基于皮爾遜相關系數與核密度估計的低秩稀疏分形圖像壓縮算法

中圖分類號：TN919.8 文獻標志碼：A

分形圖像壓縮編碼算法是BARNSLEY等基于迭代函數系統提出的。之后，JACQUIN[2]在BARNSLEY的基礎上提出基本分形圖像壓縮算法（basicfractalimagecoding，BFIC）。與傳統圖像編碼算法相比，BFIC算法具有高壓縮比且重構圖像質量較好，但由于塊間最佳匹配過程費時，導致編碼時間較長。國內外學者為了降低編碼復雜度和提高重構圖像質量，用計算復雜度較低的指標代替均方誤差來描述圖像塊之間的匹配度，如TRUONG等[3]和WANG等[4]分別使用相關系數和空間紋理相關性代替均方誤差，但效果有限且編碼復雜度仍較高。 NANDI^[5] 和WANG等[利用平均像素強度和方差對定義域塊 D （domainblock）進行分類。GUPTA等通過使用自適應閾值來減少值域塊 R （rangeblock）的搜索范圍。此外，和諧搜索算法[8]和散點搜索算法也被用來提高分形編碼的效率。雖然這些算法提高了分形圖像壓縮算法的編碼效率，但由于搜索范圍較小，導致重構圖像質量有所下降。為了降低編碼復雜度的同時提高重構圖像質量，又有學者提出小波與分形相結合的算法[1]。文獻[11]提出用變異系數作為圖像塊特征量來降低編碼時間和冗余度。CAO等[12]提出一種基于紋理特征的圖像正交化稀疏分形編碼算法，一定程度上提高了重構圖像質量和編碼效率。NANDI^[13] 采用了四叉樹劃分的分形圖像壓縮算法，該算法使用較大的塊來獲得平滑的圖像區域，用較小的塊來捕捉圖像細節，然而，算法的劃分位置固定在水平線或垂直線的中間，沒有充分考慮圖像的特征信息。LIU等[14]和WANG等[15-16]將分形圖像壓縮算法與混沌系統相結合，保證重構圖像質量的同時達到了較高的壓縮比。

近些年，壓縮感知、稀疏編碼理論因其簡單、儲存能力強等優勢，成為圖像壓縮領域的研究熱點。現有的稀疏分形編碼算法[17-18]大多是直接通過計算值域塊 R 和定義域塊 D 的匹配誤差實現最優匹配，雖然獲得了較好的重建質量，但由于實現每個R 塊與 D 塊的最優匹配過程較為緩慢，重建速度仍需進一步提高。因此，本文利用值域塊 R 和定義域塊 D 的皮爾遜相關系數作為圖像塊特征量用于匹配計算，并對提取的皮爾遜相關系數特征量進行最優帶寬核密度估計，能更準確地估計采樣密度，有效降低搜索復雜度的同時提高了圖像重構效果。

本文提出一種基于皮爾遜相關系數[19-21]與核密度估計[22]的低秩稀疏分形圖像壓縮算法。皮爾遜相關系數主要是用來衡量兩個變量之間的相關性程度，核密度估計是一種有效的非參數統計方法。首先，提取值域塊 R 和定義域塊 D 的皮爾遜相關系數作為圖像塊特征量用于匹配計算，并對提取的皮爾遜相關系數特征量進行最優帶寬核密度估計；其次，利用分形圖像編碼的低秩稀疏分解實現 R 塊和 D 塊的匹配，提高了重構圖像質量和解碼速度。經實驗對比分析，本文提出的算法既降低了編碼時間和冗余度，又能得到高質量的重構圖像。

1 基本理論

1.1 分形圖像壓縮算法

在分形編碼算法中，首先采用固定塊分割法將大小為 M×M 的原始圖像 I 分割成 B×B 大小的非重疊的 R 塊和 2B×2B 大小的重疊的 D 塊。根據拼貼定理，每個 R 塊可由仿射變換得到與之最佳匹配的 D 塊，再用與 R 塊近似的 D 塊拼貼出新的圖像。假設圖像 f（x，y） 的灰度值為 z ，那么仿射變換 L_i^[2] 可表示為

