國際小學數與運算教學的研究進展與教學啟示第15屆國際數學教育大會（ICME-15）專題會議綜述

2024年7月，第15屆國際數學教育大會（ICME-15）在澳大利亞悉尼召開，“數與運算的教與學”作為其中一個專題（TSG1.1），為國際數學教育家分享當下國內外數與運算教學的研究進展提供了討論的平臺。作為“數與代數”領域的重要主題，“數與運算”受到數學教育者的廣泛關注。《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“數的認識”與“數的運算”整合為“數與運算”主題，內容包括整數、分數和小數的認識及其四則運算，研究者Kees Hoogland更是將運算視為公民發展數學高階技能以應對數字化時代變革的基礎。由此可見，掌握當下國內外數與運算教學的相關研究情況對提升教學實踐具有重大意義。

數與運算專題圍繞概念認知、素養發展、教學實施三個方面進行研討。其中，概念認知指向教師對數與運算系統知識的認知理解。Lasa等人報告職前教師對相關基礎知識的結構化認識不足，缺乏實質性理解；HeliaPinto團隊倡導通過“畫廊漫步”輪流解決有理數任務，并以集中討論的方式提升職前教師對有理數的認識。素養發展指對學生數感、量感等核心素養的培養與評估。NosisiNellieFeza指出，在學前階段提供豐富的數學體驗和有目的的數字游戲，有助于培養學生的數感；ShiqiLu等則從感知、形式和意義三個維度設計框架，構建了一個以核心能力為中心的量感評價體系。

教學實施指教師在授課過程中的教學設計和路徑實施。作為連接教師概念認知與學生素養發展的重要環節，它會對課堂教學效果和學生能力培養產生直接的影響。了解當前小學數學教學實施的前沿進展，有利于我國一線教師教育理念與教學方法的創新。因此，本文基于ICME-15中數與運算專題的文獻，梳理會議中有關“數與運算教與學”的研究報告，并從數概念的教與學和數運算的教與學兩個維度進行研討交流，以期了解國際教學發展動態，為我國數與運算教學提供借鑒。

一、數概念的教與學

數的概念是學生認識和理解數學知識的起點，理解數的意義伴隨學生學習數學的整個過程。抽象和建立數的概念，對學生數學知識體系的構建與擴展起重要作用。在小學階段，通過對整數、分數和小數的系統學習，學生不斷完善自身數概念知識體系的構建，并在此過程中逐步深化數感、鍛煉抽象思維，實現數學素養的提升。

（一）整數

我國通常將“10以內數的認識”分為“0”“1～5”“6～9”“10”四個部分進行教學，徐文彬團隊基于記數系統的結構性，指出10及以上的整數都由十進位值制與數字“0～9”結合產生，因此，可將十進位值制作為“數的認識”內容的核心概念。通過對多個版本的數學教材內容進行比較分析，他們從認知整體性和知識結構性角度出發，以十進位值制為核心確立了“0＼～9的認識”單元知識結構（圖1），并將此視為一個知識主題單元進行整體教學設計。

其中，“0～9的認識”單元知識分為內部知識與外部知識兩個部分，內部知識結構由數的意義、數的形式、數的運算組成，指向基礎的數學學科知識；外部知識結構包括相關學科或領域知識和學生經驗性知識，強調教師在教學過程中應聯系生活實際，利用學生已有的經驗幫助學生理解新知、構建知識框架。

該單元整體教學設計模式以單元知識結構為基礎，以“五環節”為框架（圖2），指出教師在進行“0～9的認識”單元整體教學設計的過程中，應打破學段界限，把握本單元知識結構及其與小學階段“數的認識”系統知識間的聯系（圖1），以此推動學生在后續學習中的知識銜接，并結合一年級學生的認知特點確定教學目標、重難點，設計教學活動。值得注意的是，教師在設計教學活動、實施教學前就須確立學習評價方式，完成單元達標檢測題目的編制，以此為評估教學活動的成效提供依據，有助于實現“學一教一評”的一致性，推動學生思維和能力的發展。

