完全非彈性碰撞損失動能結論在物理解題中的應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

1 基本理論

根據新課程標準要求，高中物理教學要發展學生的物理核心素養，包括物理觀念、科學思維、科學探究、科學態度與責任.其中，科學思維包括邏輯推理能力，要求學生在解決物理問題時能夠迅速鑒別問題的特殊性，從研究的材料中揭示隱蔽條件，排除多余因素的干擾，并發現有價值的因素，迅速選擇解題策略，確定解題方法，善于多題歸一1.

碰撞問題是高中物理中的重要問題，涉及動力學、能量以及動量等知識點.完全非彈性碰撞是高中物理教學中的難點，同時也是高考和強基中的必考點和重點.利用動量守恒定律和能量守恒定律計算系統減少的動能時，計算過程復雜，容易造成計算出錯.本文對一維完全非彈性碰撞模型進行分析，推導得出完全非彈性碰撞中系統損失動能的結論，讓學生理解結論的來龍去脈，靈活應用結論解題，達到快速求解相關問題的目的.

文章編號：1008-0333（2025）16-0076-03量分別為 m₁…m₂ ，在光滑的水平面上發生對心碰撞，當它們發生完全非彈性碰撞時，求系統損失的動能.

解析當兩個物體發生完全非彈性碰撞時，碰撞結束后兩個物體的速度相同，由兩物體構成的系統動量守恒定律可得

m₁v₁+m₂v₂=（m₁+m₂）v

根據能量守恒得

由 ① 解得

如圖1所示，A、B兩球的速度分別為 v₁?v₂ ，質

需要說明的是： （1）v₁-v₂ 表示碰前兩個物體的相對速度，即如果是相向運動，表示兩個速率相加；

如果是同向運動，表示兩個速率相減.（2）在研究高能物理中 ④ 的結果也稱為自用能.（3） 在物理競賽中稱為兩個物體的折合質量或者約化質量[2].

2 典型例題

例1如圖2所示，在光滑的水平面上， a，b 兩個物體質量分別為 M_?m ，以 v₁?v₂ 的速率相向運動，已知彈簧的勁度系數為 k ，不計彈簧的質量，求彈簧最大長度與最小長度之差

解析 當彈簧長度最短時，設彈簧的壓縮量為 x，a，b 與彈簧構成系統動量守恒，即 Mv₁ ?+（?-mv₂）=（M+m）v ;根據能量守恒定律得 ，解得

當彈簧長度最長時，同理可得彈簧的最大伸長量也為 x ，所以最大長度與最小長度之差為 Δx=2x ，

例2如圖3所示，在光滑水平面上靜止著質量為 m 、帶有光滑 弧形槽的小車，一質量也為 m 的小球以水平初速度 v₀ 沿槽口向小車滑去，求小球上升的最大高度.

解析小球上升到最高點時小球在豎直方向速度為零，只有水平方向的速度，兩個物體的速度相同，由水平方向動量守恒得 mv₀=2mv ，根據能量守恒得 解得mgh ，綜上解得

例3如圖4所示，細繩一端連接帶孔小球 P ，另一端連接木塊 Q 連接，小球 P 穿在光滑的固定足夠長水平桿上，小球 P 與木塊 Q 的質量均為 m 剛開始給木塊 Q 水平向右的瞬時沖量，使其獲得 的初速度，不計繩的質量，求 Q 上升的最大高度.

解析當 Q 上升到最大高度時， Q 的豎直方向的速度為零， Q 只有水平方向的速度， P，Q 的速度相同，根據水平方向動量守恒定律得 mv₀=2mv ，由系統的機械能守恒定律得 ，即 ，綜上解得

例4如圖5所示，子彈水平射入放在光滑水平地面上靜正的木塊，但子彈未穿透木塊，若此過程木塊的動能增加了6J，求此過程產生的內能取值范圍.

解析 子彈和木塊最后具有相同的速度，設子彈的初速度為 v₀ ，則根據動量守恒得 mv₀=（M+m）v 根據能量守恒得 ，解得 2，木塊的動能EKM ，內能可以利用木塊的動能表示 根據上述關系可得 Qgt;6J

例5如圖6所示，在光滑水平面上靜止著一輛M 平板小車，質量 m 的物體以水平速度 v₀ 滑上小車，已知 M=3kg，m=2kg ，物體與小車車面之間的動摩擦因數 μ=0.5，g 取 10m/s² ，假設小車足夠長，要使物體不從小車上滑落，平板小車的長度至少為多少.

解析 物體與小車構成的系統由水平方向動量守恒定律得 mv₀=（M+m）v ，根據能量守恒得 ，解得 假設物體剛好運動到小車的右側，設此時小車的長度為L₀ ，可得 Q=μmgL₀ ，解得 L₀=1.5m ，小車的長度 L 至少為 1.5m

例6如圖7所示，兩條平行足夠長光滑的導軌，導軌間距 L ，電阻不計.水平軌道處在豎直向上勻強磁場中，磁感應強度為 ：金屬棒 Δ_a 從斜軌上高 h 處自由滑下，金屬棒 b 放在水平導軌上.已知金屬棒 a，b 質量均為 ?_m ，金屬棒 a，b 電阻均為 R ，整個過程中金屬棒 ∣a，b 始終未相撞.求：金屬棒 Δ_a 最多產生的熱量 Q

解析金屬棒 Ψ_a 進入磁場時速度為 v₀ ，根據機 械能守恒得 在磁場中產生感應電流， 此時 a，b 棒會受到大小相等、方向相反的安培力， a 、 b 構成的系統滿足動量守恒，設相同速度為 v ，根據 動量守恒定律得 mv₀=（M+m）v ，根據能量守恒得 +m2+Q.由于兩棒的電阻相同， ，綜上所述解得 （20

例7如圖8所示，質量為 ?_m 、半徑為 R 的勻質圓形光滑細管道，放在光滑的足夠大的水平桌面上，管內兩個質量均為 m 的小球 A，B 位于一條直徑的兩端.開始時，細管道處于靜止狀態，兩小球具有相同的初速度 v₀ 且均沿著細管道的切線方向，兩小球的碰撞為彈性碰撞，求：第一次碰撞前，兩小球的相對速度大小.

解析 兩個小球和圓環構成的系統動量守恒，建立如圖9所示的坐標系，根據對稱性在碰撞前 y 方向， A，B 兩個球的速度大小 v_y 相同，兩個小球和圓環在 x 方向的速度 v_x 相同.兩個小球和圓環構成的系統在 x 方向動量守恒，即 2mv₀=3mv_x ，根據機械能守恒得 ， ，解得 v，兩個球的相對速度為

3 結束語

從前面列舉例題中可以看出，雖然最后的求解結果不一樣，有摩擦生熱、焦耳熱、小車的長度、上升的高度、相對速度，但都是通過動量守恒定律和能量守恒求解，最后得出的結果也都與完全非彈性碰撞損失的動能有關.如果解得選擇題，可以通過碰撞前的初始條件，直接可以得到系統損失的最大動能，求得最后結果，避免復雜的計算，減少計算過程中的錯誤.

參考文獻：

[1］廖伯琴.普通高中物理課程標準解讀［M].北京：高等教育出版社，2020：53.

[2］程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程力學篇[M].第2版.合肥：中國科學技術大學出版社，2013（06） ：200.

[責任編輯：李 璟]