式中： a_i?b_i?c_i 和 d_i 是幾何位置變換系數， e_i 和 f_i 為空間偏移系數，它們都屬于幾何變換，稱為等距變換 γ_j（j=1，2，…，8） ； s_i 和 o_i 分別為對比度調節因子和亮度調節因子。通常， e_i 和 f_i 取 0D 塊經空域壓縮和平移實現與 R 塊同尺寸，然后進行等距變換、對比度調節和亮度調節，得到與 R 塊近似的圖像塊，實現 R 塊與 D 塊的匹配。匹配過程主要通過對比度調節和亮度變換，其表達式為

R≈s_iD+o_iU

式中： U 塊的灰度值均為1。所謂最佳匹配，即經過對比度和亮度調節后， R 塊和 D 塊的匹配誤差 E（R，D） 最小。利用最小二乘法來求解

通過對式（3）求偏導，解得最佳匹配下的對比度因子 s_i 和亮度偏移因子 o_i 分別為

式中： 和 分別表示 R 塊和 D 塊的像素均值； ?? 表示歐式內積； 表示 L₂ 范數，若 ，則 。基于以上仿射變換過程，得到 R 塊的分形編碼參數 {s_i，o_i，i γ_j} ， i 表示與 R 塊最佳匹配的 D 塊的位置， γ_j 表示等距變換。解碼通過迭代來完成，根據Banach不動點理論[]和拼貼定理[2]，選取任意圖像為迭代初始圖像，當完成預設的迭代次數后，可獲得與待編碼圖像近似的重構圖像。

1.2 低秩稀疏分解

人類的神經視覺特性為圖像稀疏分解提供了依據。針對圖像壓縮，稀疏分解可從海量數據中選取一小部分重建新數據，消除數據的冗余性。低秩稀疏矩陣分解[23]是對圖像矩陣 I 進行分解，得到與原始圖像近似的低秩矩陣和表示包含輪廓信息的稀疏矩陣，圖像可分解為

I=L+S+N，r（L）?r，c（S）?c

式中： L 為低秩矩陣， s 為稀疏矩陣， N 為噪聲矩陣； r（L） 是低秩矩陣 L 的秩， r 是秩的最大值； c（S） 為稀疏矩陣 s 的稀疏系數， c 越小矩陣越稀疏。可通過求解目標函數分解誤差的最小化來求解式（5）。

subjectto r（L）?r，c（S）?c

式（6）中， ∥?∥_F 表示Frobenius范數。由于最大稀疏系數 Ψ_c 無法直接估算，因此對稀疏矩陣 s 施加正則化參數 λ，λ 為權衡低秩性和稀疏性的參數，式（6）進一步轉化為求

subject to r（L）?r

式（7）中， |?|₁ 為 L₁ 范數。為了進一步優化求解式（7），可將式（7）分解為以下兩部分交替求解，通過迭代求解直致收斂。

迭代結束后即可得到分解誤差最小化下的目標稀疏矩陣 s 和低秩矩陣 L 。

2 算法實現

分形編碼算法中每個 R 塊可由仿射變換得到與之最佳匹配的 D 塊，但過程較為耗時，本文提取R 塊和 D 塊的皮爾遜相關系數作為新特征量，并對皮爾遜相關系數進行最優帶寬核密度估計，有效降低搜索復雜度。

2.1皮爾遜相關系數特征提取

皮爾遜相關系數是一種用來度量變量間相關性的方法，變量 X 和變量 Y 的皮爾遜相關系數 p 定義如下：

式中： E（X） 和 E（Y） 是 X 和 Y 的數學期望；V（X） 和 V（Y） 是方差； C（X，Y） 稱為隨機變量和的協方差。皮爾遜相關系數 p 取值范圍為［-1，1]。如果值為正數，表示變量間是正相關；如果值為負數，則為負相關； |p| 越接近于1，說明變量間相關性越強。

