問題驅動 憤排啟發 深耕細研

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0048-05

數列的放縮求和是高中數學的重點和難點，它的解答具有較高的思想性和策略性.數列放縮的本質是原數列不能直接進行求和運算，需要通過近似放縮轉化為可求和的數列.數列放縮的一般思想包括正向放縮和逆向鎖定通項放縮.本文結合教學實際就幾類典型問題展開探討，希望能對老師的教研和學生的學習有所幫助.

1 典例分析，進階思維節點

例1 數列 {a_n} 的前 n 項和為

（1）求 a_n ：

（2）證明

解析 （1）a_n=n² ，過程略.

（2）令

評注通項是分式通常轉化為裂項求和，這里是進行放，只需將分母變小，另外還需要將分母因式分解，這樣才能裂項.因此，可以將分母化為平方差公式，也可以轉化為提公因式分解.

2 問題驅動，憤悱思維狀態

問題1 若改變小于后的目標值，那通項又放縮到何種程度呢？

模型1 通項分母為二次函數型探究1 證明

解析 如何將分母放縮到合適程度？大部分學生無從下手.我們可以用待定系數法，先令 則 只需 得 將 代人檢驗 恒成立.故得證.

評注巧妙地應用待定系數法優化解題思路，找到問題本質，將原來高不可攀的問題簡單化、程式化[1].

問題2 上述問題能否拓展到一般情況呢？

探究2 若an= 求證： a₁+a₂+a₃

+…+a_n

則

，則 再代人原式檢驗，若不

等式不能恒成立，則保留 a₁ ，從 a₂ 開始放縮，若依然不能成立，再調整為第三項開始放縮，直至不等式恒成立.

問題3 若通項是分式，分母不是二次函數，又如何解決呢？

模型2 通項分母為根式冪型.

例2 已知數列 {a_n}，a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n. （20（1）求通項 a_n （2）求證

解析 （1）a_n=n 過程略.

（2）令 則 則

問題4 分母是根式，能否推廣到一般形式，如 將如何解答？

探究3 已知 求證：a+a+a

解析 因為 （20則 當 k=2 時

得證.

評注 分母根式放縮的原點是 ，可以推廣變形為 （2號問題5 若分母是指數冪，又將如何放縮？

模型3 通項分母為指數冪型.

例3數列 {a_n}，S_n 為 {a_n} 的前 Ω_n 項和， a₁=2 ，{3a_n-2S_n} 是公差為2的等差數列.

（1）求 {a_n} 的通項公式;（2）證明 視角1 利用糖水不等式放縮為等比數列解析 （1）a_n=3ⁿ-1 業

（2）令 因為 0 所以 所以

視角2 二項式展開取部分項縮放

解法2由 3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰1ⁿ+C_n¹2+C_n²2²

+…gt;C_n⁰1ⁿ+C_n¹2+C_n²2²=1+2n²， 得 3ⁿ-1gt;2n² 貝 則

視角3 因式分解進行放縮.

解法3 因為 3ⁿ-1=（3-1） H （3^n-1+3^n-2 +3^n-3+…+3⁰）gt;2×3^n-1， 所以 貝 視角4 利用函數有界性進行放縮

解法4 若 則

因為 是減函數，故當

n=1 時 Ω_Ωf（n） 有最大值.得 1

即 下同解法3.

視角5 利用特殊不等式放縮，如 aⁿ-bⁿgt;（a -b）a^n-1（agt;bgt;0）

解法5因為 agt;bgt;0 ，所以 a^n-1gt;b^n-1 所以 b×a^n-1gt;bⁿ .即 aⁿ+b×a^n-1gt;aⁿ+bⁿ 即 aⁿ-bⁿgt;（a-b）a^n-1

則 3ⁿ-1gt;（3-1）3^n-1

則 下同解法3.

視角6 轉化等比放縮.

解法6 令 則

則

下同解法3.

視角7 數學歸納法.

解法7 ① 當 n=1 時 ，成立.

② 假設當 n=k 時 成立.

當 n=k+1 時 即當 n=k+1 時，不等式也成立

綜上，對任意正整數 成立.

評注分母是指數型的放縮，基本思想是先轉 化通項，放縮為可進行和運算的通項，再對轉化后的 通項進行求和，實現放縮目標

問題6以上數列都是已知通項，求和的不等式，是否有其他的縮放，比如求積式縮放？

模型4 求積不等式型.

例4 （2017年全國Ⅲ卷第21題改編題）求證：

解法1 利用對數伴隨不等式進行放縮因為1+1 ，則

要證 ，只需證 ，即證

根據對數伴隨不等式，有 當 x =0 時，等號成立，則

則

解法2 利用指數伴隨不等式進行放縮.

根據指數伴隨不等式 e^x?x+1 ，當 x=0 時等號成立，所以有1+1 則

解法3 利用平均值不等式進行放縮

根據平均值不等式有 ?a₁a₂a₃…a_n ，當 a₁=a₂=…=a_n 時，等號成立.則

因為 e^x?1+x ，則 ，得 即有 2n≤e，即[（1 2n]≤√e.得證.

問題7 我們了解了以上和式放縮和積式放縮，這些都是基于通項公式是已知的情況下，是否存在通項公式不能求出的數列放縮呢？

模型5 通項未知型

例5已知數列 {a_n} 滿足： +1. 求證： 0nlt;2 解析因為 ，所以 a_n gt;0. 當 n=1 時， a₁=1lt;2 ，成立.假設 n=k 時， a_nlt;2 .則當 n=k+1 時， a_n+1 成立.

綜上所述， n 為任意正整數， 0nlt;2 成立.

問題8 以上模型都是正向變式模型，是否存在逆向發散模型？

模型6 逆向對比模型.

例6數列 {a_n} 的通項公式為 （20解析 令 則 所以 ，也適合上式.所以 因為 （2ⁿ-1）²gt;0，ngt;1 所以 4ⁿ-2×2ⁿ+1gt;0 所以 2×4ⁿ×2ⁿgt;2×4ⁿ×2ⁿ-4ⁿ+2×2ⁿ-1. 所以 2×4ⁿ×2ⁿgt;（4ⁿ+1）×（2ⁿ⁺¹-1）

所以

所以

所以 a_ngt;b_n

所以 a₁+a₂+…+a_ngt;b₁+b₂+…+b_n.

即

評注當放縮后的求和結果為多項式時，適宜采用逆向思維求解.具體而言，可先借助退位相消法求出放縮后的通項，再通過比較原通項與放縮后通項的大小關系，從而完成結論證明.

3 結束語

破解某一微專題，需要進行系統性思考，不能僅局限于知識與技巧層面.教師在進行問題設計時，首要任務是精心構建并提出具有啟發性的問題.設計循序漸進的問題鏈，引導學生主動思考，逐步掌握解決此類問題的思維方法，并探索深度學習的有效路徑，使深度學習真正轉化為學生的核心能力.

從正反兩個角度分析問題，是構建系統知識體系的有效方法.正向進行題目變式訓練，能幫助學生鞏固基礎知識，筑牢學習根基；逆向開展思維發散練習，則有助于提升學生思維的深度與靈活性，實現思維進階.這種方式不僅能提升思維的靈活度，還能讓學生達到“會一題，通一類”的學習效果.教師與學生可以將這種研題思路作為寶貴經驗，應用于其他類型問題的學習與研究中.

參考文獻：

[1］汪本旺.同一種思維方式“待”出不一樣的人生：用待定系數法處理有通項的數列放縮問題[J].教學考試，2023（20）：49-54.

[責任編輯：李慧嬌]