以斐波那契數(shù)列為背景的數(shù)列問題探究

在研究兔子繁殖問題時，意大利的數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)了一組獨特的數(shù) 1，1，2，3，5，… ，在該組數(shù)中，從第三項開始，每一項的數(shù)值等于其前兩項和，即a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^* ）.后來，人們將數(shù)列 {a_n} 稱為斐波那契數(shù)列.在生活中，許多花卉（如梅花和飛燕草）的花瓣數(shù)量竟然與斐波那契數(shù)列中的數(shù)字相吻合.不僅如此，斐波那契數(shù)列在物理和化學等領(lǐng)域中也有廣泛的應用價值.因此，在高考模擬題中，與斐波那契數(shù)列相關(guān)的問題也頻頻出現(xiàn).本文通過實例介紹幾類常見的問題，供讀者學習和參考.

1求與斐波那契數(shù)列相關(guān)的值

例1已知斐波那契數(shù)列 {a_n} 滿足 a₁=1，a₂= 1，a_n+2=a_n+1+a_n （ Ω_n∈N^* ），若 a₃+a₅+a₇+a₉+ （20a₁₁=a_m-a₂ ，則 Ω_m 的值為（ ）.

A.12 B.13 C.89 D. 144

由斐波那契數(shù)列的定義可得

a₂+a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁=

a₄+a₅+a₇+a₉+a₁₁=a₆+a₇+a₉+a₁₁=

a₈+a₉+a₁₁=a₁₀+a₁₁=a₁₂，

則 a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁=a₁₂-a₂ ，所以 Ψ_m 的值為12，故選A.

本題是一道比較簡單的新定義題，通過對斐波那契數(shù)列定義的分析探究，找到了待求數(shù)列的縮項規(guī)律，再通過逐步縮項得到與題意相符合的式子.

例2斐波那契數(shù)列 {a_n} 有如下特點：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，記 S_n 是此數(shù)列的前 n 項和，則 （a₃-S₁）+ （a₄-S₂）+（a₅-S₃）+…+（a₁₀₀-S₉₈）=.

A.0 B. 1 C.98 D. 100由斐波那契數(shù)列的定義可知當 n?2 時，（20號 a_n=a_n+1-a_n-1 ，所以當 n?2 時，有

S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₁+（a₃-a₁）+ （a₄-a₂）+…+（a_n+1-a_n-1）=

（a₁+a₃+a₄+…+a_n+1）- （a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=a_n+1+a_n-1， 則 a_n+2-S_n=a_n+1+a_n-（a_n+1+a_n-1）=1 ，且 a₃- S₁=1 ，所以

（a₃-S₁）+（a₄-S₂）+…+（a₁₀₀-S₉₈）=98， 故選C.

點將斐波那契數(shù)列的定義式變形使用，以此解釋了數(shù)列的前 n 項和 S_n 的意義，確定了 a_n+2-S_n=1 對于 n∈N^* 都成立，這樣待求式的值自然就確定了.

例3 斐波那契數(shù)列的通項公式為 a_n= .設(shè) Ω_n 是不等式 的正整數(shù)解，則 n 的最小值為

由于

解析

則

所以 ，故

設(shè) ，則 {a_n} 是斐波那契數(shù)列.由 可得 5.由于an≥1且 {a_n} 是單調(diào)遞增的，故 {a_n²} 也是單調(diào)遞增的.由斐波那契數(shù)列的前幾項驗證易得 ，所以滿足條件的 n 的最小值為8.

本題是對斐波那契數(shù)列通項公式研究結(jié)果的深化與應用，通過對類似問題的探索能夠進一步提高解決新定義問題的能力.

2探究斐波那契數(shù)列變形后的數(shù)列問題

例4斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，應用非常廣泛.其數(shù)學定義是 a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n Φ_n∈N^* ），若 是該數(shù)列的第100 項，則 Σ_m=（Σ） ：

A.98 B.99 C. 100 D. 101

/解析

由數(shù)列的定義知 a_m≠0，a₁²=a₂a₁，a_n-1= a_n-a_n-2（n?3） ，所以

a₂²=a₂（a₃-a₁）=a₃a₂-a₂a₁，

a₃²=a₃（a₄-a₂）=a₄a₃-a₃a₂，

a_m²=a_m（a_m+1-a_m-1）=a_m+1a_m-a_ma_m-1， 將上面各式累加得 a₁²+a₂²+…+a_m²=a_m+1a_m ，則 ，所以 m=99 ，故選B.

