幾何與代數的橋梁

向量作為高中數學的重要知識之一，在高中數學中占據重要地位，無論是數學中的代數、幾何，還是理學中的物理等學科，都離不開向量知識，是解決數學、物理、計算機等相關學科問題的重要工具與手段。由于向量具有大小和方向，這種定量定性的對象可以用于表示與描述，向量實質是一個重要的數學工具。從數學知識來看，高一已經接觸了向量初步知識，高二將進一步理解向量，并且由于高中階段學生數學學習能力逐漸形成，因此對向量教學處理應該更加側重代數和幾何的意義及方法，以保證學生能夠較好地掌握向量及向量應用。但是在實際的向量教學中，由于一些原因特別是由于對學生具體進行向量教學時過于重視物理中的應用，而對于數學應用介紹不足或不重視，從而造成教材中許多向量內容只是各環節的展示，缺少整體性，致使學生不能整體把握，從而在運用過程中，理解掌握不夠全面、深度，常常出現“抓不住、不聯系”的現象，甚至造成學生的畏難心理。因此，本研究提出在教學中對學生向量基礎知識要充分理解，可以兼顧代數與幾何應用及意義，要注重用整體意識強化向量在代數和幾何中的思想，優化學生的思維能力和數學素養培養，提高學生的數學水平。

一、幾何與代數的橋梁 向量的基本概念與應用

（一）向量的定義及基本性質

向量是一個既有大小又有方向的量，它在數學及物理中有十分廣泛的應用。相比較標量（只有大小），向量不僅依賴于數值的大小，而且依賴于它的方向，因此其數學內涵豐富。在二維空間中，向量可以表示為 a=（a₁，a₂） ，其中 a_?1 和 a₂ 為在 x 軸和 y 軸上的分量。如果在三維空間，則向量表示為a=（a₁，a₂，a₃） ，其每個分量是對應于坐標軸上的投影。向量的運算形式有很多種，常見的有加、數乘、點積、叉積等，這些運算方式給我們提供了研究幾何問題的強大工具。其中，向量加數乘應用于平面和空間幾何問題，點積叉積則給出了更有代數幾何聯系的向量間的關系和幾何空間的性質[]。

1.向量加法

向量加法是向量運算中的基礎概念之一，可以理解為兩個向量的首尾相接，形成一個新的向量。設有向量 a=（a₁，a₂） 和 b=（b₁，b₂） ，則它們的加法結果為： a+b=（a₁+b₁，a₂+b₂）

從幾何意義上講，向量加法運算就是根據一定的規則將向量 a 和 b 通過幾何作圖合并為一個向量，這就得到了一個新的“平行四邊形法則”或“三角形法則”，這樣使學生更易于直觀理解向量的合成效應，尤其是在解決有關物理問題的時候，可以使學生直觀地理解有關力的合成、速度合成等基礎知識。

如，若兩個力 F₁ 、 F₂ 作用在一個物體上，其合力 F 為 F₁+F₂ ，此合成過程與向量的加法幾何意義相聯系，此種概念有助于學生在物理上靈活利用向量。

2.數乘

數乘是向量運算中的另一種基本操作，它表示向量與標量的乘法。設 k 為標量，向量a=（a₁，a₂） 進行數乘后的結果為： ka=（k?a₁，k?a₂）

幾何上，數乘操作相當于對向量進行縮放，向量的方向保持不變，但其大小按標量 k 進行比例放大或縮小。如果 kgt;1 ，則向量的長度增大；如果 0lt;klt;1，則向量的長度減小；而當k=-1時，向量的方向發生反轉。

除了幾何應用以外，它也具有十分重要的物理應用價值。比如在物理學中的力學部分，一個物體受到一個力的作用，這個力會發生大小上的變化，此時通過數乘能夠求得改變后物體所受到的力的大小與方向，讓學生更加懂得如何改變一個物理量的大小或者方向，這對于學生對物理學領域中的力學、運動學等的學習具有重要的幫助。

3．向量點積

向量點積是向量運算中與幾何最為緊密相關的操作之一。向量 a=（a₁，a₂） 和 b=（b₁，b₂） 的點積定義為： a?b=a₁b₁+a₂b₂

點積的幾何意義是向量的大小與它們夾角的余弦值的乘積，即： a?b=∣a∣∣b∣cos（θ）

其中 θ 為兩個向量之間的夾角， |a| 和 |b| 分別是向量 a 和 b 的模。點積為零時，說明兩個向量垂直；當兩個向量的夾角為 0^° 時，點積的值為它們模的乘積，表示兩個向量完全同向。

此運算在很多數學、物理問題中都有涉及。求兩個向量的夾角、判斷兩個向量是否垂直、計算向量的投影等都可通過此運算解答。理解了點積的幾何意義學生不僅能夠掌握空間幾何的基本理論知識，也能夠在解析幾何、空間三度等方面的應用得心應手。

