全概率題型的識(shí)別與答題策略

在新版的人教版數(shù)學(xué)教材中，概率知識(shí)部分新增了全概率，其定義是指計(jì)算一個(gè)事件發(fā)生的概率時(shí)，要考慮所有可能的情況及發(fā)生的概率，并將所有情況發(fā)生的概率相加所得的總概率.一般情況下會(huì)涉及分類和分步的情況，所以從基本題型來看，可以將題型分為多條路徑完成同一事情和一種方案完成多種事情，下面具體展開探究.

1多條路徑完成同一事情的情境

這種情況從完成事情過程分析，應(yīng)該分兩步完成，第一步是選擇路徑，這里會(huì)產(chǎn)生選擇路徑的概率；第二步是選擇路徑后，按照路徑去完成事情，會(huì)涉及成功與否的情況，也會(huì)產(chǎn)生概率，整個(gè)事情形成全概率事件.

例1為了完成某項(xiàng)工程，有甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)可以選擇，選中哪個(gè)團(tuán)隊(duì)是隨機(jī)的，已知甲團(tuán)隊(duì)能按時(shí)完成的概率為 ，乙團(tuán)隊(duì)能按時(shí)完成的概率為 .求該工程能按時(shí)完成的概率.

解已知選中甲團(tuán)隊(duì)或者乙團(tuán)隊(duì)來完成該項(xiàng)工程的概率均是

如果選中甲團(tuán)隊(duì)，并且完成項(xiàng)目的概率為

而選中乙團(tuán)隊(duì)，并且完成項(xiàng)目的概率是

選中甲團(tuán)隊(duì)或者乙團(tuán)隊(duì)屬于兩類不同的方案，所以兩個(gè)概率相加，則 中所以該工程能按時(shí)完成的概率為

評(píng)注選擇兩個(gè)不同的團(tuán)隊(duì)完成同一件事情，在選擇團(tuán)隊(duì)時(shí)會(huì)產(chǎn)生概率，選中團(tuán)隊(duì)后，能否按照規(guī)定時(shí)間去完成項(xiàng)目又有概率，所以這是一個(gè)全概率問題.在解答問題時(shí)，可以采用全概率公式進(jìn)行求解，也可以綜合利用分類加法原理和分步乘法原理，即甲團(tuán)隊(duì)或乙團(tuán)隊(duì)去完成，屬于分類，則應(yīng)該進(jìn)行概率加法處理，而選定團(tuán)隊(duì)后去完成事情的過程屬于分步情況，即先選后做，應(yīng)該采用乘法處理，所以概率為：選中甲團(tuán)隊(duì)的概率 x 甲團(tuán)隊(duì)按時(shí)完成的概率 + 選中乙團(tuán)隊(duì)的概率 x 乙團(tuán)隊(duì)按時(shí)完成的概率.

2一種方案選擇完成多種事情的情境

這種情境在選擇時(shí)會(huì)有概率，屬于分類情況，選擇要完成的事情后，要完成事情，這屬于分步情況，而完成事情時(shí)涉及成功與否的問題，也有概率問題，所以總體來說構(gòu)成全概率問題.

例2某校組織安全知識(shí)闖關(guān)比賽，每關(guān)有兩道題供選擇，選手隨機(jī)從中選擇一道進(jìn)行回答，答對(duì)進(jìn)入下一輪，答錯(cuò)則直接淘汰.已知甲同學(xué)在第一輪時(shí)，能答對(duì)第一題的概率為 ，能答對(duì)第二題的概率為 .求甲同學(xué)通過該輪比賽的概率.