利用皮爾遜相關系數度量 R 塊和與之最匹配D 塊間的相似性。由式（2）知， D 塊經變換后和 R 塊近似。假設 R 塊和最佳匹配 D 塊只與對比度因子 s 有關，灰度偏差近似為0，即有

式中： n 表示圖像塊數目。則根據式（10）有

那么，皮爾遜相關系數特征量可表示為

基于皮爾遜相關系數特征量可以得到 R 塊的最優匹配塊 D ，實現最佳匹配過程。

2.2最優帶寬核密度估計

進一步采用最優帶寬核密度估計方法對皮爾遜相關系數特征向量 p（x） 進行非參數統計，更加高效直觀地表示塊間的相似性，改善檢索效果。設x₁，x₂，…，x_n 取自 p（x） ，在任意點 x 處的核密度估計[22]定義為

式中： K（?） 為核函數（Kernelfunction）； h 為窗寬。為保證 作為密度函數估計的合理性，則要求核函數 K（?） 滿足

通常核函數的選擇不是核密度估計的關鍵因素，而帶寬會直接影響 的光滑程度。選擇最優帶寬的依據是使得密度估計與真實估計之間的偏差最小。假設樣本的密度估計與真實估計分別為 和 p（x） ，那么積分均方誤差 e_?MIS （mean in-tegralsquareerror，MISE）定義如式（15）：

其中，積分偏差平方 B（x） （簡稱偏差）和方差V（x） 分別為：

則式（15）可表示為

我們先估計 ，令 （x-x_i）/h=t ，則 x_i= x-ht ，有

結合式（14）式（16）和式（19）結論，則偏差可表示為

利用泰勒展開，則有

式中： p^′（x），p^′′（x） 分別為 p（x） 的一階和二階導數。將式（21）帶入式（20），可得到偏差的表達式為

式（22）中， 。方差為

由式（22）和式（23）可知，帶寬 h 越小，偏差越大，但方差越小，因此需要權衡偏差和方差，選擇一個最優帶寬，使式（18）中 e_?MIS 最小。將式（22）和式（23）帶入式（18），則有

通過對式（24）求導，可解得 e_?MIS 最小時的帶寬為最優帶寬 h_opt

此時，最優帶寬下的皮爾遜相關系數特征向量p（x） 的核密度估計為

通常將 p（x） 看成正態分布去求解，即

R 塊匹配的 n 個 D 塊為 D_i（i=1，2，…，n） ，則 R 塊可表示為

對式（3）中 R 塊和 D 塊的匹配誤差 E（R，D） 作進一步分析，結合式（4），則有

取核函數 K（?） 為高斯函數，即

則有

將式（27）和式（29）帶入式（25），得最優帶寬為hopt = 1.06gn-1/5 。

2.3分形圖像編碼的低秩稀疏分解過程

對于 M×M 大小的圖像 I ，將其分割成 B×B 大小的非重疊的 R 塊和 2B×2B 大小的重疊的 D 塊，假設滑動的水平和垂直步長均為 δ 。那么分割后圖像塊數目分別為 和 N_p= 0 （M-2B）/δ+1）² 。經8種等距變換后的 D 塊虛擬碼本的數目為 8×（（M-2B）/δ+1）² ，將每個碼本重新排成列，則得到一個矩陣，維數為 δ²×δ 8（（M-2B）/δ+1）² ，低秩稀疏分解的編碼過程是求分解誤差最小化下的目標稀疏矩陣 s 的過程，將低秩稀疏分解應用到塊的匹配過程，通過生成目標稀疏矩陣 s ，實現了一個 R 塊和多個 D 塊之間的匹配。降低了分形壓縮編碼復雜度。假設與一個