待求的數(shù)列表達式比較復雜，需要通過研究其各分項的形式并利用斐波那契數(shù)列的定

義進行轉(zhuǎn)化，才能找到問題的實質(zhì).

3判斷關(guān)于斐波那契數(shù)列的相關(guān)結(jié)論

（多選題）斐波那契數(shù)列 {a_n} 的定義是a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*） ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. a₁₀=55

B. 3a_n=a_n-2+a_n+2（n≥3）

C. a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₃=a₂₀₂₅

D. a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₂₄²=a₂₀₂₄a₂₀₂₅

由斐波那契數(shù)列的定義容易求出前10項為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 ，則 a₁₀=55 ，故A正確.當 n?3 時， a_n=a_n-1+a_n-2 ，所以

3a_n=a_n-2+a_n-1+a_n+a_n=

a_n-2+a_n+1+a_n=a_n-2+a_n+2，

故B正確.由所給的遞推公式可知

ι₃-a₂=a₁，a₄-a₃=a₂，…，a₂₀₂₅-a₂₀₂₄=a₂₀₂

將以上等式相加得 a₁+a₂+…+a₂₀₂₃=a₂₀₂₅-a₂= a₂₀₂₅-1 ，故C錯誤.由于

a₁²=a₁a₂

a₂²=a₂（a₃-a₁）=a₃a₂-a₂a₁，

a₃²=a₄a₃-a₃a₂，

a_?2024^?2=a_?2025a_?2024-a_?2024a_?2023.

將前面的各式相加可得 a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₂₄²= （20 a₂₀₂₄a₂₀₂₅ ，故D正確.

綜上，選ABD.

點 評

此類問題需要根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義驗證各個選項，然后確認其是否正確.

例6在研究兔子繁殖問題時，意大利著名數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)了一組特別的數(shù) 1，1，2，3，5，…， 其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列 {a_n} 稱為斐波那契數(shù)列，記S_n 為數(shù)列 {a_n} 的前 n 項和，則下列結(jié)論正確的是

①S₇=33 ;

②S_{2 022}=a_{2 024}-1

③a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1=a_2n+2; ④a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=a_na_n+1. （204號

由斐波那契數(shù)列的定義可以知 S₇=1+1+ 2+3+5+8+13=33 ，故 ① 正確.由于

a₂₀₂₂+a₂₀₂₁+a₂₀₂₀+a₂₀₂₁=…=

a₂₀₂₂+a₂₀₂₁+…+a₂+a₃=

a₂₀₂₂+a₂₀₂₁+…+a₂+a₁+a₂=S₂₀₂₂+1， 所以 S₂₀₂₂=a₂₀₂₄-1 ，故 ② 正確.由定義可知

a_2n+2=a_2n+1+a_2n=a_2n+1+a_2n-1+a_2n-2=

a_2n+1+a_2n-1+a_2n-3+a_2n-4=

a_2n+1+a_2n-1+…+a₅+a₃+a₁，

故 ③ 正確.由

a₁²=a₁a₂，

a₂²=a₂（a₃-a₁）=a₃a₂-a₂a₁，

a₃²=a₄a₃-a₃a₂，

a_n²=a_n+1a_n-a_na_n-1，

可知 a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=a_na_n+1 ，故 ④ 正確.

綜上，正確的結(jié)論有 ①②③④

上述結(jié)論均可通過斐波那契數(shù)列的定義進行推理證明，如果能記住這些結(jié)論，對解決類似的選擇題、填空題很有幫助.

對斐波那契數(shù)列的探究既是發(fā)揮數(shù)學文化教育功能的重要措施，又是數(shù)學知識延伸與發(fā)展的重要途徑，同時也是適應高考新要求、提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效探索，值得倡導.

（完）