基于“問題意識\"培養的初中數學教學研究

培育學生的問題意識不僅能提升學生發現、提出、分析與解決問題（簡稱“四能”的能力，還能有效拔高學生的數學思維，發展學生的數學核心素養.然而，有些教師仍將學習成績放在教學的首位，課堂上給予學生思考與表現的機會不多，學生因缺乏發現問題意識的機會而影響了個體的發展.為此，筆者立足于初中數學教學的視角，以一道題的教學為例，談談如何培養學生的問題意識.

問題展示

原題基于已知條件“拋物線 c y₁=a（x-n）²-1 ，直線 l：y₂=kx-kn-1^′′ ，探索如下幾個問題： ① 證明必定恒過 C 的頂點； ② 在 ，且 m?x?2 的情況下，恒存在 y₁?x-3 ，那么 m 的最小值是多少？ ③ 在 00 的情況下，如果直線下方所在的拋物線上有兩個或兩個以上橫坐標為整數的點，那么k的取值范圍是多少？

此為一道學生日常訓練中常見的“含參\"題，學生自主解題存在一定難度，為了借助本題培育學生的問題意識，教師可從如下幾個維度設計教學活動.

教學過程

（一）倡導合作交流，令學生“敢問”

“尊師重教”是鐫刻在每一個中國人心中的思想，學生從小在這種思想的熏陶下潛移默化形成了畏懼老師的心理，即使心中產生了疑問，也不敢勇敢地表達出來.殊不知，尊師重教的本質并非將教師推上絕對權威的位置，而是在互相尊重的基礎上實施\"教\"與“學”小組合作學習的模式可為課堂營造出民主的氛圍，活躍學生的思維，讓學生在小伙伴面前想說、敢說，此為發展學生個性、增強協作能力、取長補短的教學模式，是發展學生問題意識的平臺

關于本題的探索，教師可結合學情做好分組工作，并給予學生充足的時間進行交流，讓學生在互動中發現組內其他成員的優點，并從中汲取精華構建出自己的觀點.以某個小組的互動為例：

生1：第 ① 小問我的思維就卡殼了，生2：是不是可以將頂點坐標（n，-1）直接代入直線方程中，再觀察等式的兩邊是不是相等？

生3：我認為可以.根據題設條件，可知拋物線C的頂點位于直線上，那么該點必然滿足直線的表達式，用代數法解決此小問很科學.但后面兩問，我還要再想想.

分析從小組學生討論情況來看，小組合作的模式為學生創造了良好的溝通平臺，相比于師生，同伴關系讓學生們溝通起來更為流暢.12個小組同時合作，無形中就組成了12個“小課堂”，學生有了更多的表達機會，甚至一些平時比較膽小的學生也敢于在組內提出問題.因此，小組合作是一種保護學生學習積極性、幫助學生樹立學習信心的模式.

（二）捕捉知識生長點，令學生“想問”

很多時候，學生思維的障礙點往往就是知識的生長點.教師可根據學生在課堂中的表現，觀察與分析學情，鼓勵學生將自己的困惑表達出來，或從學生已有的知識結構、生活經驗出發，為學生提供表達機會，以探尋到學生思維的“最近發展區”，獲得知識的生長點.基于“知識生長點\"展開教學，可有效促使學生從當前的認知水平轉化到潛在認知水平上，凸顯教育的發展性特征，揭露教育的價值.

關于題目中的第 ② 問，教師可設計如下問題進行引導.

問題1拋物線 C₁：y₁=-（x-2）²+1 與直線 γ=0 分別在點（3，0），（1，0）處相交，那么 x 取何值可讓 γ₁?0 恒成立？

此為一個低起點問題，學生不費吹灰之力就可以給出結論，即在1?x?3 時滿足條件.