是碼本 D 的歸一化。由式（31）可知，當 取得最大值時， E（R，D） 可達最小，提高了圖像重構質量。基于以上，式（2）可寫成

由式（32）知，匹配過程只需要計算對比度調節因子 s_i ，降低了計算復雜度，提高了圖像重構的速度。

2.4算法實現流程

根據以上分析，本文算法的具體實現過程如下：

1）圖像分割。將 M×M 的原始圖像 I 分割成4×4 大小的互不重疊的 R 塊；分割成位移步長為δ=4，8×8 大小的可重疊的 D 塊。

2）分別計算 R 塊和 D 塊的皮爾遜相關系數p（x） 作為新特征量。

3）用最優帶寬核密度估計方法對皮爾遜相關系數特征向量進行非參數統計，得到 。

4）將皮爾遜相關系數特征向量的核密度估計統計特征量 依據相似性從高到低排序。取與R 塊最相似的前 M 個 D 塊，執行8種等距變換并歸一化，得到過完備虛擬碼本。

5）利用分形圖像編碼的低秩稀疏分解算法實現 R 塊和 D 塊的匹配：

（1）針對每一個 R 塊，初始化殘差 索引集 ， χ_t 為迭代次數， c 為式（6）中的稀疏系數。

for t=1 ： c

（2）計算殘差 e_t-1 與 D 的歸一化 的 某一列 的內積最大值，找到此時的索引

（3）更新索引集 A_t=A_t-1∪{λ_t}，D_t= 。

（4）用最小二乘法更新尺度系數 （號

（5）更新殘差 。

（6）if ，迭代停止;否則，繼續執行步驟（2）。（7）更新對比度調節因子 （8）得到 R 塊的分形編碼參數 {s_t，λ_t，R_i} 。

3 實驗結果與分析

為了驗證本文提出算法的有效性，選取9幅512×512 大小的標準測試圖像進行實驗，分別為barbara、peppers、boat、camera ? couple、goldhill、lena、man和zelda，圖1為部分圖像。實驗硬件平臺為CPUi5-1035G1，Windows10操作系統的計算機，軟件為MATLAB R2019a 。本文算法下得到的解碼重構圖像如圖2所示。實驗性能指標參數為峰值信噪比 P_sNR （peak signal to noise ratio，PSNR）（單位：dB）和編碼時間（單位：s）。 P_sNR 定義為

式中： x_ij 表示 M×N 大小的原始圖像; y_ij 表示重構圖像。

3.1實驗參數的設置

通過實驗對比，分析本文算法中的稀疏系數c 、重構誤差閾值 e_min 對分形編碼時間和圖像重構質量的影響，從而確定參數，得到最佳實驗結果。稀疏系數 c 也是搜索匹配塊過程中的迭代次數的終止值，由圖3和圖4所示，稀疏系數 ∣c∣ 提高，圖像重構質量也在一定范圍內提高，但是由于數據增加，編碼時間也隨之增加。當 ∣c∣ 超過10以后，PSNR值增加緩慢，編碼時間Time在不斷提高，為了平衡重構質量和編碼時間，本文算法取 c=10 。

重構誤差閾值 e_min 是搜索匹配塊過程中的迭代終止條件。 e_min 越小，表示 R 塊和 D 塊匹配的誤差閾值要求越高，此時匹配精度越高，重構圖像質量越高，編碼時間也越長。由圖5和圖6可以看出， e_min∈[10，20] 時，圖像重構質量下降較快，此時，編碼時間也下降較快，綜合考慮圖像重構質量和編碼時間， e_min 取值范圍為［10，20]時算法結果達到最優，本文算法 e_min 取15。

3.2實驗結果對比與分析

將本文算法與基本分形編碼（basicfractalim-age coding，BFIC）[2]、稀疏分形圖像壓縮算法（sparse fractal image coding，SFIC）[24]、雙層非負矩陣分解算法（double-layernon-negativematrix factor-ization，DLNMF）[25]和正交稀疏分形編碼算法（or-thogonal sparse fractal coding，OSFC）[12]進行對比分析。為保證算法的公平性和有效性，實驗中對不同的算法設置相同的參數，即 c=10，e_min=15 。以圖像boat和camera為例，分別采用BFIC、SFIC、DL-NMF、OSFC算法和本文算法對實驗圖像進行壓縮編碼與重構，重構后的圖像如圖7所示。

