數(shù)學(xué)思想方法視域下高考立體幾何試題評析與備考策略

摘 要 本文以２０２４ 年全國Ⅰ卷第１７ 題為例，以基本思想方法為起點(diǎn)，通過創(chuàng)新解法，優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)從而建立立體幾何教學(xué)需要梳理教材知識結(jié)構(gòu)和思想方法脈絡(luò)．

關(guān)鍵詞 立體幾何；數(shù)學(xué)思想方法；高考試題；備考策略

１． 問題提出

立體幾何內(nèi)容主要由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間直線與平面的位置關(guān)系以及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用組成，其邏輯順序是由空間幾何到空間基底向量再到空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，是綜合幾何法到向量法螺旋式遞進(jìn)學(xué)習(xí)的過程． 綜合幾何法經(jīng)觀察、探究、歸納、論證等思維方式來提升學(xué)生的識圖能力、作圖能力、空間想象能力以及邏輯推理能力，鍛煉學(xué)生思維的靈活性和獨(dú)特性，在思維發(fā)展的過程中培育直觀想象等核心素養(yǎng)，落實(shí)立體幾何獨(dú)有的育人價(jià)值；向量法是幾何問題代數(shù)化的過程，繼承了幾何法的思維方式，發(fā)展了立體幾何的研究方法．兩種方法各有千秋，核心素養(yǎng)、育人價(jià)值各有側(cè)重，在具體教學(xué)力爭做到兩種方法齊頭并進(jìn)、優(yōu)勢互補(bǔ)．

本文對２０２４ 年全國新高考Ｉ 卷第１７ 題進(jìn)行解法分析，為立體幾何高考復(fù)習(xí)備考厘清知識與思想方法脈絡(luò)具有一定的實(shí)踐意義．

２． 數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)的高考真題評析

２． １ 真題呈現(xiàn)與分析

（２０２４ 年全國新高考Ｉ卷第１７ 題）如圖１，四棱錐Ｐ － ＡＢＣＤ中，ＰＡ ⊥底面ＡＢＣＤ，ＰＡ ＝ ＡＣ ＝ ２，ＢＣ＝ １，ＡＢ ＝ 根號下3.

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)不是簡單知識的傳授，而是數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握，教材是知識的載體，知識的探究和發(fā)展醞釀了數(shù)學(xué)思想方法． 因此，在教學(xué)中需要理清知識結(jié)構(gòu)，提煉思想方法.

３． １ 理清教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)，明確數(shù)學(xué)思想方法

立體幾何初步的主要教學(xué)內(nèi)容是點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、簡單幾何體的體積和表面積及公理、定理，其中線面、面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)是教學(xué)的重點(diǎn)． 探究定理的過程中，讓學(xué)生領(lǐng)悟化歸與轉(zhuǎn)化的思想，降維與升維的邏輯論證思想． 例如：證明ＡＤ／ ／ 平面ＰＢＣ，可以采用線面平行的判定定理或面面平行升維轉(zhuǎn)化的思想． 理清教材中幾何法的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、知識序列和思想方法鏈條，同時(shí)讓學(xué)生理解空間向量解決立體幾何問題的必要性，明確空間向量法與幾何法的關(guān)系，不是取代，而是交融與優(yōu)勢互補(bǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系的前提是線面垂直． 例如案例第一問，建系使用坐標(biāo)法，進(jìn)入了循環(huán)論證，并非簡捷解法． 同時(shí)，空間向量與平面向量是高維與低維的關(guān)系，采用類比思想學(xué)習(xí)，空間基底法和空間向量法是一般與特殊的關(guān)系，二者之間存在天然的聯(lián)系． 學(xué)生明確了立體幾何知識的上下位關(guān)系和思想方法，在研究高考試題時(shí)，就能找到思考的方向和思維的起點(diǎn)．

３． ２ 基于數(shù)學(xué)思想方法，引領(lǐng)高考試題研究

教學(xué)中應(yīng)多角度和創(chuàng)造性的研究高考試題，實(shí)現(xiàn)一題多解到一題優(yōu)解的進(jìn)階過程，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，例如案例第一問，學(xué)生應(yīng)在尋求解法的過程中，能辨別哪種方法更簡潔． 課程標(biāo)準(zhǔn)中提出要體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，二者的共性是考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，差異是幾何法重在空間想象和邏輯推理能力的培養(yǎng)，而向量法更注重的是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升． 幾何法中的定理和公理是向量法中依據(jù)“三垂直”關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系的根基，這是空間幾何體與空間向量之間聯(lián)系的關(guān)鍵，也是實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的根本． 正如案例中，學(xué)生應(yīng)該創(chuàng)造性的應(yīng)用幾何法和向量法探究其它方法，例如直接找二面角的平面角、射影三角形面積和選擇不同點(diǎn)視為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，建立不同類型的空間直角坐標(biāo)系求解．

３． ３ 明確高考試題導(dǎo)向，引導(dǎo)高考復(fù)習(xí)備考

經(jīng)歷的教材的梳理，高考試題的研究． 師生對立體幾何的考點(diǎn)更加明確． 例如，線面垂直貫穿案例解題過程的始終． 在復(fù)習(xí)備考中有必要強(qiáng)化線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，注重二者的區(qū)別，在問題解決過程中，滿足什么條件使用判定定理和性質(zhì)定理，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辨別，清除學(xué)生知識的混淆點(diǎn)．另外，關(guān)注學(xué)生復(fù)習(xí)備考過程中解法的多樣性與復(fù)雜性． 例如，案例第二問，有學(xué)生采用二面角平面角定義法或者向量基底法嗎？引導(dǎo)學(xué)生解法的全面性和深刻性，打通學(xué)生解法的堵點(diǎn)． 高考復(fù)習(xí)備考不僅僅是知識的再現(xiàn)，而是知識再探究的過程，也是思想方法的升華，不斷再現(xiàn)教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)、知識和思想方法，學(xué)生的解題能力才能走向縱深，思維品質(zhì)和核心素養(yǎng)得以發(fā)展.