（二）分數

分數作為生活中“人為”創造的數，可以表示部分與整體、運算結果、比例等，是小學數學中學習難度較高的一部分內容。

專題會議中，AtharFirouzian從分數和比例存在共同根源的角度出發，提出利用兩者的乘法關系性質作為知識紐帶，把分數和比例概念以相互關聯的方式展開教學，從而幫助學生全面深化、完整地理解分數，提高學生將分數和比例相互轉化運用的思維靈活性。研究在課堂上為學生提供了在比例背景下定義分數知識的機會，要求五年級學生通過操作解決一系列基于比例 1：2 的顏色組合任務，比較黑白顏色混合后的最終顏色差異（圖3），并借助相關的軟件工具驗證猜想。

參與實驗的學生在四年級時已經從測量和部分與整體關系的角度學習過分數，但還從未接觸過比例思維。因此，當大多數學生將這項任務視為一種不斷變化的過程并試圖分辨顏色變化時，只有一些學生注意到組合中黑點和白點之間的數量關系。通過比較兩個量之間的數量關系，學生可以選擇不同的量作為標準單位來測量另一個量：以黑點為標準單位，得到白點與黑點數量間的倍比關系；以白點為標準單位測量黑點，得到黑點與白點數量間存在的等價分數關系。研究結果表明，學生可以通過這一任務抽象出分數的基本性質，建立等價分數概念并重新定義分數 ，實現分數與比例知識的聯結。

（三）小數

小數是數學知識中的重要組成部分，但相關研究表明學生對小數可能存在很多誤解，這值得引起教育者的關注。

ChristinaMisailidou團隊通過問卷調查了解希臘五年級學生對小數基本特征的理解情況，結果顯示學生對小數存在兩點誤解：一是學生沒有掌握小數概念的本質，例如，題目要求圈出小數而不是自然數，超過 98% 的學生無法對數15.00進行準確判斷；二是學生受“乘法變大”思維定式的影響，面對 45.75×0.01 和0.4575的大小比較， 92% 的學生無法給出正確答案，這意味著多數學生沒有理解十進制下小數點移動引起小數大小變化的規律。Ru-DeLiu等人在研究中國小學生小數概念的發展過程中指出，學生對小數概念還存在“越長越大”（數字越多代表數越大，如認為0.56gt;0.8 ）和“越短越大”（把小數和分數混為一談，認為小數點右邊的數是分母，小數點右邊位數較少的數越大，如基于 8認為2.43gt;2.897）的誤解。

以上誤解源于學生受到先前數學知識的負遷移影響。一般來說，小學生依次學習整數、分數、小數概念，對小數概念的認知受到整數和分數概念的影響。因此，教師在小數概念的教學過程中須考慮學生的已有認知，通過認知沖突幫助學生厘清小數的基本特征，避免產生類似誤解。

二、數運算的教與學

學生運算能力的發展受已有概念認知、教學情境設計、運算策略技巧等多種因素的影響，教師應綜合考慮學生的情況進行運算教學，幫助學生積累計算經驗，實現運算能力的螺旋上升。

（一）運算與概念認知

對概念知識的理解不僅會影響教師的教學，也會影響學生對數與運算內容的學習。位值概念貫穿小學數學的始終，是幫助學生掌握運算的基石。Bronwyn和Dung等人就位值概念的理解對學生加、減法運算能力的影響進行調查，測試包括位值、加法、減法三項內容。通過分析各測試成績之間的關系，發現兩兩測試成績之間關系顯著（ Plt;0.01 ），位值成績與加法成績（ ）、減法成績（ ）之間均存在中度正線性關系[皮爾森相關系數 （r） 在 之間，表示兩個變量之間存在中度正線性相關1，表明學生對位值概念的理解會影響其整數加減運算能力。

那么，教師在利用位值概念進行多位數整數加減法教學時，對教學材料的選擇情況如何，Kakoma等人對此展開了研究。通過對教師在日常課堂教學環境中的教學材料使用情況進行分析，發現教師最常用的教具是位值表（數位順序表），此外還利用十進制的小棒、計數器或吸管。該發現進一步說明，教師主要依賴黑板練習進行多位數加減法的教學，通過將數表示在位值表中，再將數按數位分解的形式幫助學生理解數值大小在加減過程中的變化，缺乏其他替代手段。此外，研究指出教師存在忽視指導學生從一個一個數到一組一組數的情況，使得大多數學生只能依靠一個一個數去理解數量，導致運算困難。

