新課標下高中數學概率與統計教學策略分析

概率與統計作為高中數學的重要組成部分，在高中數學知識體系的組成和科學思維、實際應用能力的培養中扮演著重要角色，歷來是高中數學的教學重心之一。在新課標背景下出于對學生創新精神、跨學科思維、自主學習能力等綜合素質培養的重視，要求教師在概率與統計教學中亦需要做出相應的調整優化。為此，本文中筆者結合自身多年的高中數學教學經驗及相關學者對概率與統計教學的研究，立足于民族地區高中數學學情，在明確教學內容新變化的基礎上，分別從興趣激發、重難點掌握、個性化提升、高考應考等方面就高中數學概率與統計部分的教學策略進行了一定思考，以期能夠更加有效地提升數學教學質量。

對學生創新精神、跨學科思維、自主學習能力等綜合素質的重視和培養是新課標尤為關注和強調的理念與要求。作為高中數學教學內容的重要組成部分，概率與統計部分的知識在提升學生科學思維和實際應用能力等方面有著較為顯著的作用。作為高中數學教師，應重點關注新課標要求、教材內容的變化、新高考的考查方向或命題趨勢，立足于具體數學學情，持續地調整和優化概率與統計教學，以便在高質量完成相應教學內容的同時，更有效地培養和提升學生的數學學科素養，助推其更好地學習與發展。為此，本文中筆者圍繞新課標下高中數學概率與統計教學進行了一定的策略性思考，具體分析如下。

1積極學習，明確教學內容新變化

新課標強調要在教學過程中滲透和重視學生綜合素質和實際應用能力的培養。而結合新課標的要求，筆者認為在進行概率與統計教學時，尤其需要注重學生數學思維、實際應用能力、跨學科思維、自主與合作學習能力的培養。繼而根據培養目的有意識地設計概率與統計部分的教學內容或組織教學活動。

例如，為了培養學生的數學思維，我們在進行概率教學時，可嘗試引導學生通過分析擲骰子等類似具體現象的概率問題，逐步幫助學生理解概率的定義及其計算方法，再進一步抽象出相應的數學模型，這一過程有助于培養學生的抽象思維與邏輯推理能力，同時也有助于幫助高中生運用抽象出的模型及方法更好地解決后期遇到的各種實際問題。另外概率與統計的教學往往需要與生物學、經濟學等其他學科相結合，這不僅能幫助學生開闊視野、拓展思維，也為學生進行跨學科思維培養提供了良好機會，如在進行統計內容的學習時，筆者便嘗試在引導學生分析新中國成立尤其是改革開放以來人口統計數據變化的過程中，深入探討人口變化對經濟及社會的影響。在感受數學實用價值的同時也有助于引導學生關注生活和社會，從一定程度上也培養和增強了學生的社會責任意識。除此外，開放性問題的設計和開展對于培養學生的自主與合作學習能力也有著較為明顯的優勢，而在概率與統計教學中又蘊含著豐富的開放性問題設計素材。如2019年北京高考卷第17題便以學生熟悉的移動支付為背景，設計了開放性問題，不僅考查了學生對數學期望、離散型隨機變量分布列等知識的掌握情況，而且在對隨機數據和現象的分析過程中，又考查了學生的數據分析及建模等能力。為此，我們在平時的教學過程中，可以上述典型試題為例，盡可能多地給學生創設各種開放性的問題。如概率部分隨機事件的模擬、條件概率的實際應用，統計部分數據的收集與分析、假設檢驗的探究、相關性與因果關系的探討等，讓學生在積極主動地參與、分析、思考、探索過程中，強化學生該方面的能力，也讓學生在學以致用的過程中逐步實現創新意識的培養與提升。在此需要補充強調的是，在概率與統計教學中設計開放性問題時，必須堅持以數據為支撐，再以此計算出事件發生概率或樣本數據均值。另外，對于小概率事件發生的情況也應客觀對待，尤其是由于抽樣數據過少造成的小概率情況更需引導學生正確面對，以免出現一葉障目的情況。

