運算律單元結構化教學探析

運算律作為數運算的核心法則，其本質是對數量關系普適性規律的數學表達，其教學需要以數的認識和數的運算為基礎，著力構建橫跨整數、小數、分數的運算律知識網絡。教師應立足結構化思維，通過操作活動引導學生經歷“具體現象觀察一共性規律抽象一符號模型表達一策略遷移運用”的過程，讓學生通過歸納方法探索并理解運算律的數學本質，在運算策略優化中體會簡算之美，最終實現運算能力、推理意識和創新思維的綜合提升。本期，我們討論大單元視域下運算律教學整體設計與創新實踐。

運算能力是小學數學核心素養之一，它涉及操作技能，具有外顯性和可訓練性。培養學生運算能力，除了關注算理與算法的理解，還應關注解決實際問題過程中運用簡便算法的能力。“運算律”是人教版數學四年級下冊第三單元的內容，是確定算理和算法的重要依據，是培養學生運算能力的關鍵一環。教學本單元，教師要關注前后相關知識的聯系，結構化地組織教學內容，引導學生整體架構運算知識技能和思想方法。筆者以運算律單元為例，探析如何設計與實施凸顯運算律內涵一致性及關聯性、促進學生整體建構知識網絡的教學。

一、整體分析教材，把握教學方向

數學教材內容一般采取螺旋式上升的編排方式，本冊教材第一單元“四則運算\"是對小學階段整數混合運算的總結性學習，重在強化四則運算的理性認知，梳理混合運算的運算順序，為接下來探究運算律的意義與系統學習簡便運算鋪設臺階。運算律是對數的運算基本規律的歸納和總結，運算律內涵的理解需要運算的意義來支撐。因此，從“四則運算”單元到“運算律”單元體現出從一般規則到特殊方法的編排巧思。

從一年級到三年級的學習過程中，運算律以生活實例或習題等形式零散地滲透在教材中。如：一年級上冊《5以內的加法》 6～10 的加法》等滲透了加法交換律，一年級下冊《認識小括號》滲透了連減的性質、練習十六第1題滲透了加法結合律；二年級上冊第2單元《整理和復習》也滲透了加法結合律、“表內乘法（一）\"和\"表內乘法（二）\"兩個單元都滲透了乘法交換律，二年級下冊練習十一第10題也滲透了連減的性質；三年級上冊“多位數乘一位數”單元和三年級下冊“兩位數乘兩位數”單元滲透了乘法分配律；四年級上冊練習十七第9題滲透了連除的性質；等等。這說明學習本單元前，學生頭腦中已有相應的知識儲備和活動經驗，在解決實際問題時可以憑直覺運用運算律。基于此，本單元教學應著重引導學生從零散的感性認識上升到系統的理性認知，深層次理解運算律，熟練掌握與運用運算律，為學生在五、六年級學習解方程和整數運算律推廣到小數、分數等的過程中，靈活處理計算問題積累豐富的知識經驗。

基于以上分析，教學本單元時，教師要注重知識銜接，引導學生整體建構運算知識網絡，強化運算能力。例如，教學本單元例1\"加法交換律\"時，教師可以利用一年級上冊《分與合》主題圖導入，引導學生發現“兩個數相加，交換兩個加數的位置，和不變\"的規律，隨后呈現一、二年級學習的運算內容的教材主題圖，引導學生思考還有哪種運算有交換律。學生可以借助二年級上冊“表內乘法 （-） ”單元主題圖，回想到計算 3×4，4×3 這類算式時使用的都是乘法口訣“三四十二”，進而從加法交換律過渡到乘法交換律。像這樣，根據運算律本身邏輯體系整合教學內容，不僅可以幫助學生將已有知識有效關聯、總結提煉，還可以幫助學生將相關知識織結成網，促進其認知走向整體性和結構化。

二、整合單元內容，重構知識結構

“運算律”單元共有8個例題，一般分為7個課時教學，教師可以對具體知識內容做如圖1所示整合。

教材中8個例題整體上按照加、減、乘、除的序列呈現，雖然符合學生的認知規律，但對各運算律之間的內在邏輯聯系關注不夠。教師可以從整體視角出發，利用這種內在邏輯聯系，打破例題編排的固有順序，聚焦知識共性搭建關聯性教學結構，如將加法交換律和乘法交換律等內容整合為1個課時《交換律》，將加法結合律和乘法結合律等內容整合為1個課時一—《結合律》，然后順次安排其他課時內容，讓學生在比較學習中系統構建運算知識體系。

整合后的教學邏輯可以沿用教材例題編排邏輯，即“情境引出算式一計算觀察算式一初步發現規律一仿寫算式驗證一表述應用規律”，讓學生在用不完全歸納法概括運算規律的基礎上，依托四則運算意義理解運算律的內涵，形成運算模型，積累合情推理活動經驗。在教學策略方面，教師可以利用并適當放大教材中列舉的生活實例，將運算律的學習與生活情境結合起來，引導學生靈活解讀算式的意義，提高解決問題的能力。

