借助幾何直觀 解析數(shù)量關(guān)系

幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界\"的主要表現(xiàn)之一，其主要是指利用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。幾何直觀有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下通稱“新課標(biāo)\"）對幾何直觀內(nèi)涵和作用功能的描述中可以看出，幾何直觀不僅可以把復(fù)雜和抽象的問題變得簡明、形象、生動，還可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題。

一、借助幾何直觀理解數(shù)量關(guān)系的價值

在學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系時，幾何直觀有五個方面的價值：一是便于可視化。能將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形、圖像等可視形式。例如，把復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用坐標(biāo)圖呈現(xiàn)，或者用圖形表示工程進度與時間的關(guān)系，讓人一眼就能“看\"到數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，降低理解難度。二是便于增強記憶。可視化的呈現(xiàn)方式更利于大腦記憶。相較于單純記憶公式、數(shù)字等抽象內(nèi)容，通過觀察幾何直觀所展現(xiàn)的具體圖形、實例，學(xué)生更容易記住數(shù)量關(guān)系的特點及變化規(guī)律，回憶起來也更便捷。三是便于快速理解數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。幾何直觀能幫助學(xué)生快速理解數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。以“購物時折扣與總價的關(guān)系”為例，用圖形劃分表示原價和折扣價，學(xué)生能迅速明白折扣高低對總價的影響，無需復(fù)雜的計算推導(dǎo)，可在短時間內(nèi)理解數(shù)量關(guān)系的核心要點。四是便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系中的潛在規(guī)律。例如，在觀察數(shù)列對應(yīng)的點在坐標(biāo)圖上的分布時，學(xué)生會直觀地發(fā)現(xiàn)這些點呈現(xiàn)出某種線性或非線性規(guī)律，進而深入探究數(shù)量關(guān)系背后的邏輯，并進行預(yù)測和分析。五是便于溝通交流。在教學(xué)、團隊合作等場景中，幾何直觀是一種很好的溝通工具。用圖形解釋數(shù)量關(guān)系，不同知識水平的學(xué)生都能更輕松理解，能有效避免因?qū)Τ橄蟊硎隼斫獠灰恢露a(chǎn)生的溝通障

礙，確保信息準(zhǔn)確傳達。

二、打造理解數(shù)量關(guān)系的幾何直觀載體

一是利用實物教具(小棒、積木、珠子等實物)理解數(shù)量關(guān)系。例如，用小棒演示加法，讓學(xué)生直觀看到幾根小棒和另外幾根小棒合在一起的數(shù)量變化，理解加法就是把兩部分?jǐn)?shù)量合并的運算，從而明白數(shù)量增加的關(guān)系。用積木搭建不同的造型，如搭建長方體時，讓學(xué)生數(shù)出每層積木的塊數(shù)以及層數(shù)，理解乘法是幾個相同加數(shù)相加的簡便運算，像每層3塊積木，搭了4層，就是4個3相加，用乘法 3×4 表示，建立起乘法與數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系。

二是繪制簡單圖形理解數(shù)量關(guān)系。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生自己動手畫圖形來表示數(shù)量。例如，畫圓形表示蘋果，畫幾個圓形就代表有幾個蘋果。如果要表示吃掉了一部分蘋果，就可以把相應(yīng)數(shù)量的圓形涂掉，讓學(xué)生通過觀察剩余圓形的數(shù)量，理解減法中數(shù)量減少的關(guān)系。畫線段圖表示路程、速度和時間的關(guān)系，用一條線段表示一段路程，在線段上按一定比例劃分出不同時間段走過的路程，幫助學(xué)生理解隨著時間變化，路程也會相應(yīng)改變的數(shù)量關(guān)系。

