新高考導向下提升高中數學解題能力途徑探究

近年來，新高考試題在重視基礎性的同時，突出了情境載體、學科融合以及思維深度等多個角度的考查要求，從而讓傳統教育理念下的教師過度干預學習、學生依賴題型套路做法出現難以適應改革趨勢的問題。為了解決此類問題，高中數學教師需要在新高考導向下，探索新的科學路徑促進學生數學解題思維能力的發展。實際工作中，教師應通過學生數學抽象、邏輯推理以及創新思維等多方面核心素養的關懷做到這一點。本文結合具體案例，展開了相應的研究工作，旨在給高中數學教學深入改革與適應新高考思路提供同時兼具理論支撐和實踐價值的參照。

一、新高考數學命題特點解析

新高考數學命題較之以往體現出如下特點，其一是更加關注對核心素養的滲透，強調了以試題為載體的數學抽象、邏輯推理、數學建模等多項素養的融入，比較典型的如2023年高考試卷中的南水北調情境題即是如此。其二是情境化命題趨勢明顯，有超過一半的試題與經濟、科技和傳統文化之類的現實情境有關。其三是題型具有創新性，增加了多選題、結構不良題以及跨學科融合類問題的比例。其四是思維更有深度，在減少機械計算問題的同時，對學生數學思想方法的靈活運用表現有更多要求[1]。

在新高考數學命題特點驅使之下，教師應當關注針對學生教育教學的側重點，積極做出相應的改變與調整。如教師需要關注核心素養內化貫通，使學生可以在復雜現實環境中剝離出非數學元素，準確尋找到數學元素并建立數學模型，使學生擁有足夠的邏輯推理能力，進行多步驟命題的嚴謹推導；需要關注知識體系深度重構，幫助學生打破章節壁壘，構建形成跨模塊聯系的能力，并做到對概念的本質性理解；需要推動學生思維品質全面提升，使之在批判性思維、創新性思維等方面擁有上佳表現；需要讓學生形成情境化問題應對策略，尤其是在跨學科信息處理、文化情境解讀等方面產生清晰認知[2]。

二、 \"直線與圓的位置關系”教學舉例

為了探索新高考導向下提升高中數學解題能力的方法，現以“直線與圓的位置關系”教學為例，進行具體探討。在高考數學中，和直線與圓的位置關系相關的考題類型較多，像直線與圓的位置關系、根據直線與圓位置關系求得參數范圍、切線、弦長、最值、隱圓等問題均與此相關[3]。直線與圓的位置關系部分在高中階段數學教學中占據舉足輕重的位置，它屬于重要知識點與關鍵高考考點，屬于學生數形結合思想培養的核心素材之一。在教學期間，高中數學教師應結合實際情況進行有效教學情境的創設，以便引領學生完成從數至形的轉變，獲得多種學習收獲，包括以代數法進行幾何問題的分析，獲得數形結合思想等，以適應新高考的新變化。

（一）教學內容分析

本節課選自人教版高中數學教材，需師生一起展開“直線和圓方程”以及“點到直線距離公式’等方面探索，并讓學生形成對方程式的牢固記憶，且在考試時加以靈活使用，同時學生需要聯系代數與幾何知道點和圓的位置關系，強化數形結合能力。因為屬于比較基礎，且具有承上啟下作用的內容，教師與學生一定要認真對待。

（二）教學方向分析

教學基本目標要求教師需要密切留意學生真實情況，即要提前做好學生在學習態度、學習能力方面的表現分析，再以對應教學策略使學生達到舉一反三的學習效果，將坐標圖像和公式一一對應。同時，教師需要聚焦新高考及核心素養中對于思維能力所提出的要求，在使學生習得具體知識內容的同時，擁有更強的思維能力，更嚴謹的邏輯思維及推導方法，并體會到數學的簡潔性特點[4]。因此，教師可以找準教學方向，啟迪學生從所給定的方程式出發，確認直線和圓之間的位置關系，并繪制相應的坐標軸圖像，學生應知道如何求取弦長，并在此過程中提升自我深度學習能力，再從本次教學的基本內容出發，在后續探索過程中順利掌握直線、圓的幾何圖像，還有與之相對應的方程式等。

（三）教學策略分析

實際教學時，教師應注意前期引導、中期學生主動參與，以及后期的總結評價。其中可表現幾個亮點，如當處于海上日落場景之下時，學生將知道直線與圓的不同位置關系，此時教師需要展現出實物投影信息技術作用，使學生做好思維從感性到理性的變化調整，并關注新高考所要求的化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般方面數學思想的滲透貫徹。

