跨越學段界限的“相對性眼光

本刊在2025年第1-2期刊登的《跨越學科界限的“相對性眼光\"》一文，區分觀察對象或現象時會采用絕對性眼光和相對性眼光。絕對性眼光具有經驗文化的常規性、社會約定的趨同性、觀察方式的確定性、觀察結果的單一性。與之相對的相對性眼光則表現為有悖常規的變通性、與眾不同的差異性、靈活多樣的可能性以及多種可能的選擇性。[1]

在此基礎上，本刊在2025年第3期又刊登了《相對性眼光的“重組”功能》一文，進一步闡釋了在相對性眼光的觀察過程中，“整體與部分、靜止與運動、虛無與存在\"的相對性關系，表現為“重新塑型整體、重新把握關系、重新聚焦對象\"的重組功能。不同的重組方式使得多樣化的解題方法得以自然、直觀地顯現。[2]這種認知方式的應用與相關能力的提升貫穿于各個學段的課程內容認知過程中，具有跨越學段界限的貫通性。本文將通過具體實例進行說明。

一、人教版教材一年級下冊中的實例

2024年國家教材委員會專家委員會審核通過的人教版教材一年級下冊第7頁中呈現了一道思考題（以下簡稱\"例1\"）（如圖1）。

思考題

把一張長方形的紙剪成大小相等的兩部分，你能想出哪些剪法？

這是一道開放性極強的問題，不同的眼光會帶來多樣化的方法和結論。

（一）對折重合

用直接且常規的眼光看，利用長方形的軸對稱性質，通過對紙的對折與重合活動，可以得到沿對稱軸剪開的方法（如圖2）。

這種方法是將對折之前的長方形看作一個整體，通過對折過程將這一整體分為兩個部分（小長方形），然后根據觀察到的重合現象推斷出兩個部分形狀與大小相同。相對于這種直接且常規的眼光，還可以采用構造背景的眼光對長方形這一整體進行重組，從而發現更多的剪法。

（二）構造背景

與對折重合的常規眼光不同，構造背景指的是無中生有地在長方形內部構造出形狀、大小相同的“小格”（這樣的小格不一定是正方形），使得原本空無一物的長方形內部成為由多個相互關聯的部分組成的結構，這樣的結構就構成了長方形存在的背景（如圖3）。

在背景的映襯下，對長方形的觀察會揭示出更多的內容，比如原本隱性或不存在的“行與列\"以及“小格個數\"變得可見，實現了面積這一連續量的離散化，即將連續量的測量轉化為離散量的計數。由此可以得到如圖4所示的多種剪法。剪開的兩個部分既可能是形狀、大小完全相同（如圖 4① ），也可能是形狀相異，但大小相等（如圖 4② ）。

與前面提到的對折重合方法類似，構造背景的方法也適用于低年級學生的教學。通過計數（數小格）的過程，學生可以自主探索等分長方形的不同方法，且逐步發展并提升幾何直觀以及計數的能力，同時也為第二學段面積概念的認識積累認知經驗。此外，還可以將“圖形的運動\"融入認知過程，用視靜為動的眼光探索這一問題。

（三）視靜為動

視靜為動指的是用相對性眼光看待靜止與運動之間的關系，將視覺上靜止的對象視為處于運動狀態，即將不同空間方位的對象看作同一對象在時間意義上的不同狀態。例如，一條對角線將長方形分為兩個直角三角形（如圖 5① ）。若以靜態的常規眼光看，這似乎是空間方位上兩個不同的三角形。然而，若采用視靜為動的眼光看，它們則成為同一個三角形在時間意義上的不同狀態（如圖 5② ）。

以例1中等分長方形的問題為例，通過對角線分出的兩個直角三角形之間的“形狀與大小相同的關系\"（以下簡稱“全等關系”不易直接通過對折重合直觀看出。但若用視靜為動的眼光看，將其中一個三角形（圖5中的陰影三角形）逆時針旋轉180度，便能實現重合（如圖 5③ ），從而證明沿著長方形對角線剪開得到的兩個直角三角形具有全等關系，因此存在沿長方形對角線剪開的兩種剪法。

進一步觀察可以發現，如果確定了長方形的中心（即兩次對折折痕的交點，或兩條對角線的交點），通過這一中心的任何一條線段都可以將長方形分為兩個部分（梯形）（如圖6① ）。采用視靜為動的眼光，將其中一個部分（圖6中的陰影梯形）逆時針旋轉180度（如圖 6② ），同樣可以發現這兩個部分具有全等關系（如圖 6③ ）。這表明將長方形分為兩個形狀和大小相同部分的分法是無限多的。

綜上所述，盡管例1等分長方形的問題出現在小學一年級教材中，但它所蘊含的認知方式和能力卻并不簡單。除了采用對折重合的常規眼光，至少還可以采用構建背景和視靜為動的相對性眼光進行探究。這種認知方式在小學中高年級以及中學數學課程內容的學習中具有普遍適用的廣泛性和有效性。