三是借助生活場景理解數(shù)量關(guān)系。在日常生活場景中，教師可引導(dǎo)學(xué)生運用幾何直觀理解數(shù)量關(guān)系。例如，在購物時，教師可讓學(xué)生觀察商品的標(biāo)價簽，用長方形表示商品的總價，把長方形按照單價劃分成若干等份，每一份代表一件商品的價格，明白總價和單價、數(shù)量之間的關(guān)系（總價 Σ=Σ 單價 ?× 數(shù)量)。在分水果時，把水果擺放成幾行幾列，用行數(shù)和列數(shù)來表示數(shù)量，讓學(xué)生理解平均分與除法的關(guān)系，如一共有12個水果，擺成3行4列，那么 12÷3=4 ，即每行有4個水果，通過這樣的生活場景讓學(xué)生在實際操作中感受數(shù)量關(guān)系。

四是開展游戲活動理解數(shù)量關(guān)系。教師可設(shè)計一些有趣的游戲來強化學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解。例如，玩“數(shù)字拼圖\"游戲，把一幅完整的圖片按照一定的數(shù)量關(guān)系分成若干小塊，分成幾行幾列，每小塊上標(biāo)有數(shù)字，學(xué)生需要根據(jù)數(shù)字的排列順序和數(shù)量關(guān)系把圖片拼好，在游戲過程中感受數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系以及數(shù)量的組合關(guān)系。還可以玩“搭房子\"游戲，規(guī)定用一定數(shù)量的積木搭建房子，讓學(xué)生根據(jù)自已的理解分配積木的使用，如用多少塊做墻、多少塊做屋頂?shù)龋谶@個過程中理解數(shù)量的分配和整體與部分的數(shù)量關(guān)系。

五是運用多媒體資源理解數(shù)量關(guān)系。教師可利用動畫片、教育軟件等多媒體資源輔助教學(xué)。有些動畫片會巧妙地把數(shù)量關(guān)系融入故事情節(jié)中，通過動畫角色的活動展示數(shù)量的變化，學(xué)生可以直觀地看到這些變化并理解其中的數(shù)量關(guān)系。教育軟件則可以提供互動式的學(xué)習(xí)體驗，如讓學(xué)生通過觸摸屏幕操作圖形來理解數(shù)量關(guān)系，在玩的過程中提升對數(shù)量關(guān)系的理解能力。

三、利用幾何直觀分析數(shù)量關(guān)系的策略

（一）借助幾何直觀的可視化，化抽象為形象

數(shù)學(xué)的抽象性與小學(xué)生以具體形象思維為主的矛盾是客觀存在的，幾何直觀因其特有的直觀形象性，與小學(xué)生的思維規(guī)律合拍，正是化解這一矛盾的有力抓手。在教學(xué)中，教師可借助幾何直觀的形象性，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)的抽象性提供可視化的思維支撐，有效破解學(xué)生的思維難點。分析數(shù)量關(guān)系是解決問題的核心，當(dāng)數(shù)量關(guān)系抽象時，幾何直觀的形象性，便于學(xué)生簡潔明了地看懂題目中的各種數(shù)學(xué)信息，并找出各種信息之間的數(shù)量關(guān)系，化抽象為形象。

例如，在教學(xué)一年級“做操排隊成一行，笑笑的左邊有5個小朋友，右邊有6個小朋友，這一行共有多少個小朋友？”問題解決時，這道題隱藏著一個條件，對于一年級的學(xué)生來說，數(shù)量關(guān)系抽象。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維“卡殼\"時，教師啟發(fā)學(xué)生把笑笑排隊的隊伍畫出來。此時的畫圖，正是基于學(xué)生的需求，因此，學(xué)生不難畫出如下示意圖：

5人 笑笑 6人0000o?○0000o？人

抽象的數(shù)量關(guān)系因為幾何直觀變得直觀、形象、可感，原來隱藏的數(shù)量關(guān)系也清楚地展示在學(xué)生的眼前，學(xué)生從中能感受到幾何直觀的作用。