（二）運算與情境創設

教學情境的創設在推動學生參與課堂學習、理解掌握新知、回憶知識生成方面有重要意義。報告中，SameeraHansa對學生在情境任務和算式符號兩種情況下對不同除數的解釋理解和乘法推理能力開展研究。

第一種情況，為學生創設了任務情境：山姆的桌子上有6個人，分享20塊餅干；湯米的桌子上有7個人，分享20塊餅干。請問哪一組孩子分到的餅干更多？為什么？

第二種情況，只為學生提供了算式符號： 20÷6和20÷7 ，哪個計算結果更大？

兩種情況均不要求學生算出準確答案，而是側重于他們能說出哪個計算會產生更大的答案。通過對部分學生的回答進行書面評估，發現當呈現情境任務時，所有學生都能清晰理解因除數變化造成的影響。然而，當計算以符號形式呈現時，比較計算結果的大小對所有學生來說并不簡單。研究結果表明，當問題出現在一個情境而不僅僅是一個符號計算中時，各個年級的學生都能表現出更高的推理能力，這體現了情境創設在數運算教學過程中的重要性。

Coulange和Ovide等人通過把分數作為一種測量載體，以單位換算為基礎創設了“機器人”教學情境，幫助學生理解“分數除以分數”。

首先在數軸上引入新單位表示機器人的移動情況，再根據移動情況表示機器人的單次移動距離。當機器人運動到數軸上第5個單位和第10個單位時，分別歷經3次移動和6次移動，對應的單次移動距離可以表示為 （圖4） 。

然后要求學生利用一個機器人的單次移動距離，表達與另一個機器人移動距離之間的長度關系（圖5）。這一步對理解分數除以分數至關重要。

學生通過在數軸上確定兩個機器人的“交匯點”，將問題“機器人B的一次移動距離 是機器人A一次移動距離 的多少倍？”看成一個分數除以另一個分數，即 。通過數形結合，學生知道“機器人A的5次移動 機器人B的6次移動”，得到等式 6，那么機器人B的一次移動距離就是機器人A一次移動距離的 ，即 ，變式得 。這種在數軸中找機器人交匯點方法的本質是對分數進行通分，找到兩個分數間的數量等式關系。學生在理解分數除以整數算理、算法的基礎上，可根據此計算結果驗證歸納出分數除以分數的算理，從而掌握分數除法的計算。

（三）運算與策略

心算指不使用外界工具，只運用大腦進行計算的方法，是學生運算能力的一種體現。Sarah和Ann為評估學生在乘法心算中的程序靈活性，對乘法運算時采用的心算策略進行了劃分（表1）。

同一專題中，在使用心算有助于促進學生更好地理解數字系統結構的觀點基礎上，Marie等人報告了六年級學生在面對可以通過心算回答的四則基本運算題目時的反應和使用策略。根據學生在計算時被觀察到的動作以及談話中表現出的對數字關系和結構性思維的認識，研究人員對學生的回答劃分等級并進行分析（表2）。其中，第4級表示學生可能使用了心算策略，表現出結構性思維。

研究結果表明，盡管被要求使用心算，大多數學生仍通過列豎式完成題目，其中還有相當一部分學生使用了單位計數法，把數拆分成個位數、十位數進行計算。心算策略的使用基于學生對運算律的掌握理解，而學生無法靈活使用心算策略的現象體現了學生數學結構思維的低水平和對運算律的理解運用能力不足。

三、結論與啟示

本文通過對ICME-15數與運算教學專題中有關數概念的教與學、數運算的教與學的報告進行綜述，為數與運算的教學實施提出以下幾點建議。

（一）關注概念教學，強化學生認知

數概念是小學階段數學知識的基礎，包括整數、分數、小數，此次會議為整數和分數的概念教學提供了框架和設計參考，也報告了學生在掌握小數概念過程中存在的問題。教師應以數概念的本質作為教學基點，注意聯系數概念之間的關系，借助生活情境幫助學生理解數概念。