二、小學中高年級數學課程中的實例

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標\"）中，二維平面圖形“面積的測量\"作為新增內容，其認知基礎建立在一維長度測量之上。長度測量作為一種連續量的認知過程，是在確定了測量單位后，通過連續的迭代與累加單位來完成的。例如，在確定了1厘米作為長度單位后，測量線段長度的過程就是通過連續迭代與累加1厘來長度的線段，來求得其他線段的長度，這一過程可以簡稱為“知一求幾”。

面積測量與長度測量的一個顯著差異體現在“知一求二\"的過程中[3]。在人教版教材三年級下冊中，通常以正方形的面積定義面積單位，例如\"1平方厘米\"定義為邊長1厘來的正方形，面積是1平方厘米。4基于此定義，自然引出如何解決“知一求二\"的問題。為了行文方便，將這一問題表述為例2的形式。

·例2：在面積是1平方厘米的正方形的基礎上，如何作出面積是2平方厘米的正方形？

運用長度測量中常規的迭代與累加方法，不難得到面積為2平方厘米的長方形（如圖7）。

接下來的問題是如何將這個長方形轉化為面積相等的正方形?？梢岳谩安糠峙c整體\"的相對關系，將圖7中面積為2平方厘米的長方形進行重組。通過先畫出一個面積為4平方厘來的正方形（如圖 8① ），然后連接各邊中點，構成面積為2平方厘米的正方形（如圖 8② 陰影部分）。

這種方法是將圖7中面積為2平方厘米的長方形這一整體，納入到面積為4平方厘米的正方形這一更大的整體中，使得原本的整體轉化為新的整體的一部分，進而揭示了部分與整體以及部分與部分之間隱性的關系。

換一種眼光來看例2，還可以通過一系列包括構造背景和視靜為動的認知方式對圖7中面積為2平方厘來的長方形進行重組，從而直觀、清晰地獲得答案。下面用表格形式呈現這一過程（如表1）。

對比第二步的長方形與第四步的正方形，可以直觀看出構成兩個圖形的四個小三角形具有全等關系，因此面積都是2平方厘米。通過這樣的重塑過程可以發現，面積為2平方厘來的正方形的邊長，實質上是邊長為1厘米的正方形對角線的長度。因此，以邊長為1厘來的正方形對角線為邊長作出的正方形，面積就是2平方厘米，即虛線正方形面積是原正方形（實線）面積的2倍（如圖9）。

如果用符號 和 分別表示原正方形的邊長和面積，那么圖9中所作出的虛線正方形面積就是 。進一步用例1中對稱的眼光將圖9重新塑型為圖10的形式，就會發現這樣的結論實質是初中數學課程中勾股定理對于等腰直角三角形的特殊情況，即直角三角形兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方（如圖10）。

例1與例2雖然屬于不同學段，但它們的認知過程都運用了相對性眼光的重組功能，具體表現為構造背景與視靜為動。這種眼光同樣適用于小學高年級“圓的面積\"的初步認識。小學階段中“圓的面積\"的初步認識通常始于圓的內、外兩個正方形的比較，從而得到圓的面積所在的范圍。

例3：如何直觀看出圓內、外兩個正方形面積之間的關系？（如圖11）

用靜態的常規眼光很難看出圖11中圓內、外兩個正方形面積之間的關系。改為動態的眼光看，將圓內小正方形順時針旋轉（如圖 12① ），使之方向發生改變（如圖 12② ），然后作出圓的兩條直徑，構造出可供參照的背景（如圖 ），這時兩個正方形面積隱性的2倍關系就直觀地顯現出來了。

如果用字母 表示圓半徑，那么圓外大正方形的邊長與面積分別為 2r 和 ，由此立刻得到圓內小正方形面積為 。因此，實現了對圓面積范圍的估計，即圓的面積介于 與 之間。

這些例子表明，構造背景和視靜為動的相對性眼光貫穿于小學數學課程內容的認知過程中。這樣的認知能力在中學數學的學習中將發揮重要作用。

三、初中數學課程中的“勾股定理”

勾股定理也叫畢達哥拉斯定理，它描述了任意直角三角形三邊之間的關系，即兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方。如果用字母 和 b 分別表示直角三角形兩條直角邊的長度，字母 表示斜邊的長度，勾股定理可以表達為等式 （如圖13）。

勾股定理出現在古希臘歐幾里得的《幾何原本》第一卷命題47中，其純演繹的證明過程在燕曉東編譯的中譯本中用了一整頁的篇幅，[5]讀懂這樣的證明過程自然是有一定難度的。2022年版課標“附錄\"中的例82（以下簡稱“課標例82”），使用動態軟件演示了一種直觀證明的方法，旨在將復雜的演繹推理過程變得直觀易懂。如果將前文中提及的構造背景與視靜為動的相對性眼光應用于直觀證明過程，將使整個證明過程更加完整和清晰。

用幾何語言表達勾股定理，可視為前文例2中圖10的推廣，即兩條直角邊上分別構造的兩個正方形面積之和，與斜邊上構造的正方形面積相等（如圖14）。所謂直觀證明，即通過視覺直觀地看出這種相等關系。