（四）教學過程分析

1.復習回顧及自主預習

利用復習使學生鞏固已經掌握的基礎知識，為接下來的學習儲備豐富內容。教師帶領學生思考直線方程的不同形式，重點強調直線一般式方程： Ax+By+C=0 。思考圓的方程不同形式，如圓的標準方程： （x-x₀）²+（y-y₀）²=r² 圓的標準方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0 （其中 D²+E²-4Fgt;0 \"點到直線的距離公式： ；直線和直線位置關系，點和圓位置關系，還有相應的判斷方式。

關于復習策略，建議側重于推送資源、獨立學習方式。教師在課前預先安排微課、學案、檢測等項內容的呈現環節，讓學生得到自主學習框架及資源?；谌蝿諉蔚奶崾荆瑢W生以恰當方式進行自主學習。如學生可以基于教師推送內容，了解視頻中呈現的純幾何角度知識，像直線與圓包含相離、相切、相交等位置關系，并以直線和拋物線交點問題進行直線和圓方程問題類比，利用方程組解的個數判斷得到直線同圓交點個數及位置關系，或者進行圓心到直線距離同半徑比較結果的比較，從而確認直線和圓位置關系。學生能夠在自主學習后填寫學習單，掌握基本原理。

2.情境創設和概念引入

學生知識回顧與自主預習之后，教師可用情境創設形式引入本次數學概念，其間可添加圖片、視頻、畫板動態演示等形式，用以促進學生探索興趣，更有意愿接納抽象數學知識[5]。教學之初，教師為學生呈現海上日出的短視頻，使學生思考日出時體現出直線和圓具有什么樣的位置關系？唯美的視頻等會很快將學生帶入到探索狀態。接下來教師給出另外的問題場景：一艘輪船在按照直線返回港口時，忽然接到臺風預報，預報表明臺風中心處于輪船正西 70km 位置，臺風影響半徑為 50km ，當前臺風中心位于港口正南 70km 處，如果輪船按照航行計劃前進，它是否會受到臺風影響？學生將在思考本問題時，同時思考其本質屬于何種數學問題，最后用畫板演示船的行駛路徑，引入本次內容。

3.概念辨析與典例示范

為了讓學生在教學過程中得到適應新高考解題能力的充分訓練，教師應基于對概念的辨析，做好典型例子示范，由此使學生在概念教學期間深入投入概念知識探究狀態，對概念內涵與外延、概念關鍵特點、概念實際運用策略形成清晰認知。在此期間，教師應讓學生以小組合作討論形式、生生互動探究形式關注典例。例如，在充分預習與概念初步認知后，教師給出具有典型性的問題：已知直線1：3x+y-6=0 ，圓 C：x²+y²-2y-4=0 ，試問二者間是何種位置關系，如其屬于相交關系，則圓C 所截直線1弦長是多少？

本題旨在需要學生判斷直線和圓之間位置關系，在前面環節引入時，學生已然可以知道兩種解決問題的方法，對應求弦長策略與之類似。教師示范解法，對兩種解答做示范講解，學生可用筆記錄，或者錄下復習。為了使示范案例發揮更好的效果，加深學生判斷直線與圓位置關系的印象，教師還可給出直線方程改變而圓的方程不變的變易圖式，讓學生設計題目并完成。當學生完成以后，再以展示其中部分學生的答案。這種做法將起到實時監測學生學習情況，并給學生提供適時幫助的作用。

4.多種解題技巧的實際訓練

在本環節，教師直接提出與高考要求相適應的，能夠訓練學生思維與邏輯能力的問題，學生將以基本概念認知為基礎，從不同角度完成這些問題。

（1）幾何法角度的訓練

在處理直線和圓位置關系問題時，“幾何法”是重要形式，當給出的條件比較復雜，且問題情境未能十分明確的情況下，學生使用這種方法可使解題效率變得更高。實際操作過程中，學生將利用對直線是否和圓相交進行判斷，從而知道其關系屬于相離、相切又或者是相交。一般來講，在使用幾何法時，學生將分為三個步驟處理問題，首先是圓心到直線之間距離 d 的計算，其次是做 d 與半徑 r 之間關系的比較，最后是基于基本概念得出結論。例如教師給學生提供下述問題：按照下面圖一所示，請給出同圓 x²+y²=1 ，以及圓 （x-3）²+（y-4）²=16 均屬相切關系的直線方程。