此外，位值概念的理解對于幫助學生熟練掌握整數加減法的運算非常重要，教師應利用好位值概念，豐富教學手段，通過教具演示鞏固學生對多位數加減法的理解。

（二）尊重學生差異，豐富教學設計

學生作為獨立的個體，彼此的發展之間存在差異。APOS理論作為數學教學的重要理論，主張不對學生做共同起點、共同背景、通過共同過程達到共同目標的假設。因此，教師在進行教學設計時，應尊重個體知識差異，創設教學情境、設計教學任務，以適應、推動每個學生的發展。在數學教育研究領域，人們認為，使用開放式任務能夠使學生在各自的學習水平上取得進步。SilkeFriedrich等人設計了一項開放式任務“發明方程和方程組”，由教師為學生提供數字卡片和運算符號卡片，要求學生盡可能多地利用卡片組合方程組，以此讓不同成績水平的學生能夠在不同難度層次上進行學習，實現發展。

（三）重視運算律，培養策略靈活性

運算能力是小學數學核心素養的主要表現，指根據法則和運算律進行正確運算的能力，強調學生對運算策略的合理選擇與運用。運算律作為運算的基礎規律性質，是算理和算法的重要依據，也是培養學生運算能力的關鍵。學生運算策略的發展與其對運算律的掌握程度存在密切聯系，Marie的實驗結果說明了即使是小學高年級學生也存在對運算律認識不足的情況，這不利于學生的后續運算能力的發展。基于此，教師應重視運算律的教學，推動學生理解運算律，靈活發展運算策略，進而實現運算能力的提升。

【參考文獻】

[1]Kees Hoogland. Rethinking basic skills in primary mathematics education[C].Sydney：15th International Congress on Mathematics Education， ICME-15，2024.

[2]Lasa， A.， Santos， C.，Uzqueda， M. Test design to measure number system knowledge in Primary School Teachers in Initial Training[C].Sydney：15th International Congress on Mathematics Education， ICME-15，2024.

[3]Hélia Pinto，Ema Mamede. The gallery walk to improve （pre）-service teachers’ ideas of rational numbers [C].Sydney：15th International Congress on Mathematics Education，ICME-15，2024.

[4]Nosisi Nellie Feza.Pre-grade r numerosity levels and gaps： a case of south african learners in the eastern cape[C].Sydney：15th International Congress on Mathematics Education，ICME-15，2024.

[5]Shiqi Lu， Zalik Nuryana. The construction of quantity sense evaluation system under the guidance of Core[C].Sydney：15th International Congress on Mathematics Education，ICME-15，2024.

[6]黃偉星.踐行單元整體教學體現學科育人價值—以“整數的認識”教學為例[]小學數學教育，2023，（06）.

[7]Xiaoyu Ni， Wenbin Xu， Yunxian Chen.The integrated teaching design ： the cognition of 0-9 numbers[C]. Sydney：l5th International Congress on Mathematics Education，ICME-15，2024.

[8]徐文彬，陳韻嫻，潘禹辰.小學數學“ 數的 認識”單元知識結構的確立（上）[J].教學月刊小學版（數 學），2023（11）.

[9]Athar Firouzian. Fractional and proportional thinking： common roots， different perspectives[C].Sydney：15th International Congress on Mathematics Education， ICME15，2024.

[10]Christina Misailidou，George Baralis，Maria Polydera.Primary pupils’ understanding of decimal numbers： An attempt for a comprehensive diagnostic assessment[C].Sydney：15th International Congress on MathematicsEducation，ICME-15，2024.

[11]Sarah Hopkins， Ann Downton. Assessing children’ s capacity for procedural flexibility with mental multiplication [C].Sydney：15th International Congress on Mathematics Education，ICME-15，2024.

[12]Marie Weitz. Learners’ responses to tasks that were amenable to be answered using mental calculations[C]. Sydney：15th International Congress on Mathematics Education，ICME-15，2024.

[13]Silke Friedrich. The use of an open-ended arithmetic task in correlation with the individual learning achievement [C].Sydney：l5th International Congress on MathematicsEducation，ICME-15，2024.

注：本文系浙江省哲學社會科學規劃課題“基于認知發展模型的義務教育教科書編寫質量提升研究”（課題編號：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關計劃項目“建設高質量教育體系背景下義務教育教科書編寫質量提升路徑研究”（項目編號：2023GH005）的研究成果。鞏子坤為本文的通訊作者。