課標例82所展示的直觀證明過程，呈現了由四個具有全等關系的直角三角形拼出的正方形，其內部空白正方形邊長等于原直角三角形的斜邊 ，因此這個空白正方形的面積為 （如圖 15① 。

隨后，通過動態軟件的演示，將此圖形重新塑型為圖 ，其中包含與原直角三角形全等的四個三角形和兩個面積分別為 和 的小正方形。通過兩個圖形的比較，發現外圍大正方形的邊長都為 a+b ，且包含的四個三角形面積相同，從而推斷出兩個圖形中空白部分面積相等，即 。

根據目前查閱的文獻，這種直觀證明方法出處始見于1975年9月美國《數學雜志》的“無字證明”欄目，作者是美國數學家魯弗斯·艾薩克（RufusIsaacs，1914—1981）[6]。這一方法通過制作完成的兩個圖形進行比較，直觀地展示 與 的相等關系。從學生認知的角度看，整個過程并不完整，缺少了讓學生經歷構造圖形全過程的認知活動。

四、用相對性眼光直觀證明勾股定理

勾股定理的證明方法很多，美國中學教師盧米斯（ElisoaS.Loomis，1852—1940）傾其一生收集和整理了勾股定理的不同證明方法，這些方法被收錄于名為《畢達哥拉斯命題》一書中，書中包含了從古至今超過350種證明方法。7]盧米斯將這些方法分為代數、幾何、向量和物理四個類型。8其中，幾何方法特指避免代數運算，通過建構與重構圖形來直觀展現圖形之間關系的方法，如課標例82的直觀證明方法就屬于盧來斯所說的幾何方法。教學此方法時應引導學生經歷構造圖形全過程的認知活動。

·例4：如何從圖13原始的直角三角形出發，自然而然地構造出圖15的兩個圖形？

下面運用構造背景與視靜為動的相對性眼光，分三個步驟對課標例82的直觀證明進行完善。

第一步：以原三角形為起點，采用類似于前文中例1的方法，通過視靜為動的逆時針旋轉，將原直角三角形重新塑型為一個長方形（如圖16）。

第二步：在第一步的基礎上，將長方形逆時針旋轉，重新塑型為兩個長方形（如圖17）。

第三步：在第二步的基礎上，將每個長方形對角線分割出一個三角形（如圖 18① 中的淺灰色三角形），然后視靜為動地旋轉（如圖 ），從而構造出一個邊長為 a+b 的大正方形，其內部無中生有地顯現出邊長為 c 的空白正方形（如圖 18③ 。

通過這種方式，就構造出了圖 15① 的圖形。在此基礎上，將圖中兩個淺灰色三角形通過旋轉返回（如圖 19① ），并保留大正方形邊的痕跡（如圖19中的虛線），就得到圖 15② 的圖形（如圖 ）。

經過這種構造背景和視靜為動的認知過程，圖15中兩個圖形之間的相互轉換及其關系就變得顯而易見，實現了抽象內容的具象化、復雜內容的簡單化以及隱性內容的顯性化，凸顯了“直觀\"的意蘊。這樣的直觀證明擴展了證明的意義，不僅能夠確定命題為真，而且具有解釋功能，使得“如何發現的過程”更加完整，“為何正確的道理”更加明晰。

綜上所述，相對性眼光的重組功能貫穿于義務教育數學課程內容的認知過程中，是學生數學學習過程中應當逐步提升與發展的能力。2022年版課標在“問題導向\"的修訂原則中特別強調了“促進學段銜接”，這意味著挖掘并構建各個學段課程內容之間的聯系是數學課程與教學研究的重要方面。

數學課程內容之間的聯系不僅體現在顯性知識之間的一致性關系或邏輯意義的因果關系上，還蘊含著認知意義的貫通性。因此，關于“學段銜接”研究的重要方面應當是挖掘不同學段課程內容認知方式的共通性，并將其融入日常的教學中，實現

認知方式的無縫銜接。

參考文獻：

[1部舒竹，羅玉曉.跨越學科界限的“相對性眼光”[J].教學月刊·小學版（數學），2025（1/2）：4-7.

[2]部舒竹.相對性眼光的“重組”功能[J].教學月刊·小學版（數學），2025（3）：4-8.

[3]郜舒竹，呂港麗.面積測量中值得重視的“知一求二”[J].教學月刊·小學版（數學），2022（10）：4-8.

[4]郜舒竹，魏衛霞.細品教材中“1平方厘米”的定義[J].教學月刊·小學版（數學），2022（9）：4-9

[5]歐幾里得.幾何原本M].燕曉東，譯.北京：人民日報出版社，2005.

[6]ISAACSR.Two mathematical paperswith-out words[J].Mathematicsmagazine，1975，48（4）：198.

[7]張冬莉，代欽.畢達哥拉斯定理證明2500年的文化史趣談：以E.S.Loomis的《PythagoreanProposition》為例[J].數學通報，2020，59（2）：10-15.

[8]LOOMIS E S.The Pythagorean proposition [M].Washington，D.C：National council of teachers ofmathematics，1940.

（首都師范大學初等教育學院）