問題2直線 y=-8 與拋物線 C₁：y₁= # -（x-2）²+1 在點（5，-8），（-1，-8）處相交，那么 Ψ_x 取何值可讓 y₁?-8 恒成立？（學生自主得出結論為 -1?x?5

問題3直線 y=x-3 與拋物線C₁：y₁=-（x-2）²-1 在點（2，-1），（1，-2）處相交，那么 .x 取何值可讓 y₁?x-3 恒成立？（結論為 1?x?2 ）

三個由淺入深的問題串，促使學生在自主畫圖、觀察與思考中構建了模型.這幾個問題對學生而言具有熱身作用，但還未到達學生認知范圍之外，這就導致一部分學生感到“不過癮”，因此有學生主動提出問題：我們探索的是原題中的問題 ② ，為什么要研究這幾個問題呢？

此為一個高質量的問題，教師可順應學生的思維展開分析.教師可要求學生畫出拋物線與直線，而后進行類比分析.將含參問題轉化為圖象進行分析，充分體現了數形結合思想的應用，也成功驅動了學生的“提問\"動力與探索欲.

借助幾何畫板對以上三個問題進行展示，成功激活了學生的分類討論意識，學生自主將注意力轉移到原題問題 ② 的探索中.

生4：當 nlt;2 ，m?x?2 時， y₁?x-3 恒成立與題意并不相符，需舍掉；當ngt;2，m?x?2 時， y₁?x-3 恒成立依然與題意不相符，需舍掉；當 n=2 ，m?x?2 時， y₁≥x-3 恒成立與題意完全符合.（如圖1，具體解題過程略）

分析學生的思維需由淺入深逐步發展，教學時，教師可通過稚化思維的方式，基于學生的思維立場去分析問題，以避免跨度過大導致學生難以理解.低起點、密臺階的問題設計，令學生明確：當 n=2 時，直線 y=x-3 與拋物線 y₁=-（x-2）²- -1的交點為（1，-2），（2，-1），由此獲得 m 的最小值.此過程，將原本復雜的問題分化成一個個簡單的小問題，學生的思維在解題過程中拾級而上，由此對命題產生更深刻的認識.同時，學生自主提出的問題對課堂教學起到了“紐帶\"的作用，它令整個教學過程更加自然、流暢.

（三）借助拓展延伸，令學生“會問”

范例的拓展延伸可進一步深化學生的思維，學生在知識的內化過程中觸及其本質，從而提出高質量的問題，即“會問\"問題.

在獨立思考與合作討論的基礎上，學生總結出如下幾個變式：

1.創造變式，揭露本質

師：原題中的第 ② 問我們已經探索完了，大家掌握得如何呢？接下來，我們一起來看這個問題：關于原題中的第 ② 問，請大家自主改變題中條件“在 ?-1 ，且 m?x?2 的情況下，恒存在 ?y₁∣dlegt;x-3^′′ ，待求結論不發生變化，可怎樣設計？

變式1在 a=-2 ，且 m?x?2 的情況下，恒存在 ?y₁?x-3 ，那么 m 的最小值是多少？

變式2在 a=-1 ，且 m?x?2 的情況下，恒存在 ?y₁?x-2 ，那么 m 的最小值是多少？

師：以上兩個變式都將 a 值設定為負數，那么假設 a 的值為正數，還能求解嗎？如果不行，需從哪方面著手調整？

如圖2，若 _（a=1 ，畫圖形成開口向上的動態拋物線，且該拋物線的頂點在直線 y=-1 上運動.若頂點與直線 x=2 恰好重合，由圖象可見另一個交點處于拋物線對稱軸的右側，即橫坐標 xgt;2

基于以上分析，學生又提出如下變式：

變式3在 ^a=1 ，且 2?x?m 的情況下，恒存在 ?y₁?x-3 ，那么 m 的最大值是多少？

分析變式是一種改變問題形式，卻不改變問題本質的方法.引導學生自主提出并分析變式，不僅能讓學生進一步夯實對數學知識本質的理解，還能靈活學生的思維，滲透數學思想方法，讓學生基于數形結合大膽想象、分類討論，提升創新意識.

2.一題多解，強化認識

隨著探究活動的開展，學生獲得了豐富的學習經驗，并學會用數學符號語言描述問題.一題多解可促使學生從不同的維度去觀察與分析問題，具有發散學生思維、挖掘學生潛能的作用.此環節，教師可帶領學生整合不等式、函數與方程等知識來思考與解決問題，并借助圖象進一步揭示知識間的聯系.