2注重互動，激發高中生學習興趣

較之于初中數學，高中數學尤其是概率與統計部分因其知識獨立性強、知識量增加、數學語言抽象化和思維方式理性化等顯著特征，使得很多高中生在學習這部分知識時往往力不從心甚至心生退意，這種現象在筆者所在的民族地區縣城高中尤為明顯，也是大多數數學教師需要面對的挑戰之一。作為高中數學教師，若不能正視這種現象并采取積極的應對措施，不僅會直接影響概率與統計內容的學習效果，也會間接影響學生學習數學這一學科的整體效果。為此，通過豐富的方式努力激發學生對概率與統計學習的興趣、提高其學習主動性和積極性就顯得尤為關鍵。結合筆者教學經驗，建議本地區高中數學教師可做如下嘗試。

一是注意實際應用案例。將日常生活中的案例引入概率與統計知識的教學，不僅能夠拉近學生與抽象數學知識間的距離，且能在互動體驗和學以致用的過程中，讓學生真實感受到概率與統計知識的實用性，培養和提升學生運用數學知識和思想分析與解決問題的能力。如為了提升學生分析數據的能力，筆者以學校運動會上跳遠選手的兩組實際數據為例，讓學生首先通過對兩組數據進行簡單的數據排序和計算，整理分析計算出二者跳遠成績的平均數、中位數以及眾數等數據，即從這三個統計角度對跳遠成績進行了比較分析，隨后為了能夠更加直觀地呈現兩位選手的成績區別，又以兩組數據為準引導學生制作了頻率柱狀圖，并對該圖進行了觀察分析，借此引出了極差以及標準差等概念。在上述過程中，學生通過親身參與和體驗，不僅掌握了諸如整理、分析、排序、制圖、計算等數據處理技能，且意識到了實際學習和生活中概率與統計知識和方法的重要應用價值。這在一定程度上激發了學生對概率與統計的學習興趣，促使其以更好的狀態投入后期的數學知識學習之中。

二是注意積極的互動與實驗教學。在概率與統計教學中，適時地設計一些互動較強的課程或實驗，能夠讓學生在實踐參與過程中滿足學習的好奇心，也能增強其對概率與統計相關知識的認知與理解。具體而言，教師應通過各種方法與學生進行有效的互動與交流，在互動與交流過程中實現問題的分析與解決。如可圍繞一定教學情境設計和提出難度等級逐步加深的問題鏈，引導學生以自主或小組形式對問題進行分析、思考，并鼓勵學生大膽地闡述個人的觀點或意見，在探討中不斷進行思維碰撞，在評價中提升學生的批判性思維。即通過互動讓學生更加深入地理解相關的概率與統計概念等內容，不再停留于簡單機械地記憶公式或定義。例如，在進行隨機事件發生概率的教學時，筆者便選擇了3張紅心和2張黑桃總計5張撲克，并提出問題，即若在上述5張撲克牌中隨機抽取1張，有多大的概率可抽取到紅心撲克。圍繞這一問題，學生進行了嘗試、互動與思考，從而對隨機事件中的概率問題有了更深刻的認知與理解。此外在概率與統計教學中我們亦可以嘗試設計一些模擬實驗，讓學生在互動體驗過程中感受概率與統計的應用價值，提升其學習的成就感。例如筆者就曾讓學生通過分析高考前10個班級5次模擬考試的成績，通過比較班級平均分、排名、方差、試卷難度等因素，分析得出目前成績波動的原因主要為臨考前很多學生的情緒及心態不夠穩定，特別是成績波動較大的學生。為此，筆者便根據分析結果專門進行了一堂考前的心理輔導課，并預測出下次模擬考試大家的成績在整體上都應該有所上升。根據后期的數據比對學生發現，班級中很多學生在調整或穩定心態后成績都有不同程度的提升。這種結果一方面證明了概率與統計的實用性，另一方面也有助于提升學生的自信心，促使其以更加穩定的狀態面對即將到來的高考。當然這種互動和實驗教學不應僅局限于教師的授課過程中，更需要鼓勵學生在實際生活中發現相關問題，并運用課堂掌握的知識分析和解決問題，從而在一定程度上改善或提高學習與生活的質量。例如，節假日的交通出行選擇、結合天氣預報情況提前預備生活用品等。換言之，通過上述課堂內外的各種相關實驗活動，不僅能幫助學生加深對統計原理和方法的認知與理解，且能逐步培養高中生的實驗設計能力和科學精神素養，這無論是對于其當前的數學學科學習還是今后的社會生活都有一定的價值。