（二）幾何應用中的向量

在幾何學中向量的使用是最廣泛的，利用向量學生不僅能夠理解和掌握平面圖形的性質，還能夠用向量去解決立體幾何中遇到的難題，把空間中一些難以想象的問題可視化，利用向量將空間中的位置關系、空間的夾角、面積等問題清晰地呈現出來。比如，利用向量來求解平行四邊形、三角形、矩形的面積，還可以利用向量來解決空間幾何中有關距離、角的問題[2]。

例1：計算由向量 a 和 b 構成的平行四邊形的面積。

在平面幾何中，兩個非零向量 a 和 b 構成的平行四邊形的面積可以通過向量的叉積來計算。面積的計算公式為：面積 τ=|a×b|

上式中 a×b 為叉積，其模為平行四邊形的面積，其方向垂直于由 a 和 b 所張成的平面。利用該式學生明白了幾何問題可以通過代數運算去解決。

（三）代數應用中的向量

向量不僅是在幾何中得到了廣泛應用，在代數中幫助解決線性方程組問題、描述向量空間等情況下也發揮著重要作用。對于代數來說，在向量運算的推動下，向量形式能夠較為順利地實現較為廣泛的數學范圍的抽象思維以及解答問題的能力。

例2：通過向量運算求解線性方程組。

考慮以下線性方程組： x+y=3 2x+3y=7

根據上述方程組可以用矩陣形式表示為a?x=b ，其中 a 和 x 分別表示方程組的系數矩陣和未知量列向量，利用代數運算法則，利用向量之間的加法以及數量的乘積求解上述方程組。通過這樣的代數上的應用，可以進一步提升學生對于向量運算的領會，幫助學生求解線性方程組的時候更加便捷。

通過向量運算，學生能夠更深刻地理解代數結構和幾何空間之間的關系，提升他們的數學素養和解題能力[3]。

二、向量教學中的現狀問題與優化策略

（一）向量教學中的問題

當前高中數學教學中向量教學存在較多問題，其中比較突出的一個問題即如何才能將代數與幾何很好地聯系起來的問題。第一，當前向量教學均是以物理背景引入，例如力、速度、位移等，這對學生的初直觀理解是有用的，但是這容易對向量產生偏頗，易陷入解決物理應用的漩渦中，從而將數學工具（向量）的應用打入冷宮，實際向量的意義絕不僅是用來表征物理量，它本身也是代數幾何問題有效解決的利器，而多數學生對其感知只是停留在物理層面，理解的有限性導致了學生向量思維片面化（操作化），幾何與代數之間的統整思想很難得到有效滲透。第二，現階段高中的數學教材向量部分教學缺少知識系統性。很多教材只注重向量一些單獨的知識，如向量加法、數乘、點乘運算，現有從代數幾何兩部分相結合來總結向量理論基礎，向量是一個既有幾何又有代數雙重意義的知識點，講授向量的教學過程應該是融會貫通的，而不是分離開來的。學生對向量知識點的學習往往不銜接不聯系，無法構建完整的向量知識網絡，學生只能從事例的計算上，而無法進行更深層次的理論學習和綜合應用。

（二）優化教學策略

為了有效提升向量教學的質量，讓學生有效把握向量的數學內涵，可以靈活應用向量解決實際問題，就需要教師實施有效的方式，讓學生掌握向量數學工具。

1.從代數和幾何兩方面同時引導

進行向量的講解應該要兼顧代數和幾何，因為代數運算可以對學生進行準確計算，而幾何含義又可以從幾何角度給出直觀認識。在教學中教師要提出問題，使得學生在解答幾何題時可以從代數運算中得到結果，例如，用向量的叉積去計算平行四邊形的面積。在教師教學過程中通過上述題型的教學讓學生理解向量的計算方法，同時理解向量幾何含義，這就實現了學生對向量的全面認識。另外，教師鼓勵學生將幾何問題轉化為代數問題，用代數方法解決，不僅增強學生的代數運算能力，還使學生在對于實際問題的思維中產生數形結合的方式。

2.注重向量的本質講解

向量不僅是物理的工具，也是代數的工具，是幾何的工具，教師應該從向量產生的歷史背景、產生原因以及向量是數學的一種工具等方面介紹向量的數學本質，在教學過程中讓學生明白向量不單單是解決數學中相關問題的工具，更是數學的一類抽象的數學工具，具有非常廣泛的數學用途。譬如，教師可以介紹向量產生的緣由，比如近代的幾何學中引入坐標系和幾何變換才產生了向量的概念，進而探索向量對于解析幾何、線性代數、微積分等學科中的作用。如此介紹之后，學生就能從宏觀角度去認識向量，也可以把向量應用于難度更高的數學問題中。同時，老師可以借助具體的數學事例來促進學生對向量本質的理解，譬如，從兩個向量描述平面內直線方程和圓的方程可知，向量作為橋梁，能夠聯系眾多數學的學科[4]