師：現在我們再回過頭來分析原題中的問題 ③ 該怎么處理呢？

生5：在前兩問的基礎上分析此問，就簡單多了.根據題意，明確直線與拋物線 C 都過點 A（n，-1） ，根據00 的條件，構建圖3.想要獲得此問的結論，僅需觀察拋物線與直線交點之間的位置.

解法1：利用\"交點法\"解題聯立 解得 ?x₁=n，x₂=

如圖4，明確點 ^A，B 分別為直

線 ξ_l. 與拋物線 c 的交點，那么過點 B 作

直線 y=-1 的垂線，交于點 c ，由此可

計算出AC=x2-χ1=- 若想滿足問題

條件，僅需確保 ，也就是 kgt;2a. a

因為 04.

解法2：利用\"圖象法\"解題

如圖5，將點A （n，-1） 向右平移2個單位長度，新點的橫坐標為 n+2 ，根據問題條件，可知在 x=n+2 的條件下，恒有 y₂gt;y₁ ，因此有 a（n+2-n）²-1 ，經整理，有 kgt;2a. 因為04.

分析此問屬于含有多個參數的綜合性問題，對學生的思維要求較高.用字母來表示坐標，對學生的運算能力提出了較高的要求.解法1聯立方程消除y，借助其他字母來表示 ?_x 的值，令問題變得簡單；解法2則通過圖象法完美地避開了計算問題，這種方法直觀形象，可有效拓寬學生的視野，促進學生建模意識與直觀想象力的發展.

（四）揭示知識本質，令學生“追問”

為了進一步揭示此類問題的本質，此環節引導學生對解題方法進行追問，為提煉解題的通性通法奠定基礎，培養學生從特殊到一般的數學思想.

師：隨著探索的深入，我們已經完整地解決了這道題，根據以往解題教學的經驗，關于本題你們有沒有什么進一步想要探索的內容？

生6：當 a≠0，k≠0 時，原題是否可形成一般化的結論？

師：非常好！這是值得探索的追問.想要獲得舉一反三的解題能力，最好的辦法就是能通過解一題提煉出解一類題的一般方法.

師生活動：在教師的引導下，學生進行如下解析.

首先探索直線與拋物線 C 之間存在幾個交點，將 ?y₁=a（x-n）²-1=kx- kn-1 進行整理，有 ax²-（2an+k）x+an²+ kn=0 ，在 Δ=（2an+k）²-4a（an²+kn）?0 的條件下，若 k≠0，Δ=k²?0 必然成立，則有 接下來，則針對 a≠0，k≠0 的條件下，符號發生變化后 y₁，y₂ 之間的大小關系進行分析.在 agt;0 與 alt;0 的情況下，分別存在兩種情況（具體略）.

分析數學問題千千萬，但萬變不離其宗，都是基于一般性質適當變化而來的.因此，在課堂尾聲教師引導學生總結此類問題的一般性情況，可進一步梳理學生的解題思路，幫助學生構建解題模型，實現深度學習.

思考與感悟

（一）開放式的教學情境是激發學生問題意識的基礎

客觀存在的個體差異決定了每個學生的思維模式有較大差別，開放式的情境可為學生提供廣闊的思考空間，讓學生敢想、敢問、想問.本節課，教師以合作交流的方式讓學生自主探索問題，并鼓勵學生提出變式、追問等，學生在開放的氛圍下，主動參與、積極思考，提出了高質量的問題.

（二）保護學生的好奇心是激發問題意識的關鍵

當前，單一的考試評價制度依然支配著教與學的價值取向，分數成為素質教育難以逾越的屏障，“快節奏、大容量\"式的教學成為高效課堂的流行標簽，這也扼殺了學生的好奇心與想象力[1.初中階段的學生認知發展迅速，對一切都充滿了好奇教師應保護好學生的好奇心，好奇心是一切創造的根本.為學生提供寬松、愉悅的探索環境，可避免“機械模仿\"帶來的弊端.本節課，每個教學環節教師都充分尊重學生的個體差異，鼓勵學生大膽去想、去問、去探索，充分保護了學生的好奇心，學生在這種氛圍中感知學習帶來的成就感，有效發展了學生的問題意識.

參考文獻：

[1]顧日新.激活問題意識點燃思維火花——以一道高考題的兩個教學片段為例[J].數學通報，2018，57（12） 33-35+43