2025年廣東高職高考數學第24題的解析與反思

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0045-03

廣東高職高考是面向中等職業學校畢業生的選拔性考試，其試題設計注重在穩定中尋求創新，既強調對基礎知識與重點內容的考查，又緊密貼合中職生的實際學情.同時，為確保考試的選拔精準性，試題還需兼顧合理的區分度.其中，數學試卷的第24題作為壓軸題，是歷年區分學生數學核心素養掌握程度的關鍵題目.本文以2025年廣東省高職高考數學試卷第24題為例，對其解題思路和方法展開深入探究與分析.

1 試題重現

題目 已知橢圓 經過點 A（2，0） 和 B（0，1） ，點 P 是橢圓 C 位于第一象限的動點，點 Q 與點 P 關于原點對稱.

（1）求橢圓 C 的標準方程；

（2）求四邊形 PAQB 的面積最大值.

試題旨在檢驗考生對橢圓基礎概念與性質的理解，涵蓋橢圓方程、弦長計算、直線與橢圓的位置關系以及三角形面積計算等核心知識點.本題著重考查解析幾何的核心思想與方法，以及數學運算、邏輯推理和數學抽象等關鍵能力.在試題設計方面，既提供了多元的解題切入點，又設置了適度的計算難度，尤其注重對考生思維過程、思維方法及創新能力的評估.

2解法探究

第（1）問考查學生的橢圓的基本概念，依題意，α=2，b =1，故所求橢圓C的方程為 本文著重探討第（2）問的求解與反思

解法1依題意，由橢圓對稱性質設直線 PQ 的

方程為 y=kx（kgt;0） ，若設點 P 坐標為 （x₁，y₁） （ x₁

gt;0，y₁gt;0 ），則點 Q 坐標為 （x₂，y₂） 聯立方程得 消元，得 （4k²+1）x²-4=0 故由韋達定理知χ，+x=0，xχ2=（4k2+1）°由弦長公式，得

當且僅當 時，即 時，等號成立，此時四邊形 PAQB 的面積最大，為

解法2連接 AB ，由題意可以求解出直線 的方程為 x+2y-2=0 ，

設 P ， Q 兩點坐標分別為（ （2cos，sinθ） ，（204號 （-2cosθ，-sinθ） ，其中

則點 P 到直線 AB 的距離

點 Q 到直線 AB 的距離

所以 （2

當且僅當 時等號成立，此時四邊形 PAQB的面積最大值為

解法3由橢圓的對稱性知， ∣OQ∣=∣OP∣ ，在ΔPQA 中， S_ΔQOA=S_ΔPOA ，同理 S_ΔQOB=S_ΔPOB

所以 +S_ΔQOB+S_ΔPOB=2（S_ΔPOA+S_ΔPOB）

設點P坐標為（（m，n）（mgt;0，gt;0），則2+ +n2=1 ，即 m²+4n²=4 ，則

所以 ，當且僅當 m=2n ，即 時等號成立，此時點 P 坐標為 ，四邊形 PAQB 的面積最大值為

解法4由橢圓的對稱性知， ∣OQ∣=∣OP∣ ，在ΔPQA 中， S_ΔQOA=S_ΔPOA ，同理 S_ΔQOB=S_ΔPOB

所以 +S_ΔQOB+S_ΔPOB=2（S_ΔPOA+S_ΔPOB）.

設點 P 坐標為 （2cosθ，sinθ） ，其中 ，則

所以 ，當且僅當 時等號成立，此時四邊形 PAQB 的面積最大值為

解法5 連接 AB ，由題意得圖1，可以求解出直線AB的方程為y=-2

設平行于直線 AB 的直線方程為y=－聯立方程得

消元，得 x²-2bx+2b²-2=0

令判別式 Δ=（Δ-2b）²-4×（2b²-2）=0 ，所以 一 分別平行于直線 _AB 與橢圓相切于 P，Q 兩點.

此時，四邊形 PAQB 的面積最大.

直線 l₁，l₂ 到直線 AB 的距離之和為兩平行直線l₁，l₂ 之間的距離 d ， 線段 所以

3 解法啟示

圓錐曲線相關題目是歷年高職高考中極具挑戰性的內容，其涉及的軌跡方程、幾何度量及最值問題往往情境復雜、計算量大，對考生的解題能力提出了嚴峻考驗.在復習備考階段，如何優化復習效果，深化學生對數學思想方法的理解，高效培養學生的數學核心素養與解題能力，成為教學中亟待解決的難題.基于教學實踐，本文針對解析幾何復習提出以下重點強化方向.

3.1 重視基礎知識的學習，提升數學運算能力

只有對基礎知識有深刻的理解，考生在面對復雜問題時才能迅速找到解題的突破口；只有數學運算能力達到一定水平，解題的準確性和效率才能得到保證.因此，教學中應將基礎知識的學習與基本問題的解決置于首要位置，引導學生在對基礎知識與基本問題形成正確認知、對各主干知識構建完整體系、對其中蘊含的思想方法準確領悟之后，再開展相關的拓展與綜合性訓練[1].

3.2 深入研讀教材，構建完整的知識網絡

在學習過程中，考生需熟讀教材，不僅要透徹理解每個概念、定理及公式，更要深入挖掘其內涵與潛在規律.對于教材中的例題和習題，不能僅滿足于熟練掌握解法，還應主動探究其背后蘊含的數學思想與解題方法.通過一題多解、多題一解等訓練方式，拓寬解題思路，提升思維靈活性.此外，遇到難點疑點時，應及時查閱資料或向他人請教，確保知識掌握無死角，從而為后續學習筑牢基礎.

3.3 挖掘題目背景，培養邏輯推理能力

這樣的學習方式，不僅能深化對基礎知識的理解，還能在考試中敏銳識別題型，精準抓住解題關鍵.反復鉆研教材例題與習題，有助于熟悉各類題型的解題步驟和技巧，即便面對復雜問題，也能保持清晰思路，有條不紊地展開推理計算.與此同時，這種持續練習還能助力學生培養嚴謹的數學思維，顯著提升解題效率與準確率.

3.4 強化幾何直觀能力，培養創新思維與綜合應用能力

數學學習需超越公式定理的機械記憶，通過系統訓練將其轉化為問題解決的基石.幾何直觀與代數運算構成解題的雙軌思維，前者通過空間想象構建問題模型，后者憑借嚴謹運算解構數量關系.在熟練掌握這些基本技能的基礎上，我們還要勇于嘗試新的思路和方法去分析和解決數學問題，這不僅能夠拓寬解題視野，還能激發創新思維，提升綜合應用能力.

參考文獻：

[1］朱賢良，方明生.一題多解感悟思想方法變式拓展提升素養能力［J].中學數學研究，2024（13）：6-8.

[責任編輯：李慧嬌]