3．引入問題鏈教學法

所謂問題鏈教學法是指教學過程中有目的地運用一些問題將教學過程中的各個環節緊密地串聯起來，以達到各個教學環節環環相扣、一環緊接一環的教學目的。利用問題鏈教學模式，可以循序漸進地加深學生對向量本質的理解、把握和認知。向量知識的教學，我們同樣可以設置問題鏈，將知識的教學分為幾個部分，每個部分有好幾個層次的問題，形成問題鏈，環環相扣，逐步引導學生深入思考。

比如，教師可以由容易的向量加法題目向涉及數乘、點乘、叉乘的問題進階，在進階的過程中讓學生持續鞏固對向量運算的掌握程度，還可以通過持續進階對解決一個問題有綜合能力的鍛煉。教師可以引入現實中的問題進行授課，比如力學中的問題、幾何中的一些問題等，讓學生感受向量在現實問題解決中的作用，學生可以通過這些實際的問題感受向量的應用問題[5]。

三、向量教學的實踐與案例分析

（一）向量加法與幾何應用的實踐

向量加法屬于向量運算法則中最為基礎的部分，主要針對幾何問題進行探究，尤其在物理上的力的合成問題有著密切的關系。從理論上進行解答，我們可以判斷出利用向量加法的時候，需要借助將兩個向量進行頭尾相連之后就能夠得出新向量的方法來進行向量的加法。在具體教學過程中，教師可以將如何利用物理上的力合成問題教學激發學生的向量加法規則應用意識，即給出力作用于物體兩個力 F₁ 和 F₂ 作用在該物體上，要求算出這個物體受到的合力。通過向量相加的力 F=F₁+F₂ ，學生能夠直觀地感受到兩個力在方向和作用力的大小是如何通過向量進行加法運算所得出的答案。通過對具體教學案例的講解，在獨立解決問題的過程中教會學生如何進行向量加法運算，同時體會向量加法應用中的實際意義，增強他們解題的幾何思維能力和數學運算思維能力。

（二）向量數乘與實際問題的結合

數乘作為向量的四則運算是基本的運算，主要實現向量大小的變化，而不改變向量的方向。數乘在實際生活中應用范圍較廣，在改變力的大小、改變速度問題中經常采用數乘操作。在理論中乘數可以理解為對向量的大小按比例進行改變，幾何上則是通過改變向量的長度而保持向量的相同方向。在課堂教學中，教師可以設置與物理學問題相關的教學場景，例如，當一個物體所受的外力大小改變時，如何數乘表示這個改變，讓學生感知數乘操作知識的同時能夠了解數乘在實際中的應用。把數乘與物理問題融合，讓學生理解數乘的實際應用過程，對解決實際問題具有較大的應用效果[6]。

（三）向量點積與空間角度的教學應用

點積不但是代數運算的重要手段，也是幾何中的重要概念之一，用于計算向量之間的夾角和判斷兩個向量是否垂直。理論中點積運算的幾何意義是根據向量的大小及夾角余弦的乘積運算算出兩個向量的大小，實際教學中教師可以通過空間幾何的角度運算來強化學生對點積的理解。如教師可設置空間向量夾角的問題，已知兩個向量 a 和 b ，要求計算兩個向量的夾角。用點積公式： a?b=∣a∣∣b∣ cos（0）

這樣的教學實例，學生可以很直觀地看到兩個向量的幾何關系，再計算夾角驗證其是否垂直。這樣的例子鞏固了向量的運算能力，也提高了空間幾何問題的應用能力，提高了學生代數幾何結合的能力，提高了分析問題的能力。

結束語

向量是高中數學內容的重中之重，具有豐富的理論知識及多方向的應用。對于向量這一內容，教師在教學中既要使學生熟練運用與應用向量知識，也要向學生滲透向量在數學中的更深層次價值。教師可以精準設計向量教學中的學習內容，突出代數與幾何的統一，使學生獲得更完整的向量知識體系，從而提高自身的學習綜合能力和能力解決問題的能力。另一方面，在教學的過程中，教師還可以創新融入問題鏈教學法這一方式，使學生能夠通過對向量相關問題的研究和論證，并在合理解決的基礎上，提高自身的批評意識和創新能力，也利于學生在今后的數學學習中形成在實際應用中靈活利用向量知識，同時幫助學生鍛煉數學素養以及解決實際問題的能力。

參考文獻

[1]施宇涵.高中數學“平面向量及其應用”單元教學問題鏈設計與實踐研究[D].重慶：西南大學，2024.

[2]陳志光.基于問題驅動的空間向量單元整體教學研究[D].廣州：廣州大學，2023.

[3]呂松濤.基于問題驅動的高中數學向量教學研究[D].廣州：廣州大學，2021.

[4]薛彬.體現幾何、代數融合提升直觀想象、數學運算素養：《普通高中教科書·數學（人教A版）》必修第六章“平面向量及其應用”的教材設計與教學思考Ⅲ.中學數學教學參考，2020（7）：11-14.

[5]黃洲洋.高中數學“幾何與代數”主線的教學與考察研究[D].福州：福建師范大學，2018.

[6]許婉彬.銜接視角下的CAP課程大綱解讀和教學研究[D].福州：福建師范大學，2018.