三、借助多元策略，提高理解水平

實際教學中，教師應基于重構后的教學內容，利用知識之間的內在聯系，借助多元教學策略，使學生對運算律的認知水平從單一理解提升到整體建構。

1.對比關聯，理解實際意義

在教學《交換律》時，教師可以這樣引導：“既然這樣的算式寫不完，我們不妨換個角度，從運算的意義上思考是否所有的加法算式都符合這樣的規律。算式中的20和27代表我們班的女生人數和男生人數，你能從求總人數的過程這個視角解釋其中的道理嗎？\"學生回答：“求總人數，可以用女生人數加男生人數，也可以用男生人數加女生人數，和是不變的，因此 20+27=27+20 。\"教師追問：“如果人數范圍擴大，這樣的等式還成立嗎？\"學生思考后提出：“如果題目變成求四年級的總人數，這樣的運算規律仍然存在。即使人數范圍擴大到求全校總人數，‘男生人數 + 女生人數 σ=σ 女生人數 + 男生人數'的數量關系同樣成立。\"隨后，教師出示5行、6列的凳子圖，要求學生求凳子總數。學生匯報：“可以橫著看，用 6×5 求5個6的和，也可以豎著看，用 5×6 求6個5的和。計算過程雖然不同，但計算結果相同，說明交換兩個因數的位置不影響乘得的結果。”

《結合律》的教學也可以做類似的引導，讓學生在解讀算式運算意義的過程中理解加法結合律和乘法結合律的原理。

2.數形結合，理解運算共性

在教學《減法和除法的運算性質》時，教師可以創設核心問題“減法和除法運算是否也存在交換律和結合律？”，引導學生從運算意義的角度理解運算律的同時，通過數形結合展開分析，跨越知識的隔離帶，發現連減、連除與加法、乘法之間的共性運算規律。

對于交換律，教師這樣引導：剛剛你們沒有計算，是怎樣確定減法和除法不存在交換律的？一名學生回答：“大數減小數不可能等于小數減大數，因此減法不存在交換律。\"另一名學生舉例說明：“把36顆軟糖平均分給12個人，每人會得到3顆，但把12顆軟糖平均分給36個人，每人得到的一定不是3顆，因此除法不存在交換律。\"教師繼續引導：“你們在畫圖表示100-30-20的計算過程時，發現減法運算存在不一樣的交換律，可以具體描述一下嗎？\"學生匯報：“對于減法中的‘交換律’，我們是通過‘100-30-20=100-20-30^; 發現的。于是，我們又列舉幾個例子驗證，發現連減算式中減數的位置可以交換，而被減數的位置不能變動。\"教師點撥：“也就是說，無論是先減第一部分還是先減第二部分，都是減去第一、第二兩個部分，因此連減運算中減數的位置可以變換。\"學生還借助線段圖發現連減運算中不一樣的結合律一一先將幾個減數相加，再用被減數減去所有減數的和，差不變。隨后，學生在教師引導下總結出減法運算的性質“被減數-減數 ① -減數 ②= 被減數-（減數 ①+ 減數 ② ”

對于連除運算，教師引導學生自主探究導學單第2題“王老師買了5副羽毛球拍，花了330元。每支羽毛球拍多少錢？\"（改編自教材第29頁例8），并畫圖研究。學生畫出如圖2所示作品，并據此說明330÷2÷5=330÷5÷2=330÷（5×2） 的道理，直觀、深入地理解了除法運算的性質。

在舉例分析的過程中，學生將乘法運算與除法運算的性質建立了關聯，發現并運用了“等值變形”原理，實現了運算意義一致性的認知突破。

3.多維建構，形成知識圖譜

運算律的理解，既需要借助算式、實物、生活實例、文字等多元數學表征方式實現內在聯結，構成橫向知識圖譜，又需要將已有碎片化知識整合，銜接前后知識，形成縱向知識圖譜。以《乘法分配律》教學為例，在揭示其字母表達式 （a+b）×c=a×c+b×c 后，教師有必要引導學生回頭看，沿著小學階段乘法分配律的滲透脈絡厘清思維。

首先，從“數”的層面出發，通過從三年級上冊兩位數乘一位數和多位數乘一位數到三年級下冊兩位數乘兩位數（口算乘法與筆算乘法）的算理解讀，突破乘法分配律的算理解釋難題，獲得“ a 個 ∣c∣ 和 b 個c 相加等于 a+b 個 ”的認知。

其次，從“形”的層面出發，在圖形與幾何領域尋找乘法分配律的影子，如關聯三年級下冊“面積”單元內容和五年級上冊“多邊形的面積”單元內容，讓學生通過計算如圖3、圖4所示圖形的面積，數形結合地建構乘法分配律直觀模型。

最后，回歸教材例題，利用植樹活動的生活實例，促進學生在解決實際問題的過程中內化乘法分配律，最終形成如圖5所示的乘法分配律知識圖譜。

算式： （4+2）×25特殊 4×25+2×25說明歸 表征納

算理解釋： 演繹 類比

6個25=4個25+2個25 乘法分配律數 類比 25 形直觀呈現生活實例： 實例說明同學們參加植樹活動，一共分成25個小組，每組中4人負責挖坑、種樹，2人負責抬水、澆樹。一共有多少名同學參加了這次植樹活動？

不同的表征方式相互說明、相互補充，共同促進學生理解、內化乘法分配律。

在構建圖譜的過程中，學生頭腦中逐步形成網狀知識結構，由此發展了高階思維，實現了運算能力的深層次遷移。

（作者單位：初巖華，武漢市蔡甸區大集中心小學；李蓉，武漢市蔡甸區教育科學研究中心）

文字編輯劉佳