三是積極開展小組探究性教學活動。在同伴互助、取長補短中降低學習難度，在探究討論、交流分享中獲取并掌握知識。坦率地說，學生對概率與統計知識的認知和理解由于各種主客觀因素的影響，存在著參差不齊的現實狀況。若教師能在充分了解學生真實學情的基礎上，進行科學靈活的分組搭配，不僅能夠進一步提升對概率與統計等知識理解和掌握本身就不錯的學生的積極性，且能在這部分學生的引領下，帶動小組內部乃至整個班級的學習積極性。如在古典模型的教學中，筆者便結合具體案例引導學生綜合運用諸如小組探究、比較運用列舉法、列表法及樹形圖法等方法嘗試分析和解決古典模型中涉及的相關具體問題，不僅激發了學生的學習熱情，也加深了其對古典模型計算公式解題思路的理解和應用。

3循序漸進，引導學生掌握知識與技能

概率與統計的教學應該循序漸進，逐步培養學生的統計意識、概率思維，引導學生掌握并熟練地運用概率與統計知識與技能。具體而言，應當做到下列幾個方面。

一是注重創設生活化情境培養學生的統計意識。概率與統計知識源于生活，也需要服務于生活。借助豐富的生活素材，將抽象問題嵌入其中，引導學生對此進行分析討論，有利于在觀察探究過程中培養學生的統計意識。如在講述關于抽樣方法的內容時，筆者便以日常生活中某些清潔用品如洗衣液或減肥藥的廣告數據為例，讓學生分析其中數據的可信度，在學生討論的基礎上，進一步讓學生思考如何確保上述數據的可信度，并引導學生進一步探究思考，得出數據的可信度需要我們綜合考慮采集方法、數據來源、充分性等多種因素，尤其是需要注重適當的樣本容量比例及正確的抽樣方法。這一過程不僅有助于學生理解抽樣方法的價值，亦有助于學生統計意識的培養和形成。

二是借助實驗操作類活動培養學生的概率思維。對概率的認識需要學生跳出習慣性思維，以便更好地理解隨機事件的不確定性。通過實驗操作類活動，親身的體驗有利于學生更有效地形成概率思維，擺脫因單純數據統計分析可能造成的思維桎梏。如在認識和理解隨機事件概率問題時，筆者便策劃了拋硬幣的實驗操作類活動。即以小組為單位，讓小組成員分別進行多次硬幣拋擲并記錄正面朝上的次數及所占比例，在小組完成實驗操作后，再進行小組間的相互核對和比較。在此基礎上教師提出問題，為什么各小組的實驗結果不完全一致呢？學生經過討論后應該能夠得出“拋硬幣實驗具有隨機性”這一結論。然后讓學生猜測若再增加拋硬幣的次數，正面朝上的頻率可能是什么結果。學生思考探究后猜測拋硬幣的頻率可能趨向于某個0和1之間的常數值，然后教師再展示更多拋硬幣數據，學生通過觀察分析以驗證上述猜測，最后學生得出結論頻率是概率的近似值。我們可以用頻率作為未知事件概率的估計值，并結合拋硬幣實驗，讓學生理解在一定條件下概率是一個確定的常數，如拋硬幣正面朝上的概率便為0.5。

三是注重綜合性練習以提升學生實際應用能力。概率統計知識的學習往往與數學其他問題或知識相聯系，綜合性練習有助于我們將概率統計問題與運算、幾何等數學知識相結合，在拓寬學生練習內容和方式的過程中，幫助學生更加熟練地掌握和應用各種數學知識、方法與技能。如在學習了幾何概型內容后，我們便可給學生布置任務，讓學生根據設定的條件繪制相應的幾何圖形，并結合圖形使用幾何概型公式計算概率。需要強調的是，在進行綜合性練習時，教師需要盡可能地鼓勵和引導學生進行自主發現和自主建構。即讓學生在獨立面對、分析和解決問題等綜合性練習過程中發現自身可能存在的解題誤區，改正并加深印象，以便更深刻地理解相關的數學概念與思想。

4結合學情，個性化提升學習效果

根據筆者日常的觀察與分析發現，很多高中生在進行概率與統計學習時，都存在著或多或少的困惑，概括而言主要包括概念理解、解題方法以及數據處理等具體困難，這就需要我們進行有針對性且個性化的教學以提升這部分學生的學習效果。

