新高考視域下高中數學數形結合思維培養策略

高中數學知識抽象、復雜且涉獵頗多，對學生思維、素養與能力的要求較高。對此，高中數學教師教學應從知識灌輸轉為素養本位，通過激發學生的學習興趣、培養學生的數學思維與能力，促進學生主動學習并運用所學知識解決數學難題。數形結合思維既是重要的數學思維，也是常見的解題方法。高中數學教師應引進情境教學法、項目式學習法并且善用經典題型，逐步培養學生數形結合思維及應用能力，提高高中數學教學質量。

一、數形結合思維概述

（一）數形結合思維的內涵

中國著名數學家華羅庚提出：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數與形既是事物兩個方面的屬性，也是數學界最古老且基本的研究對象，若滿足“隱函數定理等數學定理支持”等條件則可相互轉化。數與形之間存在緊密聯系，此種聯系即稱為數形結合或形數結合，是一種數學思想，也是一種解題手段，廣泛應用于集合、線性規劃等數學知識領域，能憑借以形助數等方式幫助研究者或學生掌握抽象的數學概念、精準捕捉數學問題要點并且探尋有效的解決方法[1]。

數形結合思想本質是較為經典的數學思想與方法，指的是基于數學問題開展數學學習活動，確定問題所包含的數量關系并且利用幾何圖形表示此種關系、明確相應概念性質等，最終解決數學問題。

（二）新高考視域下的數形結合思維

隨著我國綜合國力持續提升與社會經濟快速發展，我國基于教育體制現存問題與愈發強烈的社會人才需求而推進高考改革，新高考更有利于選拔優秀人才，其重點考查學生的獨立思考與問題解決能力等，有助于培養學生的核心素養、綜合素質、創新能力等。據教育部教育考試院對2024年高考數學全國卷試題的評析可知，教育部教育考試院以《深化新時代教育評價改革總體方案》為指導創新設計高考數學試卷，其具體體現為如下方面：減少全卷題量，為學生留出更多思考時間；突破常規模式，創設全新試卷結果；突出整體設計，注重思維考查等[2]。隨著我國持續推進新高考，高考數學試卷加大了對學生數學思維能力的考查力度，旨在通過創設全新的試題情境、創新試題設問方式等，讓學生在獨立數學探索過程中形成高階數學思維，具備綜合運用數學基礎知識解決數學問題的能力。高考數學試題中的函數與方程題型、解析幾何題型等均蘊藏著數形結合思維，要求學生具備將代數條件轉為幾何直觀、實際問題建模等能力。與此同時，《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）（以下簡稱新課標）也強調了培養學生數形結合思維的重要性，一方面將其納入到“直觀想象”這一核心素養中，提出：“通過高中數學課程的學習，學生能提升數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力。”另一方面將其納入到學業質量水平中，用于評估各階段數學教師教學及學生數學學習情況，例如，水平一階段學生需“能夠用圖形描述和表達熟悉的數學問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數形結合”。

綜上可知，數形結合思維貫穿于高考數學重要題型并且屬于新課標提出的數學核心素養之一，符合新高考發展趨勢及“以核心素養為導向”“培養學生數學思維與創新能力”等要求。

二、新高考視域下高中數學數形結合思維的培養價值

（一）新課標視域下培養學生數學核心素養的重要體現

近年來，我國積極推進新課標與新課改，學生數學核心素養成為數學教學與考試的重點，符合我國基礎教育改革與素質教育要求，能培養出德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人。同時據上文可知，新課標中的“直觀想象”核心素養包含數形結合思維，并且提出學生數形結合思維培養諸多要求。對此，高中數學教師培養學生的數形結合思維既能培養學生的數學核心素養與關鍵能力，幫助學生運用抽象與邏輯推理等數學思維構建完整的數學知識體系，推動“立德樹人”理念深度落實。

（二）適應新高考對學生思維品質與應用能力考查的要求

2024年，我國推進第四批改革省份新高考落地，其以習近平總書記關于教育的重要論述為指導，遵循《深化新時代教育評價改革總體方案》不斷提高試題質量與創新試題形式，持續深化基礎性考查與拓展綜合性考查，重點考查學生的思維品質與助力學生素養提升。例如，2024年新課標I卷第12題主要考查雙曲線定義、函數和方程思想等，學生運用基礎知識進行邏輯推理即可算出答案，重點考查學生的直觀想象與數學運算等核心素養。由此可知，高中數學教師培養學生的數形結合思維符合新高考對學生思維品質與應用能力考查的要求，能增強學生對高考數學的適應力[3]。

