正方形陰影部分的面積；將形概念轉化為數概念，將幾個幾相加的實物圖轉化為加法算式、乘法算式，將數大正方形中蘊含小正方形的個數轉化為等差數列求和計算，讓學生在數與形的有效切換中，發現知識聯結、發展數學思維。

2.數學與其他學科跨領域學習

新課程方案與新課標的頒布，將“跨學科主題學習”“10%的課時量”推上了一個新高度。數學與其他學科的跨領域學習，可以看作跨學科主題學習，就是要立足數學學科本位，調用多學科的知識解決數學學習中復雜的問題。在選擇內容時，教師可以關注兩大類型學科知識的整合：一類是數學、科學、信息科技等理科類知識的整合，另一類是數學、語文、音樂、美術等文理兼容類知識的整合。

數學與其他學科的跨領域學習，應關注學生年齡特征與認知經驗，采用項目化、主題式等方式，通過核心問題的任務驅動，讓學生深度學、共生長。如教學蘇教版數學二年級下冊“認識方向”單元時，可以將語文、美術多學科融合到學科中來，設計“我做校園小導游”學習活動：學習數學學科知識“認識方向”，學會用指南針等工具進行校園建筑物的觀察（數學學科）；繪制校園平面圖，并進行適當美化（美術學科）；根據校園平面圖，設計校園游覽解說詞（語文學科）。這樣的學習活動有利于學生逐步養成善于發現問題、勇于提出問題、敢于解決問題的自主學習意識。

（二）小學數學跨領域學習的教學策略

課堂是學生成長的主陣地。依據素養目標的小學數學教學要求，針對小學數學不同類型學習的內容，基于“發現數學”的小學數學跨領域學習的課堂呈現出特色化、可復制的教學策略。

1.強化內部聯結，促進思維進階

教師在教學“百數表”這一課時，將百數表轉化百格圖，跨領域學習探究課“百變數方塊”應運而生。

（1）從百數表到百格圖，充分喚醒知識經驗

探究中，呈現百數表、抽象百格圖（圖1），讓學生一眼就看出百格圖中方塊的總個數。通過十個十個地橫著數、豎著數（圖2），學生明確雖然數的方法不同，但最終的結果仍是10個十就是一百。

（2）從無重疊圖到一格重疊圖，多重表征涂色個數

對于無重疊圖的涂色方塊數，可以一個一個地數、一組一組地數（圖3），也可以先平移再十個十個地數（圖4）；可以用加法算式計算涂色方塊數，也可以用乘法算式計算涂色方塊數，多重形式的表征讓學生聯系數與形。一格重疊圖，用9＋9＋1、10＋9、10＋10－1等多個算式表征，雖算式不同但涂色方塊數不變。

（3）從一格重疊圖到多格重疊圖，規律算式發展思維

一格重疊圖、兩格重疊圖、三格重疊圖、四格重疊圖（圖5），再到自主設計多格重疊圖，“涂色方塊有幾行就是幾個10相加”“減去重復計數的方塊數”成為學生探索百格圖規律的共識。

（4）從百格圖到同行同列方格圖，數形結合提升素養

從百格圖到同行同列方格圖（圖6），學生通過一次次的涂色與比較，建立起利用算式計算涂色方塊數的數學模型。

數形結合巧探微，將百數表抽象成百格圖、從一格重疊到多格重疊，每一次創新數方格的探索都是促進學生思維進階的有效方式。這樣的跨越數與代數、圖形與幾何等領域的探究活動，讓學生逐步發現數學規律、提煉數學模型、發展數學思維、提升核心素養。

2.突出外部融合，關注素養發展

借助網絡資源，一個“巧克力去哪兒了”魔術成為六年級學生數學實驗的話題。巧克力到底去哪兒了？一節跨領域學習實驗課“吃不完的巧克力”悄然發生。

（1）真實情境，再現魔術

一塊5×5的巧克力（圖7），按照特定方法分割、拼接，看似少了一小塊巧克力。但在分割、拼接的過程中，巧克力質量守恒，這一小塊巧克力不可能憑空消失。

（2）激活思維，還原魔術

用數學材料還原“吃不完的巧克力”（圖8），在等積變形中明確巧克力少了一個平行四邊形或者一個長方形，利用面積計算或解比例的方法，讓學生求解少了的就是“一小塊巧克力”。

（3）鏈接教材，能力提升

面對眼睛難以辨別的魔術，運用初中數學相似三角形“對應底和高的比比值相等”的知識，通過解比例的方法可以解決。在學習圖形的放大和縮小時的三角形也是相似三角形。

（4）跨越學科，發展素養

魔術“吃不完的巧克力”因直覺的誤導造成了視覺上的誤差，利用數學知識可以探尋魔術背后的奧秘，而視覺誤差仍存在于科學技術、社會生活中（圖9）。精巧的設計有助于讓學生認識到數學、科技的創新發展的曲折，從而再次感悟數學的神奇和價值。

宇宙之大，無處不用數學。吃不完的巧克力、消失的正方形、彭羅斯三角、莫比烏斯帶等具有視覺誤差的數學發明運用在科學技術、社會生活的方方面面。教師要跨越數學、鏈接多學科，讓學生感受數學和科學技術之間、數學和社會生活之間的聯系，經歷數學知識的發生、發展、應用的全過程，學會用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界。

基于“發現數學”的小學數學跨領域學習的教學實踐，關注學科思維的融合、學科知識的勾連、學科素養的共育，引導學生“像數學家一樣”多元表征、多方關聯、多向推進，幫助學生積累數學學習經驗，達成思維的有效進階，最終實現學生數學學科核心素養的發展。

【參考文獻】

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注：本文系江蘇省教育科學“十四五”立項課題“基于‘發現數學’的小學數學跨領域學習變革行動研究”（D/2021/02/65）的研究成果。