(二)借助幾何直觀的可視化，化錯誤為資源

學(xué)習(xí)是一個不斷試錯、出錯、糾錯的過程。學(xué)生在問題解決中出現(xiàn)錯誤是很正常的，關(guān)鍵是教師要善于預(yù)設(shè)學(xué)生的錯誤，并借助幾何直觀，幫助學(xué)生厘清錯誤的根源。

例如，在教學(xué)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級下冊“問題解決”一“人才小學(xué)原來有一個長方形花圃，長50米，寬40米。擴建花圃時，花圃的長和寬都增加了10米?；ㄆ缘拿娣e增加了多少平方米？\"時，多數(shù)學(xué)生僅憑字面上的理解很容易列出了 10×10=100 （平方米）”的算式。此時，教師不急于評價學(xué)生的對錯，而是借機設(shè)問：這樣列式對嗎？請你想辦法證明。為了證明自已的解法是正確的，學(xué)生自然會想到畫圖，把題目的意思畫出來。學(xué)生借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)解法錯了，面積增加的部分不是邊長為10的小正方形，而是一個不規(guī)則的圖形，應(yīng)該用“大面積減去小面積等于增加部分的面積”的數(shù)量關(guān)系列式。學(xué)生利用幾何直觀，不僅發(fā)現(xiàn)了錯誤所在，還用常規(guī)解法得出正確的結(jié)果，初步感受幾何直觀的作用。教師乘機追問：“如果不用大面積減小面積的方法，還有其他方法嗎？”思考片刻后，學(xué)生又把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為兩個或三個規(guī)則圖形，獲得多種解法，又一次感受幾何直觀的作用。

（三)借助幾何直觀的可視化，化復(fù)雜為簡潔

數(shù)學(xué)中的簡潔美不僅表現(xiàn)在公式美上，也體現(xiàn)在幾何直觀給解題帶來的解法簡潔美上。為此，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情境，借助幾何直觀引領(lǐng)學(xué)生感悟解題方法的簡潔之美，感受幾何直觀化復(fù)雜為簡潔的作用。

例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)問題“巧巧是個愛讀書的同學(xué)，計劃分三次讀完一本科技書。按計劃巧巧第一次讀了這本科技書總頁數(shù)的 ，第二次讀了余下的 了12頁，這本書共有多少頁？\"時，這道題有多種思路一順向思維、逆向思維、直觀思維。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷順向思維和逆向思維兩種方法分析數(shù)量關(guān)系。

方法一：以科技書的總頁數(shù)為單位“1”，把第二次讀了余下的 轉(zhuǎn)化總頁數(shù)的 則第三次讀了總頁數(shù)的 ， ，12頁相當(dāng)于總頁數(shù)的 故得，這本書共有 12÷ （頁）。

方法二：把這本書余下的頁數(shù)看作單位“1”，則第三次讀了余下的 第三次比第二次多讀了余下頁數(shù)的 12頁相當(dāng)于余下頁數(shù)的 ，求得余下的頁數(shù)是 （頁），60頁相當(dāng)于總頁數(shù)的 故得，這本書有 180(頁)(如圖1)。

當(dāng)學(xué)生體驗到兩種解法分析數(shù)量關(guān)系的繁難后，教師提出問題：“數(shù)學(xué)是數(shù)形結(jié)合的，你們從數(shù)的角度用順向、逆向兩種思維分析了這道題的結(jié)果。轉(zhuǎn)一個角度，能不能從形的角度來分析這道題呢？”在問題的激勵和方法一的啟發(fā)下，學(xué)生以直觀思維分析：把這本書的總頁數(shù)看成一個長方形，平均分成15份，第一次讀了10份，第二次讀了2份，第三次讀了3份，從圖上直觀看出1份是12頁，全書15份，即12×15=180 （頁）。

總之，幾何直觀因其可視化，能較好地處理學(xué)生思維形象與數(shù)學(xué)抽象之間的矛盾，有助于學(xué)生明晰思維的路徑，是分析數(shù)量關(guān)系的有效抓手。

參考文獻：

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（責(zé)任編輯：楊強）