從圖7可以看出，BFIC算法下的圖像重構質量較差，出現了明顯的塊效應，SFIC、DLNMF和OSFC算法下圖像的重構質量有所提升，本文算法可獲得較高的重構圖像質量，在視覺效果上幾乎與原圖無差。不同算法下9張圖像對比實驗結果如表1所示。

由表1可知，與BFIC、SFIC、DLNMF和OSFC算法相比，本文算法獲得較高圖像重構質量的同時，編碼速度也相對較快。相比于BFIC算法，9幅實驗圖像的PSNR值平均提高了7.13dB，編碼速度大幅度提升。其中，圖像barbara、boat和goldhill的PSNR分別提高了9.07、8.92和9.73dB，編碼時間分別縮短了381.46、376.86和384.54s；與SFIC算法相比，PSNR值平均提高了2.81dB，編碼時間平均縮短了35.4s;和DLNMF算法相比，編碼時間縮短的同時PSNR值平均提高了3.29dB；相比于OSFC算法，PSNR值和編碼速度均有一定程度的提高。針對以上不同類型實驗圖像，整體實驗結論一致，即本文算法下的PSNR與編碼速度均優于其他算法。通過以上實驗結果可知，本文算法在保證圖像重構質量的同時也提高了編碼效率。圖8和圖9更直觀地展示了不同算法下實驗圖像的重構質量和編碼時間。

4結論

針對傳統分形圖像壓縮算法下圖像重構質量和編碼效率不理想的情況，本文提出一種基于皮爾遜相關系數與核密度估計的低秩稀疏分形圖像壓縮算法，提取值域塊 R 和定義域塊 D 的皮爾遜相關系數作為圖像塊特征量用于匹配計算，并對提取的皮爾遜相關系數特征量進行最優帶寬核密度估計，再利用分形圖像編碼的低秩稀疏分解實現 R 塊和 D 塊的匹配。對比實驗表明，本文算法既降低了編碼時間和冗余度，又能得到高質量的重構圖像，減少了存儲空間和傳輸帶寬，使得圖像在傳輸過程中更加高效。作為人工智能時代通信技術的一個重要應用，本文算法在醫療圖像、媒體數據傳輸、遙感監測等工程領域有較好的應用前景。

今后將研究圖像塊之間的匹配算法，并探索新的圖像特征量，進一步提高圖像重構質量和編碼效率，使提出的算法能夠廣泛應用于對壓縮重構圖像質量要求較高的領域。

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（責任編輯：曾 晶）

Low Rank Sparse Fractal Image Compression Algorithm Based on Pearson Correlation Coefficient and Kernel Density Estimation

ZHANG Qin*， XIE Ying， CAO Yiqing （School of Mechatronicsand Information Engineering，Putian University，Putian 3511Oo，China）

Abstract：Fractal image compression algorithm has high compression ratio，but there are problems of long compression time and low quality of reconstructed images. In order to solve these problems，a low rank sparse fractal image compression algorithm based on Pearsoncorrelation coefficient and kernel densityestimation is proposed. The proposed algorithm extracts Pearson correlation coeficient of R block（range block）and D block （domain block）as feature quantity，and the optimal bandwidth kernel density estimation is performedon the extracted Pearson correlation coefficient features，then the low rank sparse decomposition offractal image coding is used to realize the matching of R blocks and D blocks. The proposed algorithm is compared with basic fractal image coding（BFIC），sparse fractal image coding（SFIC），double-layer non-negative matrix factorization （DLNMF）and orthogonal sparse fractal coding（OSFC）.The experimental resultsshow that the image reconstruction quality and coding speed are both improved.The storage space and transmission bandwidth of the image are reduced，and the image details can be maintained after reconstruction.It has a good application prospect in engineering fields such as medical images，media data transmision and remote sensing monitoring. Keywords： image compression;； fractal coding； Pearson correlation coefficient； kernel density estimation