解由題意已知，甲同學(xué)要答題之前先要隨機(jī)

從兩道題中選一道題進(jìn)行回答，則選中第一道題或

者第二道題的概率是相等的，都為 業(yè)

因?yàn)檫x中第一道題的概率是 ，而答對(duì)的概率為

所以選中第一道題并答對(duì)的概率為

又因?yàn)檫x中第二道題的概率是 ，而答對(duì)的概率為

所以選中第二道題并答對(duì)的概率為

則甲同學(xué)通過該輪比賽的概率為 中

評(píng)注一人選擇兩道題進(jìn)行回答，選中第一道題，答對(duì)與否都有概率，選中第二道題，答對(duì)與否也有概率，則甲同學(xué)通過與否就等于兩種情況的概率之和，所以符合全概率模型.在解答問題時(shí)，可以直接應(yīng)用全概率公式進(jìn)行求解，也可以對(duì)分類加法原理和分步乘法原理進(jìn)行綜合應(yīng)用.對(duì)兩道題進(jìn)行選擇，是分類問題，則應(yīng)該對(duì)概率進(jìn)行加處理，而選中題后進(jìn)行回答，這一過程屬于分步進(jìn)行，即先選后答，則對(duì)概率進(jìn)行乘法處理.所以甲同學(xué)通過該輪比賽的概率為：選中第一題的概率 x 答對(duì)第一題的概率 + 選中第二題的概率 x 答對(duì)第二題的概率.

3以上兩種情境的綜合

例3某班為了參加學(xué)校組織的趣味乒乓球比賽，組建了由甲、乙、丙、丁4個(gè)人組成的乒兵球團(tuán)隊(duì).比賽按照闖關(guān)模式進(jìn)行，每關(guān)從團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)選出一名隊(duì)員，再隨機(jī)從學(xué)校安排的兩名應(yīng)戰(zhàn)者中選擇一名進(jìn)行對(duì)打，打贏則進(jìn)入下一關(guān)，否則淘汰.已知由甲、乙、丙、丁4個(gè)人組成的乒乓球團(tuán)隊(duì)中，在第一關(guān)比賽中，甲能打贏兩名應(yīng)戰(zhàn)者的概率分別為 和，乙能打贏兩名應(yīng)戰(zhàn)者的概率分別為 和 品 ，丙能打贏兩名應(yīng)戰(zhàn)者的概率分別為 和 ，丁能打贏兩名應(yīng)戰(zhàn)者的概率分別為 和 求該班乒乓球隊(duì)通過第一關(guān)的概率.

解因?yàn)閺募住⒁摇⒈⒍≈羞x擇隊(duì)員闖關(guān)是隨機(jī)的，所以選中其中一人的概率是 業(yè)

兩名應(yīng)戰(zhàn)者也是隨機(jī)選出一名，所以概率為

由已知，選中甲闖關(guān)，并且通過的概率為

選中乙闖關(guān)，并且通過的概率為

選中丙闖關(guān)，并且通過的概率為

選中丁闖關(guān)，并且通過的概率為

所以該班乒乓球隊(duì)通過第一關(guān)的概率為

評(píng)注該題前面是4選1，后面是2選1，在對(duì)戰(zhàn)中又涉及輸贏問題，屬于三步完成的事件，即第一步4人中選擇1人；第二步是2人中選擇一人；第三步是對(duì)戰(zhàn)成功與否，從整體上分析還是全概率問題.從問題結(jié)構(gòu)上看，該問題結(jié)合了前面兩種基本的形式，即從4人中隨機(jī)選擇1人，屬于4條路徑完成事件，而選定闖關(guān)者后，又要從應(yīng)戰(zhàn)的2人中選1人，屬于一種方案完成多個(gè)事件，所以在解法上綜合前面兩種即可.

4結(jié)語(yǔ)

本文從全概率的定義和問題的結(jié)構(gòu)特征分析了全概率問題本質(zhì)，并提出識(shí)別依據(jù)一其基本結(jié)構(gòu)是一種方案完成多個(gè)事件和多條路徑完成一件事情.而在解題策略上，避開難以理解的全概率公式，利用分類加法原理和分步乘法原理進(jìn)行求解，即路徑的選擇和方案確定所實(shí)施的事件屬于分類方法，而確定路徑，或者方案確定實(shí)施事件后，進(jìn)行完成事件的過程屬于分步，即第一步是選擇，第二步是完成事情.

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