（三）以先進思想方法提升高中數學課堂教學質量

數形結合在數學領域中是先進且重要的數學思想與解題方法，數與形結合承載著數學意識與數學知識。當前，數形結合思維貫穿于高中數學體系，如函數、解析幾何等，能指導高中數學教師教學與學生進行數學學習。一方面，高中數學教師引進數形結合思維能幫助學生建立抽象的數與具體的形之間的聯系，為學生學習“數”提供具象理解，為學生學習“形”提供嚴謹支撐，降低高中生數學學習的難度；另一方面，高中數學教師引進數形結合思維能幫助學生建立更直觀的解題思路與簡潔的解題方式。例如，針對“函數 f（x）=∣x²-5x+6∣-k 的圖像與解的個數分析”一題，傳統的代數解法步驟煩瑣，學生運用數形結合思維繪制 y=x²-5x+6 的拋物線，分析水平直線 y=k 的交點就能確定答案。

三、新高考視域下高中數學數形結合思維的培養策略一一以三角函數為例

新高考視域下，高中數學教師培養學生數形結合思維既符合高考數學改革要求，也能培養學生的數學核心素養。為增強研究的有效性與可行性，下面以“三角函數”為例詳細說明。“三角函數”在高中數學體系中占據重要地位，貫穿于代數、幾何等知識領域，包含正弦與余弦等基本概念、誘導公式、解三角形等知識，在高考數學試卷中占比約 10%-15% “三角函數”中蘊含數形結合思維，同時數形結合思維又能指導學生學習三角函數概念，并且將其同實際圖形相關聯，以此激發學生數學學習的興趣，培養學生的空間想象力，為學習其他數學知識夯實基礎。高中數學數形結合思維培養策略具體如下所示：

（一）創設趣味情境，激活數學思維

新課標提出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。”同時高考數學注重創設新穎的情境，加強數學試題與學生生活的聯系，幫助學生從多角度、多維度思考問題與運用知識。對此，高中數學教師培養學生的數形結合思維時應創設開放性、趣味性情境，讓學生能結合生活原型與利用自身知識經驗思考數學知識，探究數學問題，幫助學生以更直觀、具象的方式建立數學知識體系，激發學生的數形結合思維[4]。

1.創設數學文化情境，初步體會數形結合思維

數學發展歷史悠久且成果豐富，具有獨特的育人價值，能通過帶領學生探尋歷史脈絡而感受數學的魅力、帶領學生感悟數學故事打破數學枯燥的刻板印象。高中數學教師開展“三角函數的概念”教學活動初步培養學生的數形結合思維時，可引進數學史創設生動、立體的文化情境，激發學生的情感共鳴與降低學生的認知難度。

例如，三角函數源自于天文學，課前，教師先展示托勒密《天文學大成》中的弦表，比較此弦表與現代數學所用三角函數表，為學生講述托勒密運用幾何方法推導弦表的故事與價值。高中數學教師借助數學故事滲透三角函數的起源、正弦與余弦等知識，既能促進學生理解三角函數的基本概念與基礎知識，也能讓學生認識到數形結合的重要性，通過分析托勒密推導過程逐步體驗數形結合思維。

2.創設趣味問題情境，激活數形結合思維

高中生自主意識、探究欲望增強，同時渴望獲得他人的認可。對此，高中數學教師開展“三角函數的概念”教學活動初步培養學生的數形結合思維時，采取問題驅動教學法，利用環環相扣的數學問題來引導學生從多角度、維度思考問題，在具象且具有梯度的問題情境中激發數形結合思維，并且掌握關鍵概念、重要知識。

例如，為了促進學生深度理解三角函數的概念，教師可展示單位圓弧度制圖片，借助直角坐標系研究三角函數的概念：將 a 設為任意角，其終邊與圓交點是 p 。由此可得正弦函數、余弦函數、正切函數。待學生了解三角函數的概念及核心知識后，教師可反設問題：請以 p 點為起點，圍繞 a 點做逆時針旋轉運動，你能建立什么數學模型？如何描述p 點位置改變情況？高中數學教師可借助幾何圖形幫助學生掌握抽象的數學概念，同時將數學概念轉化為具體問題，讓學生通過分析與解答問題進一步深化數學概念。