圖一本題解題方法多元，可使不同水平、不同思路學生展示自我潛能。試題以兩個已知圓作為背景，利用圓的方程能夠獲得兩個圓基本信息，確認它們之間的位置關系，在把符號語言向圖形語言轉化后，可以做兩個圓公切線的直觀判斷，發現 m ， n 兩條外公切線，l一條內公切線。最終確認多種解決方案。其一：求得外公切線 n ，用幾何直觀法較快給出答案。從幾何法的角度，教師將指導學生解決：由于圓O₁：x²+y²=1 ，圓 O₂：（x-3）²+（y-4）²=16 圓心距是 ∣O₁O₂∣=1+4=5 ，因此兩圓屬外切關系，同時由于已知直線 L₁：x+1=0 是兩圓公切線，同時公切線 L₁L₂ 關于直線 O₁O₂：4x-3y=0 對稱，因此直線 L₂過直線L同直線QO交點，又由于{4x-3y=0，得到 的交點坐標。在此之后設直線 L₂ 方程，且因為直線 L₂ 與圓 O₁ 屬相切關系，解得 ，因此知道直線 L₂ 方程是 7x-24y-25=0 ，最終得到公切線方程結果。其二：從求內公切線 l 的角度，以二級結論法給出答案，此時兩圓一般方程直接相減可消掉二次項與化簡。其三：用通性通法也就是待定系數法得到三條公切線內的某一條，此方案耗時較多，如在求外公切線方程時，應借助向量、定比分點來得到圓心連線和切線交點坐標（B） 由 ，求得點 ，繼而設外公切線方程 ，接下來基于相切求得 k ，得到 m，n 兩條外公切線方程，與之同理，點 A 坐標與內公切線 l 方程也可得到。本題以通性通法作為基礎，一題多解的形式可以給不同能力水平學生創造適宜于自身的且可打破常規的獨立思考及判斷機會，讓學生的學習效能獲得感得到增強。

（2）代數法角度的訓練教師在要求學生解決直線與圓位置關系問題

時，應注意代數法使用的必要性。代數法意為借助代數方法與方程進行問題描述并加以解決，它可指導學生進行精確描述，并在引入變量與方程后確認直線和圓的性質、相應位置關系，像方程能夠將直線斜率與直線截距表示出來，將圓半徑與圓心坐標表示出來，這將起到它們之間位置關系準確描述的作用。對于學生而言，把原來問題向方程求解問題方向轉化，從而得出準確結論的做法具有一定可行性及普適性，是一種在平時訓練及高考應試時一種有效數學工具及方法。仍以前面給出的問題為例，學生可在教師的提示下重新解決：由題意能夠知道，圓 O₁：x²+y²=1 ，圓 O₂：（x-3）²+（y-4）²=16 ，所以兩個圓都有不為0的公切斜率，能夠設公切方程x=my+t（m≠0），因此|t|=|3-4m-tl，故 3-4m-t=±4t ，也就是 t²=1+m² ，最終得到正確答案。這種做法是正面解題的典型，它直接設切線方程公式，以代數法特質為依托計算得到公切線數據，使問題得到順利解決。

（3）分類法角度的訓練

分類討論法對學生解決直線與圓位置關系問題具有啟發意義，在分類討論狀態下，學生有可能把原本復雜問題進行簡化，化為易于理解的數個子問題，并加以逐個擊破。為了幫助學生運用這種策略，教師可列出直線與圓的幾種位置關系情況，并分別說明，如直線與圓相離時，直線和圓之間沒有交點，此時可以用直線到圓心距離同圓半徑關系的計算進行判斷，直線與圓屬于相切關系時，二者只有圓上一個交點，此時可以利用直線到圓心距離同圓半徑關系進行判斷，當直線穿過圓時存在兩個交點，進行直線與圓方程計算得到交點坐標的做法是適宜的。之后教師給出問題：針對 m 值做直線： x-my+4=0 和圓 x²+y²=4 二者之間關系的討論。學生可由方程組消去 x 得到 （1+m²）y²-8my+12=0 ，Δ=（-8m）²-4（1+m²）×12=16m²-48 ，按照 m 取值范圍進行分類討論得到不同情況，即在 Δlt;0 的情況下直線和圓屬于相離關系，在 Δgt;0 的情況下直線與圓屬于相交關系，在 Δ=0 的情況下直線與圓屬于相切關系。分類討論形式讓學生學會具體情況使用恰當策略解決問題，增強了其問題探索能力。

5.課堂小結

教學至此，教師需要使用課堂小結形式，以開放式的結尾讓各個層次學生進一步參與探索總結，鞏固直線與圓位置關系知識點，梳理本次學習時涉及的數形結合等思想。在此過程中，學生將比較高效地進行所學知識概括、提煉與升華，做到知識結構不斷完善、數學思維融會貫通。