如在面對概率等抽象概念時，我們可通過設計具體的情境，將教材中涉及的抽象概念與日常生活中的實例相結合，可在很大程度上減輕學生的認知和理解困難，如上文提及的選撲克牌或拋硬幣等案例便是如此。而針對解題方法存在困難的學生，則需要引導他們通過具體的分步驟解析，結合相關的典型題，盡可能掌握不同類型問題的解題思路，在此基礎上進行必要的拓展，以達到觸類旁通的學習效果。一是就概率部分的解題思路而言，首先需要明確題目涉及的事件為必然事件、不可能事件或是隨機事件，同時理解概率定義并大致明晰概率的取值范圍。其次是結合題目條件嘗試構建相應的樣本空間，在面對復雜情況時，可能還需要借助表格或樹狀圖等方式予以實現；然后就需要學生依據題目相關要求，確定所求事件，在此基礎上，再利用排列組合或等可能性原理等基本概率公式計算概率。不過需要提醒學生的是，這一步驟中也要考慮是否為互斥事件、補事件、獨立事件或聯合事件并繼而進行對應的概率計算。最后需要補充的是，若問題涉及排列組合，則需要首先確定是排列還是組合類型，然后再應用相應的公式進行計算。二是就統計部分解題思路來說，可從以下五個方面引導學生分析思考。其一是嘗試制作或利用頻率分布表或頻數表收集整理數據。其二是分別使用對應的統計量描述數據，如數據的集中趨勢可使用眾數、中位數或平均數等統計量，離散程度則可使用標準差、方差等統計量。其三是根據數據類型目的，從條形圖、折線圖、直方圖或是餅圖選擇合適的形式繪制出統計圖表。其四是進行統計推斷，具體可根據樣本數據對總體均值或方差等總體參數進行估計，或是進行假設檢驗，以判斷樣本數據與總體分布間的差異。最后便是綜合應用，這需要學生將概率與統計的知識相結合，并靈活應用相關的概念和一定方法才能更有效地解決實際問題。

另外在面對數據處理方面存在困難的學生時，教師需要盡可能多地創造機會或創設情境，并鼓勵這部分學生積極嘗試，通過個人的實際操作，讓學生在數據的收集、整理和分析過程中逐步提升數據處理能力，并給予積極肯定的評價，以增強其自信心。如上文提及的成績分析及廣告數據的搜集整理便是如此。

5關注高考，提升教學有效性

新課標、新教材、新高考三者是緊密相關的，在新課標下進行概率與統計教學，必須關注新高考對人才選拔的要求及近些年的命題趨勢，以使包括概率與統計教學在內的數學教學更具針對性和有效性。具體而言，筆者建議本地區的高中數學教師尤其要關注以下兩個方面。

一是重視概率與統計主干知識，并通過適當必要的練習，夯實基礎。結合筆者對近幾年高考數學試卷的分析，概率與統計部分在試卷中涉及的知識點相對比較零散和繁多，諸如事件與概率的概念、事件之間的和事件、積事件、補事件以及差事件等運算關系，還有概率的加法規則、互斥事件與獨立事件、條件概率與乘法法則，另外伯努利試驗與二項分布、正態分布以及互補性、時間可加性和次可加性等概率的統計性質也在高考試卷中有所考查。為此，在日常訓練中面對此類問題時，首先就需要引導學生對題目中所涉及的相關知識點進行一定的梳理，并通過分析明確步驟間的各種邏輯關系，再嘗試將相關的問題進一步拆解為小步驟，從而理清解題思路，逐步培養學生解題思維的邏輯性，進一步實現邏輯推理能力的培養，從而更有效地提升概率與統計問題的答題效果。

二是注重歸納整理，形成知識體系，融會貫通。作為高考數學重要考點之一，對概率與統計知識的考查除了以基礎性試題的形式出現外，還可能與數列、求導或是其他數學知識相銜接進行綜合考查。這就意味著在日常學習和理解概率與統計知識時，我們不僅要注重同一層面或橫向知識間的梳理整合，還需關注不同層面或縱向知識間的交叉融合。由點成線，再由線成面，進而形成一定的知識體系或理解模式，在融會貫通中更好地學以致用，更有效地面對和解決各類復雜數學問題。

總之，作為高中數學的重要組成部分，概率與統計在培養學生數學學科素養方面具有重要價值。作為高中數學教師，需要結合新課標及新教材變化，緊跟新高考命題趨勢，主動更新教學理念、積極調整教學策略，善用實際案例、互動與實驗及探究性活動等教學方法，逐步培養學生的統計意識、概率思維，持續提升學生運用概率和統計知識與技能分析、解決實際數學問題的能力，助推其更好地學習與發展。

(作者單位：積石山縣民族中學）