同構法在高中數學解題中的應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0039 -03

同構法是高中數學中重要的解題方法.運用該方法時，學生需要依據題干信息，挖掘數學對象內在的結構關系，將復雜問題轉化為統一框架下的同構形式，其核心在于突破表象差異，激活學生深層次的數學思維.同構法適用函數、不等式等多個知識模塊，主要價值體現在提升解題效率、簡化邏輯推理過程以及整合知識點.在具體應用中，可遵循三個步驟：首先識別同構特征，其次進行定向變形，最后依托函數性質求解.例如，在解決恒成立問題時，需分離變量構造同構函數，并驗證變量定義域，分析其對結果產生的影響；在函數大小比較中，則要確保結構變形合理成立.教師通過開展針對性訓練，能夠逐步推動學生從“解題思維”向“構建思維”進階，為解決復雜數學問題筑牢基礎.

1 在函數比大小中應用

在高中數學解題中，數或表達式的比較是常見題型，同構法可作為有效的解題策略.運用同構法時，需通過構造同構式，并借助函數的單調性實現問題求解.具體而言，首先應根據給定條件建立聯系——以函數比大小為例，需挖掘所給函數間的內在關系，通過代數變形、對數轉換等方式，將待比較函數統一為結構相同的表達式[1]；其次，針對構造后的函數，可通過求導判斷其單調性或尋找分界點、確定極值點位置，分析函數在極值點左右兩側的變化趨勢；最后，利用映射和反演等方法完成題目的求解.遵循這樣的步驟，能夠顯著簡化思考路徑.

例1設 則下列大小的關系正確的是（ ）.

A. b

解析 在解答本題目時，可以先假設 h（x） =tanx-x，0

所以 h（x）=tanx-x 在（0，1）上單調遞增.

所以 h（x）=tanx-xgt;h（0）=0.

即 tanxgt;x，0

令 ，則

所以 在（0，1）上單調遞增則 （204

即 ， x∈（0，1）

所以

則當 x=0，21 時，

所以 cgt;agt;b ，故選B.

2 在函數最值問題中應用

在求解函數最值問題時，可以根據題目條件識別同構特征，觀察題目中函數的表達式，探索指數、系數等結構相似點，通過變量替換、冪運算等方式定向變形對齊結構，將原函數等價轉化為結構相同的形式，構建出相同的“骨架”形式，再根據函數性質求解[2].這也就是根據構造后的函數的單調性、對稱性和周期性等性質展開分析，找到區間內的最值（最大值或最小值），最后驗證結果的準確性，確保計算出的結果符合題目條件以及求解要求.

例2已知函數 若 f（x） 有兩個極值點 x₁，x₂ ，且 f（x₁）+f（x₂）lt;λ（x₁ +x₂ ）恒成立，則實數 λ 的取值范圍為（ ）.

解析由 ，得 因為 f（x） 有兩個極值點 x₁，x₂ ，所以 x₁，x₂ 是方

程 x²-ax+1=0（xgt;0） 的兩個不同的實根.所以 Δ=a²?4gt;0 ，且 x₁+x₂=agt;0，x₁x₂lt;1 若不等式 f（x₁）+f（x₂）lt;λ（x₁+x₂） 恒成立，則

gt;f（x）+f（x2）恒成立.因為

設 ，則（204號 因為 a²gt;4 ，所以 h^′（a）lt;0 所以 h（a） 在 （2，+∞） 上單調遞減.所以 所以 故選A.

3 在恒成立問題中應用

在求解恒成立問題時，需依據已知條件，運用同構法將不等式或等式轉化為統一形式，從而明確變量間的關系.在這一過程中，學生要確保構造的等價性，隨后深入探討構造函數的性質，包括定義域、通過求導判斷單調性以及分析極值等.這有助于清晰梳理變量間的約束條件，借助分離變量的思想，將復雜問題拆解為多個獨立部分，把原本抽象的恒成立問題轉化為直觀易懂的形式，最后對結果進行驗證.遵循上述步驟，能夠有效提升學生的解題效率，增強分析的嚴謹性，保障結果的準確性.

例3設函數 ，若 f（x）gt;（k-1）x-1 恒成立，則滿足條件的正整數k 可以是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 構造函數 -1）x+1 ，

則

因為 xgt;0 ，所以

則當 2-k?0 ，即 k?2 時， g^′（x）gt;0 ，當 xgt;0 時恒成立，故 在 （0，+∞） 上單調遞增.

則 g（x）gt;g（0）=1gt;0 ，即 k?2 符合題意，故滿足條件的正整數 k 為1或2.

當 2-klt;0 ，即 kgt;2 時，令 g^′（x）gt;0 ，則 xgt; e^k-2-1 故 g（x） 在 （0，e^k-2-1） 上單調遞減，在 上單調遞增.

則 g（x）?g（e^k-2-1）=k-e^k-2gt;0.

構造函數 G（k）=k-e^k-2 ，則 G^′（k）=1-e^k-2 lt;0 ，當 kgt;2 時恒成立.

故 G（x） 在 （2，+∞） 上單調遞減 則 G（k）0

因為 G（3）=3-egt;0，G（4）=4-e²lt;0 ，所以滿足 G（k）gt;0（kgt;2） 的整數 k=3

綜上，符合條件的整數 k 為1或2或3.

故選ABC.

例4已知關于 x 的不等式 恒成立，則實數 a 的取值范圍是

解析 原不等式

構造函數 則 （20號 則

令 f^′（x）=2lnx+3=0 ，解得 ，故當 0 時 f^′（x）lt;0 ；當 時 f^′（x）gt;0

所以 f（x） 在 上單調遞減，在 +∞） 上單調遞增，且

若 alt;0 ，則當 xgt;1 時， 此時 恒不成立.

故 a?0. 所以

所以 成立，只需 成立即可.即 恒成立.

令 則 （204號

當 xgt;1 時， h^′（x）lt;0 ；當 0′（x）gt; 0，所以 h（x） 在（0，1）上單調遞增，在 （1，+∞） 上單調遞減，故 h（x）_max=h（1）=1. 所以 a?1 ：故答案為 [1，+∞）

4 結束語

同構法是解決高中數學問題的有效方法之一，能夠培養學生的結構化思維與遷移應用能力，幫助他們更好地應對復雜數學問題.在教學過程中，教師需著重培養學生的觀察力，引導學生靈活運用同構法，同時警惕“偽同構”的解題陷阱，從而實現數學核心素養的全面提升.

參考文獻：

[1］張峰.巧用同構法解答含有指數式與對數式的不等式問題［J].語數外學習（高中版），2024（12） ：44.

[2］時科峰.例析用同構法解決不等式問題[J].中學數學教學參考，2024（27）：41-43.

[責任編輯：李慧嬌]