三、教學總結與反思

（一）教學總結

新高考導向下，以提升高中生數學解題能力為指向的課堂教學，應當是側重于學生自主學習能力與學科綜合素養的，要讓學生在學習過程中逐步擁有符合數學基本特征的思維品質、特定能力和情感態度，所以教學過程中需要避免機械灌輸的做法，而是要循序漸進地引導學生掌握自主學習及探究策略。在本節課中，考慮到學生在初中階段擁有直線與圓位置關系的初步印象，教師利用引導其自主鞏固、主動預習的做法，使之進行回顧，并通過生動情境案例引導其做出概念探索和思考，接下來做出典例講解，并使學生進行不同角度的問題解決嘗試。整個過程中比較清晰地引導學生對直線與圓的位置關系知識點和題型產生整體認知，教學效果較為理想。

（二）教學反思

隨著學生在課堂上的慢慢挖掘和步步深入，他們逐步擁有了適應新高考解題要求的獨立思考能力，可以有意識地基于自身解題經驗，用探究心態做好題目中隱含信息的挖掘和分析，在此期間他們的思維也隨之發散開來。但本次教學依然存在一些可調整之處，做好以下幾點，將更加有利于學生數學核心素養的真正落實，有利于接近新高考導向要求。

1.教師要有更加巧妙的設問

巧妙設問的形式可以使學生的數學解題過程與探究學習過程充滿矛盾和驚喜。教師在對問題進行設計時，既應關注難度，層層設問，而且應在學生課前熱身和例題解決各環節中，基于學生對知識掌握程度的變化，設計出適宜度較高的優質問題，特別是在學生解決問題的關鍵階段，可能會發現之前所熟知的解決問題思路可能不適用，會陷入到認知困境之中，這時更應當得到教師設問形式的提示，這將讓學生心中生成強烈矛盾沖突，并由此產生豁然開朗之感，順利突破此時的思維局限。

2.教師應更合理使用技術輔助手段

教師需要在教學過程中增加技術輔助手段，給學生的探究學習與解題能力發展創造優勢條件。在本節課教學時，諸如幾何畫板等形式的運用給學生的圖形特征研究提供了便利條件，由此幫助其快速找到解題思路。未來教學時，教師應以促進學生解題能力發展與高考適應性為導向，進一步調整傳統教育理念下的重講授、輕過程和重結果思路，持續做好課堂教學優化工作，尤其是應借助可視化教學工具改善輔助教學效果，豐富教學資源。如，在講解本課類似問題時，教師可以借助GGB軟件做不同位置關系的動態演示，使學生得以借此把握住問題本質。與此同時，諸如GGB軟件動態演示等形式還會讓學生迅速從圖形中觀察發現問題中所提出的最值位置要求，得到正確的解題思路，促進其數形結合思想實踐操作中的貫徹。而在學生應用繪圖軟件時，學生的自主探究潛能也將得到發展，他們會在厘清圖形間關系的情況下，自覺發展數學抽象和直觀想象核心素養。對于教師而言，這種更合理使用技術輔助手段的做法，則可產生暴露學生解題思維問題的作用，能夠增強對學生研究、探索、總結數學知識過程的分析效果，有益于接下來教學操作過程的合理安排。當然，信息技術僅是一種起到輔助作用的工具，因此在教學時應留意時間的分配，與內容的協調，這樣才會產生更好的課堂教學與學生引領效果。

3.教師應重視教學拓展工作

經歷解題能力教學訓練之后，學生可以對教師給出的提示方法、思路產生深刻印象，對具體的解題過程環節也有了較細致體驗。然而，作為親身經歷者，學生是不能在課堂上事無巨細地感受到本部分知識的各個方面，也不能從更深遠視角體會到知識同自身綜合能力之間的關系。

結束語

在新高考導向之下，高中數學教師在教學時要勇于突破傳統模式，以學生核心素養培養為指向，做好數學抽象、邏輯推理與創新思維能力提升促進工作。本文據此要求，以“直線與圓的位置關系”為例，探討了情境創設、概念辨析、多角度解題訓練等實用策略，以期幫助學生更好適應新高考命題特點，突破自我解題能力及核心素養發展局限，由此做到從被動接受轉向主動探究，深化對知識的理解與應用。未來，教師還需進一步做教學設計與技術輔助手段的優化，并關注到學生個體差異，針對性地使用激發其學習潛能的手段，為學生終身學習和發展奠定堅實基礎。

參考文獻

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