（二）營造探究氛圍，鼓勵自主探究

高中數學教學過程中，數學教師以項目為載體設計多種任務，為學生提供自主探究與合作學習的機會，營造積極進取的學習氛圍，既能促進學生深度溝通與思維碰撞，也能讓學生在實踐探索過程中形成數形結合思維及知識遷移能力。其間，高中數學教師應抓住高中生的思維與能力特征，認識到高中生抽象思維趨于成熟、邏輯能力增強與辯證思維萌發，但是受學習能力與數學基礎影響，學生存在符號理解障礙、空間想象力薄弱、知識遷移困難等問題。對此，高中數學教師可鏈接現實生活，設計數學學習項目及任務活動，讓學生在觀察幾何圖形、數與形的關系過程中自然而然地形成數形結合思維，掌握以形輔數、以數輔形的思維方法[5]。

例如，針對“三角函數的性質”一課，數學教師可設計“三角函數的圖形密碼”這一主題項目，旨在讓學生通過幾何直觀掌握三角函數周期性、對稱性、單調性等性質，能認識到三角函數的現實價值，進一步提升學生的數形結合思維及能力。

任務1：學生運用圓規繪制不同角度的單位圓的終邊并且測量其坐標，繪制后，學生需制作三角函數表格：按照正弦、余弦、正切的順序填寫定義，按照sin α 、 cosα 、tan α 的順序填寫弧度制下的定義域。

任務2：觀察教師提供的三組圖片，小組合作探究“結合所學知識，觀察 α 終邊和單位圓相交的象限，你認為三組函數數值符號蘊含什么規律”。

任務3：請求證教師所提供的角 θ 是第三象限角的充要條件，解釋何為充要條件并且用圖像展示答案。

（三）抓住經典題型，推動深度思考

新課標強調數學實踐的重要性，提出“學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗”等要求。對此，高中數學教師培養學生數形結合思維時不能僅限于理論知識學習，應借助“解題”檢驗學生數形結合思維水平及現存不足，強化學生數形結合思維的應用意識與能力。同時，高中數學教師應認識數形結合思維分屬于不同知識模塊，既需要學生主動學習與探究，也需要學生歸納總結題型及解題思路等，建立個性化知識網絡并且懂得舉一反三、融會貫通。

高中數學教師應分析高考數學出卷思路與高頻考點，引進經典題型推動學生深度思考并且熟練運用數形結合思維。例如，正弦定理和余弦定理解三角形問題與三角恒等變換綜合應用解題的考查頻率較高，教師先出示2023年新高考Ⅰ卷第15題：

已知函數 f（x）=coswx-1（wgt;0） 在區間 [0，2π] 有且僅有3個零點，則 w 的取值范圍是 。

教師先要求學生結合所學知識解題，針對學生忽視邊界條件與函數圖像周期性行為的純代數思路，教師可引導學生進行數形轉換，將cos ws=1 轉變為 y=cosws 和直線 y=1 的交點并且畫出標準圖像，以更簡單且直觀的方式解題。其間，教師指導學生繪制余弦函數圖像，幫助學生通過觀察圖像確定零點分布等要點。

結束語

新高考背景下，高中數學教師應注重培養學生的數形結合思維等數學核心素養，基于學生的學情采取多樣化教學方法，引導學生自主探究與合作探索，讓學生借助趣味情境以更直觀、立體的方式學習知識與形成數形結合思維，通過實踐探索促進思維發展，讓學生能理解抽象的數學概念并且找到解題關鍵，促進學生全面、綜合發展。

參考文獻

[1]胡海俠.數形結合思想在高中數學中的應用J].數理化解題研究，2024（24）：8-10.

[2]張艷.數形結合思想在高中數學教學中的應用研究[].中國校外教育：上旬，2016（11）：2.

[3]馬建平.高中數學教學中數形結合思想的滲透路徑探究[J].求知導刊，2024（18）：41-43.

[4]喻明.淺談數形結合在高中數學教學中的應用J].中學課程輔導（教學研究），2018，12（26）：43.

[5]陳美蘭.新高考背景下高中數學數形結合解題法教學的有效策略Ⅲ.中華活頁文選（高中版），2021（6）：24-26.